Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 3
ф |
Hdl = |
J- |
f |
D-dS+ J J.rfS. |
(2.4) |
|
с |
|
|
s |
s |
|
|
М а г н и т н о е п о л е б е с к о н е ч н о г о |
п р я м о л и н е й н о |
|||||
г о п р о в о д н и к а |
радиуса |
а |
с |
постоянным |
током / |
(рис. 2.6). |
В данном случае очевидна симметрия магнитного поля относитель но оси провода, что позволяет определить поле с помощью ф-лы (2.4). Окружим провод кольцевым контуром радиуса г.
П о л е |
в н е п |
р о в о |
д а |
(г>а). |
Циркуляция вектора напряжен |
||||
ности |
магнитного |
поля |
Я ф |
-2яг = Л так как при |
постоянном |
токе |
|||
dx¥D/dt |
= 0. |
Поэтому Н = е / / ( 2 л / ) , |
что совпадает |
с |
известным |
уже |
|||
выражением д л я |
Н [см. ф-лу (1.7)]. |
|
|
|
|
||||
П о л е |
в н у т р и п р о в о д а ( г ^ а ) . Постоянный |
ток распреде |
|||||||
ляется по сечению проводника равномерно, и контур охватывает
только часть всего тока, а именно 1г2/а2. |
Поэтому |
|
||
Н = — — |
е |
= |
е (г < а). |
(2.5) |
а* 2пг |
ф |
2л а2 |
ф |
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА
Для установления связи между токами и магнитным полем в каж дой точке поля предположим, что контур [см. ф-лу (2.4)] стяги вается в точку. Тогда площадь S, ограниченная контуром, стремит ся к нулю. Бели циркуляция вектора Н по контуру указанной пло щади не равна нулю, поле носит вихревой характер, т. е. rot Н от личен от нуля.
Ротор (вихрь) вектора А — это вектор, равный по величине отношению циркуляции вектора А по контуру С к бесконечно малой площади S, ограничен ной этим контуром, при таком направлении ее нормали п, когда циркуляция имеет максимальное положительное значение, и направленный по этой нормали:
|
A-rfl |
|
rot А = |
max lim с |
п, |
где максимум берется по направлению нормали п. |
|
|
В общем случае нормаль к |
заданной площадке не совпадает по направле |
|
нию с rot А и циркуляция по малому контуру выражается как
A d 1 = (rot A n ) S=rot A S .
с
В правой части ф-лы (2.4) можно считать J и D постоянными в пределах малой площади, поэтому rotH-S = J-S + ~^~'^ •
Так как площадка S может ориентироваться в любом направ лении, то
rotH = ^ + J. |
(2.6) |
dt |
|
Ротор вектора |
напряженности |
магнитного поля |
в любой |
егЬ |
точке равен сумме плотности истинного электрического |
тока и |
ско |
||
рости изменения |
вектора электрического смещения в |
этой точке1). |
||
Частную производную от D по времени называют |
также |
плот |
||
ностью тока смещения: J C M = dD/64.
Итак, магнитное поле создается при любом движении электри ческих зарядов (электрическом токе) и изменении во времени век тора электрического смещения.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА
Электрические заряды не возникают и не исчезают. Если из замк нутой поверхности возникает ток, то количество заряда Q внутри нее должно уменьшаться: / = —dQ/dt. Принимая направление плот ности тока из данной области за положительное, что соответствует направлению нормали, запишем закон сохранения заряда:
5 V
Дифференциальную форму этого соотношения получим, приме нив к его левой части теорему Остроградского — Гаусса [5]:
Поток поля А через замкнутую поверхность 5 равен интегралу от дивергеЯ' ции А по о(ъему V, ограниченному этой поверхностью:
(j)A-dS = |
jdivAdV. |
(2.8J |
's |
V |
|
Заметим, что с помощью (2.8) |
возможен непосредственный |
переход от |
ф-лы (2.1) к (2.3). Выше для этой цели использовался другой способ, чтобы на
помнить определение |
дивергенции. |
|
На основании |
равенств (2.7) и (2.8) |
приходим к соотношению: |
|
J divJdV = — -~ |
j pdV. |
|
V |
v |
Учитывая произвольность выбора объема V, получаем дифферен циальное выражение закона сохранения заряда, называемое урав нением непрерывности тока и заряда:
div J = — ^ . |
(2.9) |
dt |
|
Это уравнение, равно как и (2.7), описывает фундаментальное свойство электрических зарядов — принцип их локального (мест
ного) сохранения: заряд не может переместиться, из одной точки в другую, не создав между ними тока. Истоками линий плотности
*) Функции, входящие в уравнения поля, зависят |
от |
четырех |
аргументов: |
|
трех |
пространственных координат и времени. Поэтому |
в |
правой |
части ур-ння |
(2.6) |
фигурирует частная производная по времени, а в |
левой — |
частные про |
|
изводные по координатам, объединенные символом rot.
2-2 |
33 |
тока являются точки поля, в которых плотность заряда меняется во времени.
Закон сохранения заряда не включен в число основных уравне ний электродинамики, поскольку он является следствием обобщен
ного закона Ампера. Для доказательства равенства |
(2.9) |
найдем |
|||
дивергенцию от обеих |
частей ф-лы |
(2.6): |
div(dD/dt) |
+ div J = |
|
= div rot H = 0, так как |
дивергенция |
ротора |
всегда |
равна нулю |
|
[5]. Поменяем в первом слагаемом порядок временного и простран
ственного |
|
дифференцирования |
и |
воспользуемся |
ф-лой |
(2.3): |
||||
div — = |
— divD = — |
, что и приводит к |
уравнению |
непрерыв |
||||||
ен |
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
ности div J = —dp/64. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В случае постоянных токов плотность зарядов во времени не |
||||||||||
изменяется |
dp/dt = 0. В |
этом |
случае |
закон Ампера и |
уравнение |
|||||
непрерывности записываются |
в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
|
rot Н = J; |
div J = |
0, |
(при - | - = 0J , |
|
|
(2.10) |
||
т. е. линии |
|
постоянного |
тока непрерывны. |
Обобщая |
закон |
Ампера |
||||
на случай переменных полей, Максвелл обнаружил, что выраже ния (2.10) противоречат уравнению непрерывности для переменных полей (2.9). Он дополнил правую часть (2.6) слагаемым dD/dt, чем устранил это противоречие. Введенная Максвеллом поправка име ла решающее значение для построения теории электромагнитных волн.
2.4. Электромагнитная индукция. Закон Фарадея
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА
Ц и р к у л я ц и я в е к т о р а н а п р я ж е н н о с т и э л е к т р и ч е с к о г о п о л я Е (электродвижущая сила) по любому замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока, пронизы вающего этот контур, с обратным знаком в правой системе коор динат:
|
~> = - ^ |
и л и |
(j) E-dl = |
— J V d S |
, |
(2.11) |
||
|
|
|
С |
|
S |
|
|
|
где Э— ф E-dl, [В]—электродвижущая |
сила; Ф = | |
B-dS, |
|Вб] = |
|||||
С |
|
лоток |
или |
поток |
вектора |
S |
|
ин |
= | В - с ] — магнитный |
магнитной |
|||||||
дукции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить существенную разницу в |
использовании |
|||||||
одного и того же термина контур. |
В формулировке |
Фарадея |
в |
со |
||||
ответствии |
с теорией цепей контур — это замкнутая цепь, состав |
|||||||
ленная из |
последовательно |
включенных |
проводников. Максвелл |
|||||
обобщил закон Фарадея, придав этому термину более широкий смысл. Он назвал контуром замкнутую линию, произвольно распо ложенную в пространстве. Обобщенный закон Фарадея справедлив для любого контура, проведенного, например, частично в 'воздухе, частично в другом диэлектрике и частично в металле. Из (2.11) вытекает, что возникновение электродвижущей силы — существен но динамический процесс, требующий изменения магнитного по тока.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА
Применим к левой части выражения (2.11) теорему |
Стокса [5]. |
Циркуляция поля по контуру С равна потоку ротора вектора через любую |
|
поверхность S, ограниченную этим контуром: |
|
( j ) A - d l = jVotA-dS. |
(2.12) |
сs
Переход от ф-лы (2.4) к (2.6), по существу, был повторением вывода этой теоремы, -известной из векторного анализа. В данном случае избран более коооткий путь.
|
Итак, |
|
j" rotE-dS - |
— ~ |
j" |
B-dS. |
|
|
|
||
|
|
|
's |
|
|
|
s |
|
|
|
|
Меняем справа |
порядок |
дифференцирования |
и интегрирования. |
||||||||
Учитывая |
произвольность |
выбора |
площадки S, получаем |
|
|
||||||
|
|
|
|
r o t E = |
— — . |
|
|
|
(2.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Ротор |
вектора |
напряженности |
электрического |
поля |
в |
любой |
|||||
его точке |
равен |
по величине |
и противоположен |
по знаку |
скорости |
||||||
изменения |
вектора |
магнитной |
индукции |
в этой точке. |
|
|
|||||
Таким образом, электрическое поле создается как электрически |
|||||||||||
ми зарядами, так |
и любым |
изменением |
во времени вектора |
маг |
|||||||
нитной индукции. Электрическое поле, созданное только вторым-
способом (при отсутствии |
электрических зарядов), |
соленоидально |
(div Е = 0), его векторные |
линии замкнуты либо уходят в беско |
|
нечность. |
|
|
2.5. Соленоидальность поля магнитной индукции
Дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю, в
частности, div |
rot Е = 0, |
поэтому дивергенция |
правой части выра |
||
жения (2.13) |
также равна нулю: div — = — |
div |
В = 0. Следова- |
||
|
|
dt |
et |
|
В постоянна, а |
тельно, в любой точке |
поля дивергенция |
вектора |
|||
2* |
35 |
если считать, что поле когда-то в прошлом отсутствовало, то
|
|
|
|
divB = |
0. |
|
|
(2.14) |
|
Отсюда |
следует, что магнитное |
поле |
соленоидально. |
|
|||||
Взяв |
интеграл |
от этого |
равенства |
по объему V и применив |
|||||
теорему |
Остроградского |
— |
Гаусса |
(2.8): |* div |
В dV= |
(j)B-c?S, по- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
's |
лучим соответствующую |
интегральную |
формулу: |
|
||||||
|
|
|
|
$ B - d S = 0. |
|
|
(2.15) |
||
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
Поток вектора |
магнитной |
индукции |
через |
любую |
замкнутую |
||||
поверхность равен |
нулю. |
Линии |
вектора |
В замкнуты, |
либо уходят |
||||
вбесконечность.
Из сравнения ур-ния (2.15) и (2.1) вытекает, что магнитные заряды в природе отсутствуют. Это утверждение соответствует всем известным данным о магнетизме.
Соотношения (2.14) и (2Л5) в системе уравнений электромаг нетизма не являются независимыми; они получены как следствие закона Фарадея (2.13).
2.6. Сторонние силы
Для создания заданного электростатического поля нужно зарядить изолированные металлические электроды, расположенные опреде ленным образом. Для переноса зарядов на эти электроды придется затратить какую-то энергию неэлектрического характера. В идеаль ных условиях полученный таким образом заряд сохраняется очень долго. Следовательно, для создания электростатического поля до статочна однократная затрата энергии.
Ток проводимости, создающий магнитное поле, протекает толь ко в том случае, если в цепь включен источник, вырабатывающий определенную эдс. Таким источником может быть аккумулятор, электромагнитный генератор, контакт между двумя . металлами. Магнитное поле сопутствует и конвекционному току, который про текает в вакууме от накаленного катода либо радиоактивного источника. Переменное электромагнитное поле создается вокруг проводников с переменным током, колеблющихся, либо неравно мерно движущихся зарядов.
Во всех случаях электромагнитное поле создается источником за счет энергии, получаемой извне. Поэтому эдс либо ток источни ка называются сторонними. Их величины определяются мощностью введших ресурсов энергии: механической, химической, тепловой, ядерной либо электромагнитной энергией другого поля, и не яв ляются функциями рассматриваемого поля.
Источник электромагнитного поля принято называть сторонней силой. Вид и пространственное нахождение сторонней силы неод-
36
