§ 15.4. О П ТИ М А Л ЬН Ы Е СИСТЕМ Ы Д Л Я О БН А Р У Ж Е Н И Я СИ ГН А ЛО В 633
в общем виде затруднительно. Однако практически всегда полез* ный сигнал представляет собой линейную комбинацию известных функций с коэффициентами, зависящими от параметров V . В таких случаях вероятность ложной тревоги может быть вычислена срав нительно просто. Мы увидим, как это делается, на примерах.
Изложенный способ определения оптимальной обработки при нимаемых сигналов с целью обнаружения в них полезных сигналов позволяет оценивать предельные возможности систем обнаруже ния, их максимальную теоретически достижимую помехоустойчи вость, которая не может быть улучшена никакими техническими средствами при данных статистических свойствах сигналов и помех. Такая предельно возможная помехоустойчивость систем обнару жения сигналов обычно называется потенциальной помехоустой чивостью. Помехоустойчивость любой реальной системы обнару жения сигналов не может превзойти потенциальную помехоустой чивость. Основы теории потенциальной помехоустойчивости в радиотехнике были заложены В. А. Котельниковым [33]. Ее зна чение заключается главным образом в том, что она позволяет оценивать предельные качества приемных систем при данном характере полезных сигналов и помех и определяет возможные требования к проектируемым системам.
П р и м е р 15.4.1. Найти оптимальную систему для обнаружения синусоидального сигнала со случайной амплитудой I/j и известной фазой, если помеха представляет собой нормально распределенный белый шум интенсивности к. В данном случае
Z (<) = U! sin (о/ + X (t), W (t) = Ui sin a>t. |
(15.4.11) |
Так как полезный сигнал является линейной функцией параметра (7Ь то весовая функция g (t, т, и), согласно (15.2.2), определяется формулой
|
|
g (г, т, и) |
= uigf1) (г, т). |
|
Для |
определения g(1>(г, т) можно воспользоваться |
формулой (14.1.4). |
В результате |
получим |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
g-d) (г, т) = — sin tor. |
|
|
|
|
rC |
|
На |
основании |
(15.1.27) функция |
ß (м) определится |
формулой |
|
|
t |
|
|
|
|
ß (u)==l Г j |
sin2coxdT = - ^ - , |
|
|
|
t - T |
|
|
если считать интервал наблюдения Т кратным полупериоду я/со. После этих предварительных вычислений, учитывая, что амплитуда É7, существенно, положительна, по формуле (15.4.6) находим
ООt
Q (Z) — j h (ui) exp ( ~ |
j Z ( t ) sin сот d t ----} dut. |
6 3 4 ГЛ . 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Очевидно, что в данном случае величина Q (Z) при любой плотности вероят ности h (щ) является возрастающей функцией интеграла в показателе степени. Следовательно, обратная функция определяет интеграл в показателе степени как возрастающую функцию Q (Z). Поэтому выходной сигнал оптимальной системы можно определить ^формулой
1
W* (t) = ^ Z (т) sin сот (2т. |
(15.4.12) |
І - Т
Таким образом, в рассматриваемом случае всегда существует оптимальная линейная система, независимая от закона распределения амплитуды сигнала. Весовая функция оптимальной системы обнаружения в данном случае равна g (t — т) = sin сот или g (£) = sin со (г — £).
Стационарный линейный фильтр с весовой функцией g (|), пропорцио нальной входному полезному сигналу ф (т, и), в котором аргумент т заменен разностью t — а момент t фиксирован, называется в радиотехнике согласо
ванным фильтром. На рис. 15.4.2 показаны графики функций ф (т, и) (t — |
7 ^ |
< т < !) и ? (f, I) = ф (t - 5, м) (0 £ С Т). Из этого рисунка видно, |
что |
график весовой функции согласованного фильтра представляет собой отраже ние графика полезного сигнала от вертикальной прямой в конце интервала
наблюдения t, смещенное влево |
на t. В общем случае линейный фильтр |
•с весовой функцией g (t, т, и), |
максимизирующий отношение сигнал/шум |
на выходе в любой момент времени t, очевидно, является обобщением согласованного фильтра на случай произвольных нестационарных входных сигналов и шумов.
Если применить для решения задачи обнаружения критерий минимума вероятности ошибки (критерий «идеального наблюдателя»), то к = 1 и поро говый уровень сигнала с на основании второй формулы (15.4.9) определится уравнением
|
ОО |
|
j = |
(«l) exp { - у - с — - ^ - } dut. |
(15.4.13) |
|
b |
|
Таким образом, пороговый уровень сигнала в случае критерия «идеального наблюдателя» существенно зависит от априорной вероятности наличия сигна ла р. А так как, к сожалению, априорная вероятность присутствия сигнала, как правило, неизвестна, то практическое применение полученного решения оказывается очень ограниченным.
В случае критерия Неймана — Пирсона пороговый уровень с можно опре делить непосредственно из условия равенства вероятности ложной тревоги, заданной величине а. Для вычисления вероятности ложной тревоги заметим,
§ 15.4. О П ТИ М А Л ЬН Ы Е СИСТЕМ Ы Д Л Я О Б Н А Р У Ж Е Н И Я СИГН АЛОВ 635
что в случае отсутствия полезного сигнала Z (т) =э X (т) и
і
W(t)— \ X (т) sin шт dt.
1- Г
Атак как X (т) — нормально распределенный белый шум, то выходной сиг нал TV*, как результат линейного преобразования случайной функции X (т), также распределен нормально, причем его математическое ожидание равно
нулю, а дисперсия определяется формулой
t |
1 |
1 |
ß[TV*] = ^ |
^ |
kb (а—т) sin соа sin шт do dx = к j sin2 (от dx = — . |
t — T t - T |
t-т |
Зная условный закон распределения выходного сигнала И7* при отсутствии полезного сигнала, можно вычислить вероятность ложной тревоги по изве стным формулам теории вероятностей:
ООГ2
Рлт = Р ( И '* > « | И '= 0 ) = 7 у =о=о |
jС |
e ~ ? 2 |
_______ |
|
|
|
* * d v = |
|
“ W |
1 |
• " 'Г * Ч - Ф |
( ' * Л І7т) ■ (,5-4 «> |
Приравнивая вероятность ложной тревоги заданной величине а , получаем
следующее уравнение для нахождения порогового |
уровня с: |
ф ( с ѵ / т т ) ~ 4 - * - |
<‘5'4Л5> |
Эта формула показывает, что в случае критерия Неймана — Пирсона поро говый уровень сигнала с не зависит от априорной вероятности присутствия сигнала р. Вследствие этого критерий Неймана — Пирсона получил широкое распространение при решении практических задач обнаружения различных сигналов.
Формула (15.4.14) может также служить для вычисления вероятности ложной тревоги в случае критерия «идеального наблюдателя», если подставить в нее значение с, полученное из уравнения (15.4.13).
Для вычисления вероятности пропуска сигнала заметим, что при наличии полезного сигнала выходной сигнал оптимальной системы TV*, согласно
(15.4.11) и (15.4.12), равен
|
( |
TV* (1)= |
j X (т) sin “ т <**• |
|
t -т |
Отсюда видно, что условный закон распределения выходного сигнала TV* при данном значении щ амплитуды полезного сигнала Uі отличается от условного закона распределения при отсутствии полезного сигнала только тем что при Ui = щ математическое ожидание TV* равно щТІ2, а не нулю.
636 г л . 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Следовательно, вероятность пропуска сигнала определяется формулой
? , , w |
с- _ (2р- шТ)2 |
Pnp= P(W *< c|W ^0)= ] |
j с 4W Л>= |
О |
— СО |
= | M » t ) [ i + < i - ( ^ S l ) ] Jui. а « .« )
Формула (15.4.15) показывает, что величина у — с ~\/‘11кТ зависит только от заданной вероятности ложной тревоги а. С другой стороны, отношение
значения амплитуды принимаемого сигнала ut к ~\/к может быть принято
за меру отношения сигнала к шуму у = щ!~\/к. Поэтому формулу (15.4.16) для вероятности пропуска сигнала можно переписать в виде
ОО |
_____ |
|
Р п р = Ѵ к j |
h (у ~[/к) [ - ^ - f ф ( ѵ~ Y J /^y ) J dy' |
(15.4.17) |
о
Таким образом, при данной вероятности ложной тревоги вероятность про пуска сигнала зависит от закона распределения отношения сигнала к шуму у и от времени наблюдения сигнала Т. Графики условной вероятности пропуска сигнала при данном у в зависимости от у и Г при данной вероятности лож ной тревоги а й в зависимости от у и а при данном времени наблюдения Т позволяют весьма просто и наглядно оценивать потенциальную помехоустой чивость систем обнаружения и их предельные возможности.
П р и м е р 15.4.2. В условиях предыдущего примера найти оптимальную систему для обнаружения синусоидального сигнала со случайной амплиту дой Ui и неизвестной фазой. В данном случае
Z (1) = Ui sin (сot -f- U2) -|- X (1), W (t) ~ Ui sin (col U2), (15.4.18)
где С/г — неизвестная начальная фаза, которая может иметь любое значение в пределах периода —я < U2 < я . Это все равно, что U2 является случай ной величиной, равномерно распределенной в интервале —я < иг < я. Поэтому в данном случае можно принять
/ (u) = qö (ui) б (“2)+ |
h (uj) |
(—л < и2< л), |
где h (ui) — условная плотность вероятности амплитуды сигнала Ut при его наличии. Весовая функция g (t, т, и) и функция ß (и) в случае интервала наблюдения Т, кратного полупериоду я/со, определяются в данном случае формулами (15.1.41) и (15.1.43), полученными в примере 15.1.1. Форму ла (15.4.6) в этом случае дает
о о |
|
Л |
|
t |
|
Q(Z)= j |
h |
j |
exp{ " F |
І z (T) sin (“ T+ u2) <iT—- |
du2 |
Q (z ) = ~ ^ |
j h (“1) dui |
j |
exP |
(Hlcos U2 + H2 sin u2)— |
j du2> |
О- Я
§ 15.4. О П ТИ М А Л ЬН Ы Е СИСТЕМ Ы Д Л Я О БН А Р У Ж Е Н И Я СИГН АЛОВ 637
где для |
краткости положено |
|
|
|
sin сот dx, Н2 = |
cos сот dt. |
(15.4.20) |
|
t - T |
t-т |
|
Полагая |
в (15.4.19) |
|
|
Ні = У н | + Н !со8Ф, H2= y H f + ll|sincD,
приведем формулу (15.4.19) к виду
Далее, принимая во внимание, что подынтегральная функция является перио дической с периодом 2я, можем при замене переменных Ѳ = и2 — Ф оставить пределы интегрирования неизменными. В результате получим
ооЯ
Отсюда видно, что Q (Z) |
является возрастающей функцией |
-f Н | и, наобо |
рот, величина Щ + Щ |
является возрастающей функцией |
величины Q (Z). |
А так как за выходной сигнал оптимальной системы можно принять любую возрастающую функцию величины Q (Z), то в данном случае можно принять
Таким образом, оптимальная обработка сигнала в случае обнаружения сину соидального сигнала с неизвестной фазой состоит в умножении принимаемого сигнала на sin сот и на cos сот, интегрировании полученных выражений и сум мировании квадратов полученных интегралов.
В случае критерия идеального наблюдателя X = 1 и вторая формула (15.4.9) дает для определения порогового уровня с уравнение
(15.4.23)
О-я
Вслучае критерия Неймана — Пирсона находим вероятность ложной тревоги. Для этого, так же как и в предыдущем примере, убеждаемся в том, что при отсутствии сигнала, когда Z (т) = X (т), величины Н, и Н2 являются
независимыми нормально распределенными случайными величинами с мате матическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями кТ/2. Таким образом, если Hj и Н2 рассматривать как декартовы координаты слу чайной точки на плоскости, то рассеивание на этой плоскости будет круго вым нормальным с центром рассеивания в начале координат. Вероятность ложной тревоги определится как вероятность неравенства HJ -)- Н | > с, т. е.
как вероятность непопадания случайной точки (Hlt Н2) в круг радиуса "J/с:
Г |
Рлт = Р(1У*>с|И^ = 0) = -1 г j j е |
h T |
dr\i dr\2. |
|
|
|
