ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 2
Теорема 2. Если г п <" т, то система (21) имеет только нулевое решение. Если г п, г <Д т, то система. (21) имеет бес численное множество решений, определяемых формулами (11).
Теорема 3. Для того чтобы система (21) имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы г — п, т. е. чтобы ранг матрицы коэффициентов был равен числу неизвестных. Если г п, то система имеет бесчисленное множество решений, зави сящее от п — г параметров.
Из теоремы 3 следует, что 1) система (21) имеет ненулевое решение только в случае г п, 2) если т ~ п, то система имеет ненулевое решение только в случае D (А) = 0.
IT р я м е р. Дана система
(3—Я) х + у = 0, X -f- (3—Я) у = 0,
содержащая параметр Я. Требуется выяснить при каких значениях этого параметра система имеет решения, отличные от пулевого, и найти эти ре шения.
Для этого составим определитель данной системы
|
£ ( Я ) = |
I |
Ѵ |
- Я I = |
( 3 - Я ) 2 - |
1 = |
Я2 - 6 |
|
и найдем его корни Яг = |
2 и Я., = |
4. При этих значениях параметра Я система |
||||||
сводится к одному уравнению и имеет согласно теореме 3 бесконечное мно- |
||||||||
ѵкество ненулевых |
решений. |
0, поэтому все решения системы получим |
||||||
При Я = 2 |
имеем х + у = |
|||||||
но формуле у = |
—X , |
где х — произвольное число. При Я = 4 имеем х —у = |
0, |
|||||
поэтому у = X , |
где |
х — произвольное |
число. |
|
|
|
||
Геометрическая интерпретация такова. Каждое из уравнений системы определяет (при каждом значении параметра) прямую в плоскости Оху, проходящую через начало координат. Если Я Ф 2 и Я Ф 4, то эти прямые различны и пересекаются только в начале координат. Если Я = 2 или Я == 4, то эти прямые сливаются и представляют собой биссектрисы координатных углов. Координаты точек этих биссектрис есть решения данной системы при соответствующем значении параметра Я.
1. |
А л е к с а н д р о в |
П. С. |
Лекции |
по аналитической геометрии. |
||||
М., «Паука», 1968. 911 с. с ил. |
|
|
|
|||||
2. |
Б а н а X |
С. |
Дифференциальное |
и интегральное исчисление. М., |
||||
«Наука», 1966. 436 с. с ил. |
|
|
|
|
||||
3. |
Б у д а к |
Б. |
М. |
и |
Ф о м и н |
С. |
В. |
Кратные интегралы и ряды. |
М., «Наука», 1965. 607 с. |
с ил. |
|
|
|
||||
4.Г н е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1961. 406 с. с ил.
5.Г м у р м а н В. Е. Введение в теорию вероятностей и математиче скую статистику. М., «Высшая школа», 1963. 238 с. с ил.
6.Е р у г и н Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифферен циальных уравнений. Минск, «Наука и техника», 1970. 571 с. с ил.
7. Е ф и м о в |
Н. |
|
В. |
Краткий |
курс аналитической |
геометрии. М., |
||||||||||||
Физматгиз, 1958. 256 с. с ил. |
|
|
Г. |
|
Основы |
математического |
||||||||||||
8. И л ь и н |
В. |
|
А. |
и |
П о з н я к Э. |
|
||||||||||||
анализа. М., «Наука», 1965. 571 с. с ил. |
|
|
|
|
обыкновенных диф |
|||||||||||||
9. М а т в е е в |
|
H. |
М. |
Методы |
интегрирования |
|||||||||||||
ференциальных уравнений. М., «Высшая школа», 1963. 546 с. с ил. |
|
|||||||||||||||||
10. П и с к у н о в |
Н. |
С. Дифференциальное и интегральное исчисле |
||||||||||||||||
ния. В 2-х т. М., «Наука», 1970. 1032 с. с ил. |
|
|
|
теория |
поля. М., Физ |
|||||||||||||
И . Р о м а н о в с к и й |
ГІ. |
И. |
Ряды Фурье, |
|||||||||||||||
матгиз, 1961. 303 с. с ил. |
И. |
Курс высшей математики. В 3-х т. М., «Наука»,. |
||||||||||||||||
12. С м и р н о в |
В. |
|||||||||||||||||
1967. 1457 с. с ил. |
|
|
|
|
Г. |
М. |
Основы |
математического |
анализа. |
|||||||||
13. Ф и X т е н г о л ь ц |
||||||||||||||||||
В 2-х т. М., ГИТТЛ, 1955. 904 с. с ил. |
лекций но |
математическому |
анализу. |
|||||||||||||||
14. X и н ч и н |
|
А. |
Я. |
Восемь |
||||||||||||||
М. — Л., ОГИЗ, 1916. |
231 с. с ил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
|
|
|
|
|
||||||||
Абсолютная величина вещественного |
Вектор |
110, |
148 |
|
|
|
|
|||||||||||
числа 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
— единичный 149 |
|
|
111, 149 |
||||||
— — комплексного числа 94 |
|
Векторы |
коллннеарные |
|||||||||||||||
Абсцисса точки |
115, |
|
149 |
449 |
|
— компланарные |
159 |
155 |
|
|||||||||
Алгебраическое |
дополнение |
|
— ортогональные |
154, |
|
|||||||||||||
Аналитическое |
выражение |
12 |
|
— противоположные 111 |
|
|||||||||||||
Аппликата точки |
149 |
|
|
|
|
Векторная |
линия |
303 |
|
|
||||||||
Аргумент комплексного числа 94 . |
— трубка |
303 |
|
303 |
|
|
||||||||||||
— промежуточный |
52, |
188 |
|
|
— функция |
301, |
|
|
||||||||||
— функции 11, |
181 |
|
|
|
|
179 |
— — скалярного аргумента 301 |
|||||||||||
Арифметическое |
пространство |
Вероятность |
419, |
421 |
|
|
||||||||||||
Асимптота 75 |
|
|
|
|
140 |
|
|
— геометрическая |
420 |
|
|
|||||||
Асимптоты гиперболы |
|
|
— условная |
423 |
числового множе |
|||||||||||||
Бесконечно большая |
21 |
|
|
|
Верхняя |
граница |
||||||||||||
|
|
|
ства |
196 |
линия |
198 |
|
|
||||||||||
— малая 17 |
|
порядка |
31 |
|
|
Винтовая |
|
|
|
|||||||||
— — высшего |
|
|
Вронскиан |
|
400 |
вогнутость |
73 |
|||||||||||
— малые одного порядка 31 |
|
Выпуклость |
и |
|||||||||||||||
— — эквивалентные |
|
31 |
|
|
|
Гамма-функцня |
261 |
|
|
|
||||||||
Бесконечный |
ряд — см. Ряд |
|
|
|
|
|||||||||||||
Бесконечность |
22 |
|
|
|
|
|
|
Гипербола |
138 |
|
|
119, |
140 |
|||||
Бета-функция |
262 |
|
|
|
|
|
|
— равносторонняя |
||||||||||
Бином Ньютона 92 |
|
|
|
|
|
Гиперболоид двухполостной 175 |
||||||||||||
— однополостной |
174 |
|
|
|
------- существования предела 24, 26, |
||||||||||||||
Главная часть бесконечно малой 85 |
|||||||||||||||||||
34, |
35, 37 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
194 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— — сходимости |
несобственного |
|||||||
Годограф |
вектора |
301 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
интеграла 258, |
260 |
|
|
|
||||||||||||
Градиент |
299, 301, |
340 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
— — — ряда |
351—363 |
|
|
|||||||||||||
Граница |
области |
180 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
-------экстремума |
70, 71, 93, 202 |
|||||||||||||||
График функции |
13 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Дробная |
рациональная |
функция |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Диаметр |
области |
268 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дивергенция вектора 328, 329, 341 |
Задача Коши 388, 390, 395 |
|
|||||||||||||||||
Директрисы кривых 142 |
|
|
|
Закон |
больших |
чисел |
439 |
|
|
||||||||||
Дисперсия 429, |
437 |
|
84, 90 |
— действующих |
масс 225 |
|
427 |
||||||||||||
Дифференциал |
функции |
— распределения |
вероятностей |
||||||||||||||||
— независимой переменной 84 |
— — — биномиальный |
432 |
|
||||||||||||||||
— полный 193, |
200 |
|
|
|
|
— — — нормальный 436, 438 |
|
||||||||||||
— частный |
193 |
|
|
|
|
|
|
— Ньютона 388 |
|
|
|
|
|||||||
Дифференциальная функция распре |
Интеграл двойной 269, |
271 |
|
|
|||||||||||||||
|
деления |
435 |
|
|
уравнение |
30, |
|
|
|||||||||||
Дифференциальное |
— зависящий от параметра 262, 265 |
||||||||||||||||||
|
225—227, |
386 |
|
|
|
|
|
— криволинейный 304, |
306 |
|
|
||||||||
— — Бесселя 386, 414 |
|
|
|
— неопределенный 212 |
259 |
|
|
||||||||||||
— — в полных дифференциалах 394 |
— несобственный |
255, |
|
|
|||||||||||||||
— — гармонического |
осциллятора |
— определенный |
229, 230 |
|
|
||||||||||||||
|
404 |
|
|
|
|
(уравнение |
тепло |
— поверхностный 321, 322, 323 |
|||||||||||
— — диффузии |
|
— повторный 265, 275, 287 |
|
||||||||||||||||
|
проводности) |
344 |
понижение по |
— с переменным верхним пределом |
|||||||||||||||
— — допускающее |
239 |
|
286 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
рядка |
396, 397 |
|
|
|
|
|
— тройной |
|
|
279 |
|
|
||||||
------- Лапласа 343, 345, 386 |
|
— Эйлера — Пуассона |
|
|
|||||||||||||||
— — линейное |
386 |
|
|
|
|
Интегральная кривая 387 |
|
|
|||||||||||
— — — однородное 398, 403 |
|
— сумма 230, 271, 286 |
|
433 |
|
||||||||||||||
— — — неоднородное 406, 407 |
— функция |
распределения |
|
||||||||||||||||
— — — первого порядка 393 |
Интегрирование функций 211, 218— |
||||||||||||||||||
— — — порядка п 397 |
|
|
|
225, |
374 |
|
|
|
уравнений |
||||||||||
— — обыкновенное |
386 |
|
перемен |
— дифференциальных |
|||||||||||||||
— |
— с |
разделяющимися |
387 |
|
|
|
|
|
|
220 |
|||||||||
— |
ными |
392 |
|
|
|
|
|
|
|
— иррациональных выражений |
|||||||||
— с частными производными 386 |
— неравенства |
почленное 237 |
|
||||||||||||||||
— — Эйри |
413 |
|
|
функции |
49 |
— по частям 216, 241 |
|
|
дро |
||||||||||
Дифференцирование |
— правильных |
рациональных |
|||||||||||||||||
— неявной функции 189, 190 |
бей |
220 |
|
дробей |
219 |
|
|
||||||||||||
— обратной |
функции 53 |
|
|
— простейших |
|
|
|||||||||||||
— сложной функции 52, 187, 188 |
— путем замены переменных 215, |
||||||||||||||||||
— степенного ряда |
369 |
параметри |
242, |
284, |
293 |
|
функций |
218 |
|
||||||||||
— функции, |
заданной |
— рациональных |
|
||||||||||||||||
|
чески |
53 |
|
|
|
ряда |
366 |
|
— степенных рядов 369 |
выражений |
|||||||||
— функционального |
|
— тригонометрических |
|||||||||||||||||
Длина вектора |
151 |
|
|
|
|
222 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
— дуги |
250 |
|
|
|
|
81 |
|
— функциональных рядов почленное |
|||||||||||
— отрезка касательной |
|
365 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
— — нормали 81 |
|
|
|
|
|
Интервал сходимости степенного ря |
|||||||||||||
Достаточное |
условие 66 |
|
|
|
да 368 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
—— выпуклости (вогнутости) 74
—— возрастания функции 66, 67 Каноническое уравнение линий вто
— — интегрируемости функции 231, |
рого порядка 137, 139, |
141 |
|
271, 276, 307, 323 |
— — прямой |
170 |
80, 197 |
— — монотонности функции 67 |
Касательная |
к кривой 48, |
|
— — непрерывности функции 50 |
— плоскость к поверхности 198 |
||
— — равномерной сходимости ряда |
Комплексно-сопряженные числа 97 |
||
363 |
Комплексная |
функция 95 |
|
Конус |
второго |
порядка |
178 |
|
Многочлен — см. Полипом |
|||||||||||
Корень из комплексного числа 97 |
Множества |
эквивалентные 6 |
||||||||||||||
— многочлена |
|
кратный |
99 |
|
Множество |
5, |
197 |
|
|
|||||||
— — простой |
99 |
|
|
|
|
|
— пустое 5 |
|
|
|
185 |
|
|
|||
— уравнения |
81 |
|
|
|
|
|
— ограниченное |
|
|
|||||||
— функции 59, 81 |
|
151 |
|
|
|
— открытое |
180 |
|
|
|
||||||
Координаты вектора |
|
|
|
— связное |
180 |
|
|
|
||||||||
— точки ПО |
|
|
|
114, |
149 |
— счетное 7 |
|
|
7 |
|
|
|||||
— — декартовы 112, |
— упорядоченное |
|
|
|||||||||||||
— — криволинейные 281, 289 |
Модуль вектора 110 |
9 |
||||||||||||||
— — полярные |
116 |
|
|
|
|
— вещественного |
числа |
|||||||||
— — сферические |
161 |
|
|
|
— комплексного числа |
94 |
||||||||||
— — цилиндрические |
160 |
|
|
— перехода |
|
М 30 |
294 |
|||||||||
— центра тяжести 253, 254, 285, 294 |
Моменты инерции 285, |
|||||||||||||||
Координатная |
линия |
280, |
289 |
— статические 252—254, 285, 294 |
||||||||||||
— поверхность |
289 |
290 |
|
|
|
Монотонная |
|
переменная |
33 |
|||||||
Коэффициенты |
|
Ламе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
— Тейлора 370 |
|
|
|
|
|
|
Набла-вектор |
339 |
|
оси 112 |
||||||
— Фурье |
377 |
|
|
(и |
выпуклая) 73 |
Направленный |
отрезок |
|||||||||
Кривая вогнутая |
Направляющая |
цилиндрической по |
||||||||||||||
— Гаусса |
416 |
|
|
|
|
|
|
|
верхности |
|
163 |
|
|
152, 169, |
||
— гладкая 197, 250, 251 |
|
|
|
Направляющие |
косинусы |
|||||||||||
— распределения 436 |
|
|
|
|
325 |
|
число 5 |
|
|
|||||||
Кривизна в точке |
78 |
|
|
|
|
Натуральное |
|
|
||||||||
— средняя |
76 |
|
|
80 |
|
|
|
|
Начало координат 112, 115, 116, 149 |
|||||||
Кривизны |
радиус |
|
|
|
|
Независимая |
переменная |
И, 18І |
||||||||
— окружность |
79 |
|
|
|
|
|
Необходимое |
условие 66 |
|
|||||||
— центр 80 |
|
трапеция |
229 |
|
— — сходимости ряда 350 |
|||||||||||
Криволинейная |
|
— — относительного экстремума 205 |
||||||||||||||
Критерий |
66 |
|
|
|
|
37, 351 |
— — экстремума функции 69, 202 |
|||||||||
— Больцано—Коши 36, |
Неопределенности |
63—65 |
в области |
|||||||||||||
Линейная |
функция — см. Функция |
Непрерывность |
функции |
|||||||||||||
183 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
линейная |
|
|
|
|
|
|
|
— — в промежутке 39 |
|
|
||||||
Линейное дифференциальное уравне |
— — в точке |
37, 183 |
|
|
||||||||||||
ние |
387, |
393, |
397—408 |
135 |
|
— — односторонняя 39 |
185 |
|||||||||
Линии |
второго |
порядка |
|
— — равномерная 42, |
||||||||||||
Линия алгебраическая |
124 |
|
|
Неравенство |
|
Бесселя 384 |
|
|||||||||
— уровня 297 |
|
|
|
29 |
|
|
|
— Чебышева |
441 |
380 |
|
|
||||
Логарифм |
десятичный |
|
|
|
Норма функции |
|
|
|||||||||
— комплексного аргумента 96 |
|
Нормаль к |
кривой 80 |
|
|
|||||||||||
— натуральный |
29 |
|
|
|
|
— к поверхности |
198 |
|
|
|||||||
Мажорантный ряд — см. Ряд мажо |
Область 180 |
|
|
значений |
12 |
|||||||||||
рантный |
(и минимум) функции 68 |
— допустимых |
||||||||||||||
Максимум |
— замкнутая |
180 |
|
|
И |
|||||||||||
— — нескольких переменных 201 |
— изменения |
переменной |
||||||||||||||
Масса |
стержня |
228, 304 |
|
|
|
— — функции 12, 13, 182 |
||||||||||
— пластины 268, 320 |
|
8, 10 |
— ограниченная |
185 |
|
|
||||||||||
Математическая |
величина |
— односвязная (и многосвязная) 312,. |
||||||||||||||
Математическое |
ожидание |
427, 437 |
316 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Матрица 105, |
445 |
|
447 |
|
|
— определения функции 12, 13, 181 |
||||||||||
— транспонированная |
|
|
— сходимости ряда 361, 368 |
|||||||||||||
Метод Бернулли 393 |
|
|
|
|
Объем тела |
249 |
|
|
|
|||||||
— вариации 394 |
|
|
|
207 |
|
— — вращения 249 |
|
|
||||||||
— наименьших |
квадратов |
|
— цилиндрического бруса 270 |
|||||||||||||
— неопределенных |
коэффициентов |
Огибающая |
семейства кривых 392 |
|||||||||||||
103, |
217 |
|
|
|
испытаний |
246 |
Окрестность |
|
точки 10, |
179 |
||||||
— статистических |
— бесконечно удаленной точки 24 |
|||||||||||||||
Минор |
элемента определителя |
449 |
Оператор 13 |
|
|
|
|
|
||||||||
