Файл: Проворов К.Л. Радиогеодезия учеб. пособие.pdf

на эллипсоиде

По результатам уравнивания изложенным способом на эллип­ соиде можно найти поправки dX, dY и dZ к приближенным прямо­ угольным геоцентрическим координатам X , У и Z. Путем дифферен­ цирования выражений

dZ^^yfdB.

Заменив здесь dB и dL через £ит] [см. формулы (361)], получим

Vi

(последние два члена уравнений (362)). В этом случае будет только два нормальных уравнения, из которых -и определятся поправки g ит). Рассмотренный способ может применяться и при отсутствии избы­ точных измерений, когда для определения положения одной точки измерено только две величины и, следовательно, уравнений будет только два. Напишем эти уравнения

327

Из уравнений (365) сразу же найдем поправки £ и и . Изложенный способ целесообразен во всех случаях, когда заранее известны при­ ближенные координаты определяемой точки (например, с карты или по линиям положения).

Уравнивание радиогеодезических измерений в любых геодезиче­ ских построениях можно проводить также по методу условных изме­ рений. При работе на настольных вычислительных машинах этот метод во многих случаях будет проще. Однако при вычислении с по­ мощью ЭВМ метод посредственных измерений оказывается выгоднее из-за стандартности и общности вычислительных операций.

Рассмотренными выше способами далеко не исчерпываются суще­ ствующие, весьма разнообразные, способы решения специальных задач по данным радиогеодезических измерений, наиболее подробное изложение которых дается в специальной монографии В. А. Поле­ вого [30]. /

В процессе уравнивания и окончательных вычислений может воз­ никнуть необходимость решения треугольников. Если обработка производится в проекции Гаусса, то измеренные элементы (азимуты, углы или расстояния) предварительно редуцируют на плоскость. Решение треугольников производится по формулам плоской тригоно­ метрии. Если известны углы, то стороны находят по теореме синусов. Если даны стороны, то вычисление производят по формуле

или по формуле

где

p = j(a + b + c).

При вычислениях на сфере или на эллипсоиде решение треуголь­ ников выполняют также по формулам плоской тригонометрии (на основании теоремы Лежандра). При этом, если известны сферические (сфероидические) углы, то для вычисления сторон из каждого угла предварительно вычитают одну треть сферического избытка. Если же известны длины сторон, то, найдя плоские углы, прибавляют к каж­ дому углу одну треть сферического избытка. Сферический избыток е находят по приближенной формуле-

С вполне достаточной для радиогеодезических измерений точно­ стью решение треугольников по способу Лежандра можно выполнять для треугольников с длинами сторон до 500 км. При сторонах, пре­ вышающих 500 км, треугольники решают по формулам сферической тригонометрии, исправляя углы в необходимых случаях сфероидическими поправками.

328

§ 46. О Л И Н И Я Х П О Л О Ж Е Н И Я

ПР И РАДИОГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РАБОТАХ

Как известно, для определения точки на поверхности эллипсоида необходимо и достаточно измерить две, а в пространстве — три неза­ висимые величины. Таковыми могут быть как расстояния или напра­ вления, так и их простейшие функции, например разности. Если измерить только одну из перечисленных выше величин, то можно построить линию, для всех точек которой значение измеренной вели­ чины будет одно и то же. Такую линию называют линией положения

или линией уровня. Например, линией положения измеренного рас­ стояния является окружность с радиусом, равным этому расстоянию. Искомая точка поверхности определится только при наличии двух таких линий-, как точка их пересечения. Построив заранее сетку из двух семейств линий положения, можно определить местоположение точки и ее координаты графически, в пересечении соответствующих линий.

На рис. 178 изображена азимутальная сетка, рассчитанная на определение точек по измеренным азимутам (дирекционным углам). Линиями положения этой сетки являются лучи, проведенные от двух исходных точек через 10°. На рис. 179 показана круговая сетка, пред­ назначенная для определения точек по расстояниям до двух исход­ ных точек. Линии положения этой сетки представлены концентриче­ скими окружностями с радиусами, изменяющимися через 2,5 мм. Для лучшей читаемости каждое семейство линий положения на сетке вычерчивают различными цветами (на рис. 178 и 179 линии одного семейства показаны сплошными, а другого — пунктирными линиями).

Область определения точек на поверхности эллипсоида, или на какой-либо проекции эллипсоида, можно представить как плоское скалярное поле, каждой точке которого соответствует некоторая ска­ лярная величина и (под и можно понимать любую измеренную

329

Если функция (368) однозначна и непрерывна в рассматриваемой области, то при некотором значении щ — const мы получим множе­ ство точек, составляющих линию положения, уравнение которой в прямоугольных координатах будет

положения точки М, можем считать (369) уравнением линии положе­ ния, проходящей через эту точку. Так как уравнение имеет два неизвестных, то для определения положения точки необходимо не менее двух линий, принадлежащих к двум скалярным полям. Поля могут быть одинакового или различных свойств. Так, за первое можно взять поле и (например, направление, измеренное на исходной точке), а за второе — поле г- (например, расстояние от той же или от другой исходной точки). Тогда для определения неизвестных координат полу­ чим два уравнения:

Графическое изображение этих полей дает сетку линий положе­ ния, по которой можно находить местоположение точки в пересе­ чении соответствующих линий.

Расстояние AN между смежными линиями положения, считае­ мое по нормалям к ним, будет определять густоту линий, а.следо­ вательно, и точность графического получения координат точек. Величина AN зависит от разности скаляров Au, принятой при по­ строении сетки, и от градиента. Градиент скалярного поля и (grad и) является вектором, направленным по нормали к линии положения в сторону возрастания скаляра и. Градиент определяется по формуле

330