Файл: Проворов К.Л. Радиогеодезия учеб. пособие.pdf

После этого координаты точки M найдем по формулам (352). Решение на сфере задачи фазового зонда, когда измерены разности расстояний Гі = Si — s2 и r 2 = s3 — s2 с определяемой точки до трех исходных точек А, В и С (рис. 177), выполняется по способу, анало­ гичному для этой же задачи на плоскости. Из сферических тре­

угольников АМВ и ВМС найдем

cos Оі — cos о 1 2 cos а2 4- sin а1 2 sin а2 cos а;

322

Положив

разделим первое из уравнений (355) на второе. После этого получим

I — к sin p2 —sin p b Уравнение (357) с помощью под­

становки t g ô = -^- можно привести

Теперь, зная o 2 и А из решения прямой геодезической задачи [формула (351)1, найдем координаты точки М.

Способы решения геодезических задач на поверхности эллип­ соида рассматриваются в сфероидической геодезии. Приведем один из способов. Прямоугольные геоцентрические координаты X, У, Z определяемой точки M по двум измеренным величинам — расстоя­ ниям или азимутам — от двух исходных точек А я В (см. рис. 176, б) можно найти из следующих трех уравнений:

Здесь

где а и е' — большая полуось и второй эксцентриситет земного эл­ липсоида. Коэффициенты в написанных уравнениях для расстояния (длины хорды) si от точки А или В до точки M равны

Уравнения (359) получены путем преобразования выражений для

Выразив а: и у из второго и третьего уравнений (359) через z и под­ ставив найденные выражения в первое уравнение (359), получим урав­ нение, из которого найдем неизвестное z. Если обе измеренные вели­ чины являются азимутами нормальных сечений, то полученное урав­ нение будет квадратным, решение которого не представляет затруд­ нений. Если же одна или обе измеренные величины длины хорд, то полученное уравнение будет четвертой степени. Корни его можно найти численным методом (методом хорд или касательных). Выбор необходимых корней можно производить с помощью грубого графи­ ческого построения.

При вычислении на шаре радиуса R следует во всех формулах положить

N = a = R; e's = 0.

324

и отыскание из них координат во всех случаях сведется к решению квадратного уравнения.

Приведенные выше формулы позволяют получить координаты определяемой точки при наличии только необходимого числа измере­ ний. Если для определения одной точки имеются избыточные (незави­ симые) измерения или же обработке подлежит несколько точек, соста­ вляющих геодезическую систему, то возникает необходимость урав­ нивания измеренных величин. Наиболее просто уравненные коорди­ наты определяемых точек можно получить посредственным способом уравнивания. Рассмотренные ниже методика и формулы являются общими, независимо от вида измеренных величин и от поверхности, на которой производится уравнивание. Способ сводится к отысканию из уравнивания поправок Ьх и ог/ (при уравнивании на сфере — попра­ вок ей и ÔÀ и при уравнивании на эллипсоиде — поправок 8В и 8L)

деляемой точки (на сфере или на эллипсоиде). Исходя из известных дифференциальных формул, напишем уравнения погрешностей в сле­ дующем виде:

для направления или азимута, измеренного с точки 1 на точку 2,

325

Здесь А Х и А 2 — прямой и обратный азимуты при уравнивании на сфере или на эллипсоиде, или же дирекционные углы при уравни­ вании на плоскости; £ — поправка ориентирования, общая для всех направлений на данном пункте. Если уравниваются азимуты (дирек­

углы), найденные из решения обратных геодезических задач по при­ ближенным координатам первой и второй точек, a s1 2 и A T — изме­ ренные длины и азимуты. Если измерялись направления, то для полу­ чения по ним «измеренных» азимутов достаточно к каждому направле­ нию прибавить приближенный азимут направления, принятого на станции за начальное (нулевое). Во втором уравнении (362) приведен­ ная длина геодезической линии для эллипсоида или шара заменена

обе точки являются твердыми, то при уравнивании направлений уравнение погрешности примет вид

t = vN.

Уравнения погрешностей для измеренных разностей расстояний (в способе фазового зонда) или разности направлений (в способе изме­ ренных углов) следует получать как разности соответствующих урав­ нений для расстояний и направлений. Веса для уравнений (362) следует находить по известной формуле

к

Р~ та '

где к — коэффициент пропорциональности, a m — средняя квадратическая ошибка измеренной величины: расстояния ms, направления или азимута mN, разности расстояний тг или угла та. Если уравни­ ваются однородные величины, например углы, измеренные с одина­ ковой точностью, то веса можно считать равными единице.

Составив уравнения погрешностей для всех измеренных величин, из решения соответствующих им нормальных уравнений можно найти величины I и и для всех определяемых пунктов. Тогда вероятнейшие координаты этих пунктов найдутся по формулам:

на плоскости

326