Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

4. В определении бесконечно малой функции говорится о суще­ ствовании числа ô и не требуется, чтобы был указан способ вы­ числения Ô по данному е.

5. Ни одна из постоянных величин (кроме а = 0), как бы мала она ни была по абсолютной величине, не является бесконечно малой, так как она не удовлетворяет условию (1). Постоянная а = 0 является бесконечно малой в силу определения бесконечно малой.

6. Термин «бесконечно малая» относится к характеру измене­ ния переменной, а не к ее «размерам». Так, вес льда айсберга, пере­ мещающегося к экватору, может иметь весьма большие промежу­ точные значения. Однако при стремлении £ к £0, где £0 — момент полного растаивания льда, этот вес неограниченно приближается к нулю и поэтому является величиной бесконечно малой.

С л е д с т в и е . Из определения 1 следует, что величины а (х) и \а(х)\ вместе являются (или не являются) бесконечно малыми. Действительно, неравенства | а (х) J < е и ||а (з :)||< е вместе выполняются (или не выполняются).

В связи с рассмотрением понятия бесконечно малой функции сформулируем понятие предельной точки множества. Пусть Z есть данное числовое множество. Точкой сгущения, или предельной точкой числового множества Z , называется точка z0, в любой окрест­ ности которой имеются точки множества Z, отличные от z0. Заме­ тим, что точка z0 может не принадлежать множеству Z.

П р и м е р 1. Пусть Z — множество чисел, удовлетворяющих условию а <; X <; Ъ. Каждая точка промежутка a sg х ^ Ъ является предельной точ­ кой данного множества. Действительно, в любой е-окрестности, например, точки а, т. е. в промежутке (а — е, a -j- 'е), имеются точки данного множества.

П р и м е р 2. Пусть Z — множество правильных положительных дро­ бей. Можно доказать, что каждая точка промежутка (в том числе

ииррациональная) является точкой сгущения данного множества.

Пр и м е р 3. Пусть а (х) — бесконечно малая функция при стремлении X к а, причем X — область определения функции и Y — область ее изменения.

Тогда согласно определению 1 число а является точкой сгущения множества

неравенство

I а + ß I «£ і а I -I-1ß I < Y + у = e.

Таким образом, установлено, что любому е > 0 соответствует такое ô ]> 0, что имеет место неравенство |а (х) + ß (х) | < е при условии 0 < I X — а | < Ô. Теорема доказана.

П р и м е ч а н и е . Теорема верна для алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых, что доказывается аналогично.

Например, функция sin х ограничена в любом промежутке, так как I sin X I ^ 1.

Функция / (х) называется ограниченной при стремлении х к а, если существуют числа М и ôj такие, что выполняется нера­ венство (4) при условии 0 < | ж — а | < ô x. Например, любая бесконечно малая а (х) при стремлении х к а есть величина огра­ ниченная. Действительно, роль числа М играет любое фиксирован­ ное et 0, так как по определению бесконечйо малой выполняется неравенство | а (х) | < ех при условии 0 < | х — а | < бх.

Теорема 2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Дано: 1) функция / (х) ограничена при стремлении х к а, т. е. на множестве, определяемом условием 0 < і\х — а | < С в ы п о л ­