ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 324
Скачиваний: 15
§ 15.5. О П ТИ М А Л ЬН Ы Е СИСТЕМ Ы Д Л Я С Е Л Е К Ц И И СИГНАЛОВ |
639 |
Для определения с в случае критерия Неймана — Пирсона находим вероятность ложной тревоги. При отсутствии полезного сигнала принимаемые импульсы Z; совпадают с импульсами помехи X (. Следовательно, условный закон распределения величины W* при отсутствии сигнала является нор мальным, причем математическое ожидание величины W* равно нулю, а дисперсия определяется формулой
h
D[W*] = k 2 s\ = kS, l=i
так как импульсы помехи X ; по условию независимы и их дисперсии равны к. Поэтому вероятность ложной тревоги определяется в данном случае формулой
с о |
і>2 |
о о |
z 2 |
vis
Приравнивая эту вероятность заданной величине а , получим уравнение для определения порогового уровня:
Ф |
(15.4.33) |
Для определения вероятности пропуска сигнала заметим, что в случае нали чия сигнала амплитуды щ
h |
h |
h |
w*=ui 2 |
»?+ s* .'x ! = “is + |
S * * - |
г=і |
;=i |
i=i |
Следовательно, в случае наличия полезного сигнала амплитуды щ выходной сигнал оптимальной системы обнаружения W* является нормально распре деленной случайной величиной с математическим ожиданием utS и диспер сией kS. Поэтому вероятность пропуска сигнала определяется формулой
|
оо |
с |
(i>-mS)2 |
г |
0 |
—оо |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
(15.4.34) |
Замечая, что согласно (15.4.33) величина ѵ = c / ^ k S зависит только от задан ной вероятности ложной тревоги а, можем переписать полученную формулу
для вероятности пропуска |
сигнала |
в виде |
|
ОО |
|
|
|
Рпр = У * j |
А (ѵУ *) |
[ у + Ф ( ѵ - ѵ У ^ ) ] dy. |
(15.4.35) |
О |
|
|
|
§15.5. Определение оптимальных систем для селекции сигналов
Взадачах практики требуемый выходной сигнал часто сопро вождается не только искусственной или естественной помехой, представляющей собой случайную функцию времени, отличаю щуюся по своим свойствам от полезного сигнала, но и помехой
640 ГЛ . 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
в виде ложных сигналов. Так, например, противник может созда вать помехи работе локационных станций в виде ложных целей, чтобы отраженные от них сигналы смешались с сигналом от дей ствительной цели и нарушили работу локационных станций. В та ких случаях возникает задача выбора действительного сигнала из группы сигналов или, как говорят, задача селекции сигнала.
Ясно, что для возможности селекции сигнала необходимо, чтобы этот сигнал по каким-либо физическим свойствам отличался от ложных сигналов. Так обычно и бывает на практике вследствие практической невозможности создать ложные цели, не имеющие никаких физических отличий от действительной. Математически это отличие выражается в том, что функциональная форма действи тельного сигнала и его зависимость от параметров отличаются от функциональной формы ложных сигналов и их зависимости от параметров. Но в таком случае для решения проблемы опти мальной селекции сигнала можно применить общий метод § 15.1.
Предположим, что сигнал <р (t, U) в (15.1.11) является суммой нескольких сигналов <р0 (t, U), cpi (t, U), . . ., фm (t, U), пред ставляющих собой известные функции времени t и неизвестных (случайных) параметров и 1г . . ., UN:
т |
|
Z (t) = фо (£, £/) + 2 Фг (^> U) -\-Х (t). |
(15.5.1) |
Г= 1
Предположим, что ф0 (t, U) представляет собой действительный сигнал, а остальные сигналы являются ложными. Тогда задача селекции сигнала будет*состоять в наилучшем воспроизведении сигнала ф0 (t, U) по результатам наблюдения случайной функ ции Z (t) (т. е. всех принимаемых сигналов вместе с помехой). Требуемый выходной сигнал W (t) определяется в данном случае формулой
W (t) = ф (t, U) = фо (f, U). |
(15.5.2) |
В более общем случае, когда система должна не только отделить истинный сигнал от ложных и от помехи, но и осуществить некото рые преобразования истинного сигнала, например экстраполяцию и л и дифференцирование, требуемый выходной сигнал определяется формулой
W (0 = ф (<, U) = Р,ф0 (t, U), |
(15.5.3) |
где Р — некоторый оператор, в общем случае нелинейный. Подставляя выражения функций ф (т, U) и ф (t, U) пз (15.5.1),
(15.5.2) или (15.5.3) в формулы § 15.1, получим общий метод решения задач селекции сигнала по любым статистическим крите риям. Для практического применения этого общего метода к раз личным конкретным задачам селекции сигнала необходимо опре делить форму истинных и ложных сигналов и их зависимость
§ 15.5. О П ТИ М А Л ЬН Ы Е СИСТЕМ Ы Д Л Я С Е Л Е К Ц И И СИГН АЛОВ |
641 |
от неизвестных параметров для используемых в проектируемой системе физических принципов приема сигнала. Тогда, выбрав подходящий критерий, например критерий минимума средней квадратической ошибки, можно общим методом § 15.1 найти оптимальное решение задачи селекции сигнала и оценить потен циальные качества системы селекции, основанной на данных физических принципах.
Вследствие того что изложенный общий метод определения оптимальных способов обработки принимаемых сигналов, как было отмечено в § 15.1, применим к нахождению оптимальных многомерных систем, имеющих любое число входов и выходов, он дает принципиальную возможность находить оптимальное решение задачи селекции сигнала и для многоканальных систем, основанных на одновременной обработке нескольких сигналов, получаемых от различных источников информации, работающих на различных физических принципах.
Г л а в а 1 6
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
§ 16Л. Принцип максимума
Среди задач теории оптимальных систем, перечисленных в § 13Л, следует выделить такие, в которых объект управления задан и требуется определить управляющие действия или, короче, управления, обеспечивающие в известном смысле наилучшее, опти мальное протекание процесса управления в заданных условиях. При этом информация об объекте управления задается обычно в виде уравнений, описывающих его поведение. Должен быть задан также критерий оптимальности системы, в качестве которого могут быть выбраны различные технические и экономические показатели или вероятностные характеристики ошибки. Задача состоит в определении алгоритма управления (закона управления), доставляющего экстремум критерию качества при условии, что на сами управления и на координаты объекта могут быть нало жены ограничения. Для решения этой задачи применяются методы вариационного исчисления, принцип максимума Л. С. Понтряги на [48], являющийся развитием вариационного метода, метод динамического программирования Р. Веллмана [77], также являю щийся развитием вариационного метода и связанный с принципом максимума. Из них последние два более адекватны задачам теории оптимального управления, так как дают возможность учесть реальные ограничения и получить решение в тех случаях, когда классические методы вариационного исчисления неприменимы. С этим направлением связаны методы аналитического конструиро вания регуляторов, изложенные в [92], а также методы, разви тые в [89].
Рассмотрим типовые задачи оптимального управления объек том, поведение которого описывается конечным числом обыкновен ных дифференциальных уравнений. Примерами таких объектов могут служить летательный аппарат, двигатель и т. п. Состояние такого объекта характеризуется п выходными переменными г/,, . . .
. . ., уп. Удобно эти величины считать координатами вектора у. Объект управления при функционировании подвергается действию управляющих сигналов щ, . . ., иг через органы управления. Если таких управлений несколько, то их также можно объединить в вектор управления гі.
