ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 327
Скачиваний: 15
§ 1 5 .3 . МИНИМУМ СРЕДНЕЙ КВ А ДРА ТИ ЧЕСКО Й ОШ ИБКИ |
62 9 |
ческих уравнений для определения условных математических
ожиданий U*, . . ., U% параметров |
Uu . . ., UN: |
||
N |
N |
t |
|
2 |
(ЬРЯ + сРя)и * = 2 срЛ + |
j |
g(P) (t, x) Z (x)dx (15.3.11) |
q=l |
9=1 |
l-T |
|
(P = 1,
Таким образом, в случае линейной зависимости входного сигнала Z и требуемого выходного сигнала W от параметров сигнала и нор мального априорного распределения параметров сигнала оценки U*, . . ., U% параметров сигнала определяются системой линей ных алгебраических уравнений (15.3.11). В результате решения этой системы уравнений величины U*, . . ., U% получаются как линейные комбинации правых частей уравнений (15.3.11). Под ставляя эти линейные комбинации в (15.3.9), получим оценку W* требуемого выходного сигнала W в виде линейной комбинации
правых |
частей уравнений (15.3.11): |
|
|
|
|
|
t |
N |
N |
|
|
W*(t)= |
j |
2 M * ) * <p>(f,T)Z(T)dT+ |
2 |
cpqmqXp {t). |
(15.3.12) |
|
t-T p=l |
V, 9=1 |
|
|
|
Для определения величин ХДі), . . ., XN (t) |
достаточно подставить |
||||
в формулу |
(15.3.12) вместо правых |
частей уравнений |
(15.3.11) |
||
их левые части и сравнить полученную формулу с (15.3.9). Тогда,
приравнивая друг другу коэффициенты при U*, . . ., |
U% в двух |
|||
полученных |
выражениях W* (t) и |
учитывая, что |
bpq — bqp, |
|
cpq = |
cqp, получим для определения |
. . ., XN систему линей |
||
ных |
алгебраических уравнений |
|
|
|
|
N |
(bqp+ cqp)XP = y q(t) |
|
|
|
h |
( 5 = 1.........Л-). |
(15.3.13) |
|
p = i
Формула (15.3.12) показывает, что в случае нормально рас пределенных сигнала и помехи критерий минимума средней квадратической ошибки всегда дает линейную оптимальную систе му. Иными словами, при нормальном распределении сигнала и помехи оптимальная система среди всех возможных систем линейна. Однако в общем случае эта линейная система неодно родна и отличается от оптимальной однородной системы, которую дают методы, изложенные в предыдущих главах, тем, что в выраже ние ее выходного сигнала И"* (t), кроме выходного сигнала линей ной системы, соответствующей случаю нулевых математических ожиданий случайных величин Ut, . . ., UN, входит еще незави симое от входной функции Z слагаемое. Легко проверить, что это слагаемое представляет собой поправку на смещение, кото рая ликвидирует смещение и делает математическое ожидание
630 гл. 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
выходного |
сигнала системы |
W* равным математическому ожи |
|||||
данию требуемого выходного сигнала W. Действительно, |
на осно |
||||||
вании |
(15.3.12), |
(15.2.1), (13.6.6), (15.3.13) |
и (15.3.6) |
|
|||
|
|
t |
N |
|
N |
|
|
M [ w * { t )]= j |
2 м * ) ѵ р ,(*,-о |
|
|
|
|||
|
|
t - T |
р = 1 |
|
g = l |
|
|
|
N |
|
N |
N |
N |
N |
|
"f" |
2 |
cpqmq^“p ( 0 = 2 |
2 |
bqphp(t) -f- 2 |
mq 2 ^qpXp (0 |
||
P, q = l |
|
q = l |
p = l |
q = l |
p = l |
|
|
N |
|
N |
|
N |
|
|
|
= 2 |
^ 2 |
(bQP+Cqp)^P (0 = |
2 |
mqtyq(t)=M[W(t)]. |
(15.3.14) |
||
9=1 |
p = l |
|
g = l |
|
|
|
|
Доказанное предложение имеет весьма общий характер и спра ведливо не только для критерия минимума средней квадратической ошибки. А именно в случае линейной зависимости входного сигнала Z и требуемого выходного сигнала W от параметров
Uu . . ., UN и нормального распределения параметров |
Uu . . . |
. . ., UN и помехи X (t) любой критерий вида (15.1.3), |
соответ |
ствующий функции потерь, зависящей только от ошибки системы W* — W, дает линейную оптимальную систему. При этом для любой функции потерь, представляющей собой неубывающую функцию модуля ошибки I W * — W I, получается та же опти мальная система, которую дает критерий минимума средней
квадратической ошибки (см. [53], |
§§ 143 |
и 145). |
§ 15.4. Оптимальные системы для обнаружения |
||
сигналов в |
шумах |
|
В § 15.2 было показано, что |
задача |
обнаружения сигнала |
Ф (t, U) в шумах представляет собой частный случай задачи, решенной в § 15.1, когда функция потерь определяется форму лой (13.2.14):
1 |
при |
\ѴФ 0, |
|
X при |
W = 0, W*>c, |
(15.4.1) |
|
{0 |
при |
W = 0, |
и при W Ф 0, W* > с . |
Очевидно, что начало отсчета параметров сигнала U всегда можно выбрать так, чтобы нулевому значению одного из пара
метров сигнала соответствовало отсутствие |
сигнала. Тогда |
будем |
|||
иметь ф (т, 0) = 0 . |
При этом вследствие (15.1.30), |
(15.1.27) |
будем |
||
иметь также |
g ( t , т , 0 ) е= 0 , |
ß ( 0 ) = |
0 . |
(1 5 .4 .2 ) |
|
§ 15.4. О П ТИ М А Л ЬН Ы Е СИСТЕМ Ы Д Л Я О Б Н А Р У Ж Е Н И Я СИГН АЛОВ 631
Обозначим через р вероятность присутствия сигнала, через
д = 1 — р вероятность отсутствия сигнала во входной функции Z,
ачерез h (и) условную плотность вероятности параметров сигнала при его наличии. Тогда априорная плотность вероятности пара
метров сигнала U выразится формулой |
|
/ (и) = qb (и) + ph (и). |
(15.4.3) |
Подставляя выражение (15.4.3) в формулу (15.1.28) и учитывая
(15.4.2), получим
оо
P(Z, W ) = X(Z) [gZ(0, w*)+ p j J(q>(f, и), W*)h(u)x
—oo
*t
|
|
X exp I |
j |
g(t, X , |
u)Z(x)dx — y ß (w )| dwj |
. (15.4.4) |
|||||
|
|
|
t - T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
на |
основании |
(15.4.1) |
находим |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
* ( z )pQiz ) |
|
при W*s^c, |
(15.4.5) |
|||
|
|
’ |
|
|
I %(Z)qX |
|
при |
W*>c, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
где для |
краткости |
через Q (Z) |
обозначена |
величина |
|||||||
|
ОО |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
Q (Z) =' |
[ h (и) exp I |
j |
g(t, |
T, u ) Z ( t) cZt — y ß (u )} d u . |
(15.4.6) |
||||||
|
|
|
|
t-т |
|
|
|
|
|
|
|
Для определения |
к (Z) |
подставим выражение (15.4.3) |
в (15.1.26). |
||||||||
Тогда, |
принимая |
во внимание |
(15.4.2) |
и |
(15.4.6), найдем |
||||||
|
|
|
|
x(Z) = [q+ pQ(Z)]-K |
|
(15.4.7) |
|||||
Подставляя |
это выражение |
в (15.4.5), |
получим |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
pQ (Z) |
при |
|
|
||
|
|
|
|
|
я+ pQ (Z) |
|
(15.4.8) |
||||
|
|
p ( Z ,* n = 4 |
^ |
|
при W* > c. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
q+pQ (z) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда видно, что при любой реализации входной случайной функции Z величина р (Z, W*), рассматриваемая как функция W*, представляет собой ступенчатую функцию с разными ординатами при W* ^ с и при W* > с (рис. 15.4.1). Наименьшее значение величины р (Z, W*) соответствует наименьшей из двух ординат. Поэтому, если при данной реализации случайной функции Z первая ступенька ниже второй (рис. 15.4.1, а), то система должна принять решение, что сигнал отсутствует, т. е. выдать выходной сигнал W* ниже порогового уровня с. Если же при данной реали зации случайной функции Z вторая ступенька ниже первой
632 |
гл. |
15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
(рис. |
15.4.1, б), то система должна принять решение, что сигнал |
|
есть, |
т. |
е. выдать выходной сигнал W*, превосходящий пороговый |
уровень с. Для обеспечения автоматического выбора наименьшей
ступеньки |
достаточно принять за |
выходной сигнал системы W* |
||||
г 1 |
|
любую возрастающую функцию вели- |
||||
|
чины Q (Z). При |
этом в качестве поро |
||||
,--------------- |
гового уровня с необходимо принять |
|||||
значение этой функции при аргументе, |
||||||
' |
|
равном Xq/p: |
|
с = X( |
> (15.4.9)~ |
|
I |
|
W* = x(Q(Z)), |
||||
О |
W |
где %(£) — произвольная возрастающая |
||||
|
а) |
функция. Действительно, если Q (Z) ^ |
||||
|
*CXq/p, |
то |
первое значение |
функции |
||
|
|
|||||
|
|
р (Z, W*), |
определяемой |
формулой |
||
|
|
(15.4.8) |
(первая ступенька), будет мень |
|||
|
|
ше второго. При |
этом будет %(Q (Z)) ^ |
|||
|
|
*C%(Xq/p), т. е. W* ^ с. Если Q (Z) > |
||||
|
|
> Xq/p, |
то |
второе значение |
функции |
|
|
|
р (Z, W*), определяемой |
формулой |
|||
|
W |
(15.4.8) (вторая ступенька), будет мень |
||||
|
ше первого. |
При |
этом будет %{Q(Z)) > |
|||
|
6) |
> X (яМр), т. е. W* > с. |
|
|||
Рис. |
15.4.1. |
Для |
оценки |
вероятности ошибки |
||
вспомним, что на основании сказанного |
||||||
в § 13.2 величина р (Z, W*) при X = 1 совпадает с условной вероятностью ошибки при данной реализации входной случайной фупкции Z. Следовательно, условная вероят ность ошибки при данной реализации входной случайной фупкции Z определяется формулой
|
pQ (Z) |
при |
p Q W X q X , |
|
q+pQ{Z) |
||
Рот (Z) — |
|
(15.4.10) |
|
я |
|
||
|
при |
pQ (Z) > qX. |
|
|
я+pQi.z) |
Для решения задачи обнаружения сигнала по критерию мини мума вероятности ошибки (критерий «идеального наблюдателя») следует на основании сказанного в § 13.2 положить во всех преды дущих формулах X = 1. Для решения задачи обнаружения сигнала по критерию Неймана — Пирсона величину X следует определить из условия равенства вероятности ложной тревоги (т. е. вероят ности того, что выходной сигнал системы превысит пороговый уровень при отсутствии полезного сигнала во входной функции Z) заданной величине а. В общем виде вероятность ложной тревоги вычислить затруднительно, вследствие чего и определение X
