Здесь Î и / — единичные векторы координатных осей, a ѵ — еди ничный вектор нормали. Из формулы (371)-видно, что при малых приращениях
т. е. модуль градиента можно рассматривать как коэффициент про
порциональности между приращением Au функции |
и расстоянием |
AN между соответствующими линиями положения. Обычно |
рассмат |
ривают линии положения величин их,. |
и2, и3, . . . |
лишь |
вблизи |
какой-либо точки. В пределах такой, |
достаточно |
малой, |
области |
вполне допустимо всякую поверхность рассматривать как плоскость, а все линии положения величины щ считать параллельными между собой прямыми, расстояния между которыми пропорциональны соответствующим значениям Дц.
Точность местоопределения по линиям положения зависит как от точности измеренных величин, точности построения и густоты линии сетки, так и от масштаба, в котором она составлена. Так как ошибки построения линий положения, интерполирования и измере ния координат будут выражаться десятыми долями миллиметра, то ошибки графических координат даже при пользовании крупно масштабными картами составят несколько единиц и даже десятков метров.
Поэтому при обработке опорных геодезических сетей линии положения можно использовать только для получения приближенных координат пунктов для вычисления различных поправок. Основное применение линии положения находят в радиолокации и радиона вигации для быстрого определения местоположения движущихся объектов (самолета, корабля). В этом случае ошибки определения местоположения в несколько десятков, а иногда и сотен метров можно считать допустимыми. Линии положения, построенные на крупномасштабных картах, можно использовать также при привязке маршрутов аэротопографических, аэрогеофизических и гравиметри ческих съемок в необжитых районах и на море и при решении других аналогичных задач.
В качестве величин и при построении линий положения можно принимать или измеренные величины, редуцированные на поверх ность эллипсоида, или проекции этих величин на поверхность шара или на плоскость. Наиболее просто строить сетку на плоскости в проекции Гаусса—Крюгера в случае, если измеренные величины редуцированы на эту же плоскость. Положение точки будет опре деляться также в системе координат Гаусса—Крюгера. Как указы валось в § 41, в этом случае можно одной координатной зоной ох ватить территорию до 1000 км с востока на запад и неограниченно с севера на юг.
Для определения положения точек по двум измеренным с изве стных точек азимутам строят азимутальную (гномоническую) сетку.
Уравнение |
линии положения |
в этом случае в системе |
плоских |
координат |
Гаусса—Крюгера |
будет |
|
|
|
T, = arctg |
V—Ух |
(373) |
|
|
|
X — Х^ |
|
где Т[ — дирекционный угол линии положения, хх и ух — коорди наты исходной точки, а х и у — текущие координаты линии поло жения. Придавая различные значения дирекционному углу Tt в уравнении (373), например 0, 5, 10° и т. д., получим семейство линий положения, представляющее пучок полупрямых, построен ных в исходной точке под углами Г, к оси абсцисс (см. рис. 178). Азимутальную сетку на плоскости можно построить при помощи
любого углоначертательного |
прибора |
(на |
пример, транспортира), а также по коор |
динатам, |
для |
чего достаточно нанести на |
основу |
по |
одной |
точке |
для |
каждого |
луча, если вся сетка размещается на од |
ной основе. В противном случае |
для |
построения каждого луча необходимо на |
каждой основе иметь не менее двух точек. |
Координаты |
точек |
вычисляются |
по |
фор |
мулам |
|
|
|
|
|
|
|
x~x1JrdcosTi |
|
|
y = yx + dsin |
Т{ |
Рис . 180 |
где d — произвольное, |
по возможности |
|
наибольшее, расстояние. |
Азимутальную сетку в системе географических координат, если величинами и являются направления (азимуты) на сфере или на эллипсоиде, наиболее удобно строить по координатам отдельных точек. В этом случае сетка будет представлять собой цучок геодези ческих линий. Координаты точек Мх, М2 и т. д. (рис. 180), необхо димых для построения данного луча, можно найти путем последо вательного решения прямой геодезической задачи, начиная от дан ной точки А. Расстояние s между смежными точками назначается из расчета необходимой частоты для построения линии. Прямой
азимут каждого |
отрезка следует получать путем прибавления 180° |
к вычисленному |
обратному азимуту предыдущей линии. |
В большинстве случаев точность вычисления координат, необ ходимых для построения сеток, может быть сравнительно невысокой. Ошибки определения широт 8В и долгот 6L нетрудно рассчитать по формулам
ЬВ" = |
mp"àx |
ЮООМ |
ЬЪ" = |
|
mp"àx |
1000ІѴ cos В |
где Ьх — необходимая точность графического построения, которую примем равной 0,1 мм; m — знаменатель масштаба основы, на ко торой строится сетка; M vi N — радиусы кривизны меридиана и первого вертикала эллипсоида для данного района. Положив M — = N = 6,4 • 106 м, получим следующие простые соотношения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05" = 2>,2т • Ю-6 ; |
|
|
|
ÔL"=^8B" sec |
В. |
Так, для |
масштаба |
сетки 1 : |
100 ООО под широтой 60° найдем |
6В |
= 0,3"; ÔL = 0,6". |
Для |
сетки |
в масштабе 1 : 2 000 000 допусти |
мые |
ошибки |
вычисления |
координат |
составляют соответственно |
6,4 и 12,8". Вычисление географических координат с такой точ
ностью можно выполнять |
по приближенным |
формулам. Так, |
поль |
зуясь только главными |
членами формул |
со |
средними аргументами |
B2 |
= B1 + |
|
(l)mscosAm |
|
|
|
Л і |
= А1а |
± |
180° + (2)m tg Bms |
sin Am , |
(374) |
L 2 |
= L 1 + |
|
(2)msecBmssmAm |
|
|
|
можно при расстояниях до 60 км получить географические коорди наты на эллипсоиде с ошибками 0,1". В формулах (374) Вт и Ат — средние значения азимута и широты. Вычисление по этим формулам производится методом приближений. Географические координаты, отнесенные к поверхности шара, можно получить также по форму
лам (374), заменив в них (1) и |
(2) через |
Расстояние s при вычи |
слении |
координат |
следует |
рассчитать |
так, чтобы на основе оно |
было |
в |
пределах |
5—10 |
см. |
Для |
масштаба 1 : 100 000 |
это соот |
ветствует |
5—10 км; для |
масштаба |
1 |
: 1 000 000—50 —100 |
км. |
Линии положения для расстояний представляют собой концент рические окружности (см. рис. 179), поэтому сетку таких линий называют круговой или стадиметрической. Графическое построение
круговой |
сетки на |
плоскости |
выполняется при помощи циркуля |
или |
другого аналогичного прибора. Уравнение |
линий |
положения |
в системе плоских |
координат Гаусса—Крюгера |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
(x-xxf |
+ {y~yxf^d\ |
|
|
(375) |
или |
в |
параметрической форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = хл |
4- à, cos |
T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = Уі + dt sin |
T J |
|
|
|
где |
di |
— расстояние от центра (исходной точки); хх, ух |
— координаты |
исходной |
точки; |
х, |
у — текущие координаты |
линии |
положения; |
Т — текущий параметр, который можно рассматривать как дирек-
ционный |
угол |
соответствующего |
радиуса. |
|
Наиболее просто координаты |
точек для |
построения круго |
вой сетки |
как |
в системе прямоугольных, так |
и географических |
координат (на сфере или на эллипсоиде) можно находить (как и при построении азимутальной сегки) путем последовательного вычисления точек, расположенных вдоль линии заданного азимута (дирекционного угла). Расстояние s в этом случае назначают равным разности радиусов смежных окружностей. Соединив плавной линией точки, равноотстоящие от центра, получим искомые линии положения, ко торые, в общем случае называют геодезическими окружностями.
Этот же способ можно применить для построения сетки гипербол, являющихся линиями положения разностей расстояний, измерен
ных с |
определяемой точки до |
двух |
известных |
точек. По |
строив |
описанным |
способом (в |
системе плоских или географи ческих координат) на каждой известной точке круговую сетку, соединим плавной линией точки
|
|
|
|
|
|
пересечения |
окружностей |
раз |
ных семейств, где значения |
раз |
ности радиусов равны |
величине |
гг . |
Каждое |
значение |
rt |
даст |
соответствующую |
гиперболу. |
На |
рис. 181 |
изображена |
ги |
перболическая сетка, |
|
построен |
ная этим методом, для исход ных точек А и В. Гиперболы изображены на рисунке жирными линиями; окружности, по которым
строились гиперболы, показаны тонкими линиями.
Для построения по точкам, прямоугольные координаты х, у
точек |
гиперболы с |
разностью |
расстояний г,- до |
исходных точек |
А (Яц Уі) и В (х2, |
у2) |
можно |
найти по формуле |
|
|
|
|
у = а ] / і - ( £ ) 2 |
(377) |
или в |
параметрической |
форме |
|
|
|
|
|
x = btgt; y = asect. |
(378) |
Здесь за ось ординат принята линия, соединяющая исходные точки А и В, а за начало координат — середина этой линии. Полу оси гиперболы находятся по формулам
1
а = = 2 Г < >
Ь = \Ѵ {х2-х^ |
+ (у2-Уіу-гІ |
(379) |
По |
найденным описанным способом условным координатам |
можно |
получить координаты X , Y в |
системе Гаусса—Крюгера |
по известным формулам |
|
|
|
X = X sin Ѳ + у cos Ѳ + |
Х0 |
(380) |
|
Y — у sin Ѳ — X cos Ѳ + Y0 f |
|
|
где
X0 — — (xx -|- x2)
tgO: У2 — Vi
х2 — хг
Географические координаты точек гиперболы нетрудно получить путем перевода прямоугольных координат по соответствующим формулам сфероидической геодезии, а именно
|
В = В 0 - ^ Р % [ 1 1 - ^ ( 5 |
+ 3 ^ ) ] |
|
L = |
L 0 |
- |
|
(381) |
|
|
|
|
|
|
|
N0cos Во |
|
где L Q |
— долгота |
осевого |
меридиана; В0 — приближенная широта, |
найденная по абсциссе |
точки, считаемой |
длиной дуги меридиана |
от экватора, и t0 |
= |
tg |
В0. |
|
Все |
изложенное |
относительно построения гиперболических се |
ток можно распространить на построение сеток эллиптических, рас считанных на случай, когда измеренной величиной является сумма расстояний от определяемой до двух известных точек. Уравнение эллипса в прямоугольных координатах, отнесенное к его большой
оси и к центру, |
имеет вид |
|
|
|
|
Я.2 ~ |
Ь2 |
' |
(382) |
а параметрические |
уравнения |
будут |
|
|
X = a cos |
t |
(383) |
|
y = |
bsint |
|
|
Азимутальную, круговую, гиперболическую или эллиптическую сетку в любой проекции эллипсоида можно построить, если предва рительно на соответствующую основу (или карту) нанести достаточно частую сетку координатных линий в системе прямоугольных ко ординат Гаусса—Крюгера. Вершины сетки можно наносить по гео графическим координатам, найденным с помощью таблиц, пред назначенных для расчета координат вершин съемочных трапеций. Линии положения наносятся в этом случае или по прямоугольным