Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Согласно свойствам 6° и 7° определителей здесь равны нулю коэф­

фициенты

при всех

bk,

за

исключением

bs, коэффициент при

котором равен Д. После сокращения на Д получим систему (1).

Следовательно, при условии Д=^=0 системы (4) и (7) эквивалентны.

3.

Система (7) имеет единственное решение (5). Следовательно,

при А ф 0 система

(4)

имеет единственное решение (5). Теорема

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Крамера имеет большое теоретическое

значение.

Для практического нахождения решений линейных систем при

условии теоремы Крамера и п ^

5 можно рекомендовать другие

методы.*

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и я

и з

т е о р е м ы

К р а м е р а .

1. Если

система п линейных уравнений с п неизвестными несовместна или

имеет несколько решений, то определитель такой системы равен

нулю: А = 0. Действительно, если бы А

0, то система была бы

совместна и имела единственное решение.

 

 

2. Если однородная система п линейных уравнений с п неизве­

стными имеет решение,

отличное от нулевого (т. е.

отличное

от х 1 = х 2 ==••• — хп =- Ѳ),

то

определитель такой

системы

равен нулю. Действительно, однородная система всегда совме­ стна — она всегда имеет нулевое решение. Если же она имеет решение, отличное от нулевого, то она имеет несколько решений, и согласно следствию 1 имеем А — 0.

Равенство А = 0 есть условие, необходимое для существова­ ния ненулевого решения у однородной системы п уравнений с п не­ известными. Действительно, из существования ненулевого реше­ ния вытекает, как только что показано, условие А = 0.

251.

Общий случай

системы т уравнений с п неизвестными.

Рассмотрим систему (1), где т ^ п.

П о н я т и е р а н г а

м а т р и ц ы . Матрица А системы (1)

содержит т строк и п столбцов. Путем вычеркивания некоторых строк и столбцов этой матрицы можно получать различные ква­ дратные матрицы и соответствующие им определители, которые могут оказаться равными или неравными нулю. Предположим, что для данной матрицы А все такие определители, порядок кото­ рых выше г, равны нулю, но по крайней мере один из определи­ телей порядка г отличен от нуля. Число г называется рангом матрицы А.

Рангом г матрицы А называется наивысший из порядков отличных от нуля определителей, которые можно составить из данной матрицы посредством вычеркивания части ее строк и столб­

цов. Для ранга матрицы А принято обозначение

г (А ) или г.

Из определения следует, что

 

г ^ т , г ^ л.

(8)

См. сноску на стр. 451.

1

2

3

 

 

 

 

 

Например, матрица 1

2

3

5 имеет

ранг

2,

потому

что все

1

2

3

4/

одинаковые

строки и

поэтому

определители третьего порядка имеют две

равны нулю, определитель второго порядка

3 4

отличен от нуля.

 

 

 

 

 

3 5

 

 

 

Не нарушая общности исследования, можно считать (и мы это будем делать), что отличен от нуля определитель, составленный из первых г строк и первых г столбцов матрицы А, именно

П1

д,=

(9)

 

V I

Если это не так, то можно достичь желаемого путем перестановки уравнений в системе (1), изменения нумерации неизвестных и со­ ответствующего изменения индексов у коэффициентов системы и у свободных членов. Определитель Аг называется главным опре­ делителем системы (1).

А. И с с л е д о в а н и е с л у ч а я г = т. В случае, когда ранг г матрицы коэффициентов системы (1) равен числу т урав­ нений, запишем систему в виде

®11®1Ч~

• • ■~Ь ®1А'г

^lr+l^r+l

• • •

®1я

 

(10)

..........................................................................................................Ч” • ■• ~Ь аггХг Ъг

Щ/-+УЛ -1

■• • •

 

 

a rnX rr

 

В системе (10) величины хг +1, . . хп играют

роль произволь­

ных параметров,

от которых

зависят

неизвестные

х г,

. . ., хг.

В случае п = г этих параметров не будет.

Ar

0,

потому

Определитель

системы (10)

отличен от нуля:

что г (А) — г. Система (10), содержащая г уравнений с г неизве­

стными х ъ . . ., хг в

соответствии с

теоремой

Крамера и

фор­

мулой (5) имеет решение, которое можно представить в виде

 

Xfc=

[(&і

а1г+1хг+1 ...

пАп) -^îk ~Ь

• • •

~г

 

или

 

Ч~ ірг

• • •

]>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

~ЬV'r+itA'r+i

• • • _г Ѵ'піА'п

{й — 1,

2,

.. •,

t) ,

(11)

где п — г параметров хг+1, . . ., хп суть произвольные постоян­ ные. Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 1. Если п = т = г, то система (1) имеет единствен­ ное решение, определяемое равенствами (5) (это теорема Крамера). Если п > т = г, то система (1) имеет бесчисленное множество решений, определяемое равенствами (11). (Это множество решений содержит п — г параметров, которые могут принимать произ­ вольные значения.)

 

П р и м е р .

z,

 

Система

 

х — у — z = 0,

х -f- у — z — 2

равносильна

системе х — г/ =

х + у

=

z + 2. Ее решение есть я = 1 +

z, ;/ = 1 ,

где z —

произвольное число. Геометрически этому решению соответствует линия

пересечения данных плоскостей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б. И с с л е д о в а н и е

с л у ч а я

 

г <^т. Рассмотрим си­

стему (1) при условии — ранг матрицы г меньше числа уравнений

системы (случай г = т рассмотрен выше, случай г >

т

невоз­

можен).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Левые части системы (1) суть линейные функции (линейные

формы) переменных x lt

х 2, .

. . , хп. Введем обозначения

 

 

/і(И ,

. .

•,

и )

=

 

 

 

"Р

'

• •

-1- П , Т

 

* • М

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ХЛІП 'Х'П'>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

 

 

 

 

 

 

 

/Л и ,

••

•,

И;) -

а

п

Х у

—

. • -

“Л ü r n X

n j

 

 

 

 

 

 

 

/ р ( Н ,

• • •>

х п )

==

a

p

l x l

+ .

. .

-і-apnxn (р = г +

1, . .

., т).

 

Лемма (о зависимости между левыми частями уравнений си­

стемы (1)). Если г

 

т и Аг Ф 0,

то линейные формы (12) связаны

линейной зависимостью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

і

 

/

 

і

A rj r -\- Apfі р

=

•

•0

•

( 1+ 3 )

при р = г +

1, . . .,

т, где А р — А, Ф 0.

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Рассмотрим вспомогательные опре­

делители

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аи

■ ■ a l r a l k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«к=

аЛ •

. аГгагк

 

 

 

 

 

(14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■Q-prO-pk

 

 

 

 

 

 

в которых к — любое из чисел

1, 2, . . ., щ р — любое из чисел

г +

1, . .

т. Они равны нулю, потому что при к sg г определи­

тель ck имеет два одинаковых столбца, а при к >

г он равен нулю,

так как г (А) = г. Поэтому в результате разложения определи­

теля ск по элементам последнего столбца получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ikA± ~j~ • • •

ч мг^/І,.-р

 

 

0,

 

 

 

(1л)

где

Ау, . .

А п

А р — алгебраические

 

дополнения

элементов

последнего столбца определителя ск\ здесь А р =

Аг ф 0 .

 

 

Составим линейную форму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ayfi +

 

 

Arfr -f Apfp =

П

(^ iaik +

 

 

~f Afirk + Apüpk) xk.

.. . +

2

 

• • •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта линейная форма согласно равенствам (15) равна нулю тожде­ ственно относительно х г, . . хп, т. е. имеет место тождество (13). Лемма доказана.

Рассмотрим определители вида

Е11

• • «іА

 

'П

(p = r + i , .. ., то),

(16)

■ ■&rfir

 

р і

* ■ü p r b p

 

называемые характеристическими определителями системы (1). Система (1) имеет т — г характеристических определителей.

Теорема 2. Для того чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно чтобы все характеристические опре­ делители системы были равны нулю

Ар —- 0

(р = г + 1,'Г.., т).

(17)

Д о к а з а т е л ь с т в о

н е о б х о д и м о с т и .

Пусть систе­

ма (1) совместна и хх%,

. .

хп* — ее решение;

таким образом

при і ■— 1, . . т имеем

 

 

 

/г ОН*.

• • -, ^ я * )= 0 .

(18)

Каждый характеристический определитель (16) можно предста­ вить в виде следующей суммы:

a i\ •

■•

йі Л А * ‘

•

• ~Г «1nx n*

n

« il ■• •

«ІЛ«1*

a rX . . .

&rr(lr]XJ %

.

• . -f-

 

a ri . . .

a rra rfl

« рі •

•

«рг«ргО * “Ь

• • • ~Ь «pn^vj*

fc=l

«pi • ■ Mpr^-pk

 

Определители,

получившиеся в правой

части

этого

равенства,

не отличаются от определителей (14) и равны нулю, что устано­ влено выше. Поэтому все Др = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и . Пусть вы­ полнено условие (17). Это условие, принимая во внимание (16), можно записать в развернутом виде

АхЪх-г- ■. шД А гЪгб-АрЪр —0,

(19)

где А х, ... ., А п А р — те же, что

и в формуле (15),

поскольку

определители ck и Др отличаются

лишь последними

столбцами.

Докажем, что при условии (17) система (1) сводится к подсистеме

/і («1, • • •> хп) — Ьх, fr (*і, ..., х„) = Ъп (20)

состоящей из первых г уравнений системы (1). Остальные т — г уравнений системы (1) являются следствиями ее первых г уравне­ ний и поэтому их можно отбросить. Действительно, всякое реше­ ние х14., . . ., хп% системы (20) удовлетворяет каждому из осталь­ ных т — г уравнений системы (1), потому что из равенств (19) и (20) следует A xf x + • • •+ A rfr + A pbp = 0. А отсюда и из (13)

■следует, что /р (ж1#, . . хп*) = Ър при р = г + 1, . . т, что и доказывает наше утверждение относительно системы (20).

Система (20) совместна. Действительно, если (20) представить в виде (10), то, так же как и выше, получим решение в виде (11), где г <( т. Теорема 2 доказана.

Вместе с тем доказаны следующие утверждения.

Теорема 3. Если все Др = 0 и г — п т, то система (1) имеет единственное решение, определяемое формулами теоремы Крамера применительно к системе (20). Если все Др = 0, г <" п и г <( иг, то система (1) имеет бесчисленное множество решений (11), зависящее от п — г произвольных параметров хг +1, . . ., хп. Если не все Др = 0, то система (1) несовместна.

Теорема 4. Для того чтобы система (1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы г = п и все Др = 0. Если г <Дп, то система (1) либо несовместна, либо имеет бес­ конечное множество решений.

П р и м е р

1.

+

z =

i - f - i/ + z==2.

Здесь т = 2,

п = 3,

г = 1. Система

несовместна,

потому

что

не

все характеристические

опре­

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

делители равны нулю:

2

Ф 0-

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

1

 

i,

3z -\- у =

7. Здесь т =

3,

п =

2. д: —(—У == 3, х — у —

= 2, г = 2, п <1 т. Единственный характеристический определитель равен нулю. Третье уравнение есть следствие двух первых — если умножить первое уравнение на 2 и сложить со вторым уравнением, то получим третье уравне­

ние. Система имеет единственное решение х =

2, у =

1.

П р и м е р 3. X — у = 2, Зх — Зу = 6.

Здесь

т = п = 2, г = 1.

Характеристический определитель равен нулю, поэтому система совместна. Она сводится к одному (первому) уравнению и имеет бесчисленное множество решений X = 2 у, где у — произвольное число.

Геометрическая трактовка примеров. В примере 1 уравнения опре­ деляют две плоскости в пространстве; эти плоскости не имеют общих точек. В примере 2 уравнения определяют на плоскости три прямые, пересека­ ющиеся в одной точке. В примере 3 уравнения определяют две прямые, совпадающие всеми своими точками.

252.Однородные системы линейных уравнений. Рассмотрим

систему т линейных однородных уравнений с п неизвестными

+ а<2+ х2+ . . . + аіпхп = 0 (і = 1,2, . . ., т).

(21)

Система (21) всегда совместна, так как имеет тривиальное решение

х і — x t — • • ' — х п = 0.

Условие (17)

для системы (21)

всегда

выполнено,

так как Ъг =

• • • =

Ът = 0.

случай системы (1)

и по­

Система

(21) представляет

частный

этому теоремы 1, 2, 3 и 4 п. 251 справедливы и для системы (21). В частности, имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Если т = п — г, то система (21) имеет только нулевое решение' Если г = т <( п, то система (21) имеет бес-. численное множество решений, определяемых формулами (11).

Смотрите также файлы