Файл: Оптимизация процессов грузовой работы..pdf

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

ГЛАВА 1

Характеристики

надежности при

различных законах

распределения случайных вели

Т а б л и ц а 1.3

чин

Тип

Характеристики надежности

распре­

деления

Р (О

о (О

к U)

Экспо­

-kt

Xc-W

ненциаль­

ное

U - 7 1 ) г

2‘

U- Г і)-

— с 'М*

—

•2а2

Нормаль­

г

V' л

л

ное

1 + Ф ш

ст

I + Ф (sw)|

А-1

Х„ (Х„() ft-1

Гамма-

е

а„пі

Хо (XQOft-1 е Х0(

ft-1

, ^

(Х„0‘

распределение

і—0

(ft-1)1

( f t - 1 )

(= 0

(ft > 1,

целое)

Релея

12

і г

<?

2ст2

Л - г 2ст2

(Т2

18

19

цессов отказов и восстановлений аппаратуры. Однако в нестационар­

Кроме того, весьма полезным результатом является

узловая теорема

ном случае работы аппаратуры с помощью математического аппарата

восстановления, согласно

которой при

невозрастающей и интегри­

процесса восстановления трудно получить удобные для

инженерной

руемой на промежутке (0,

оо) функции

Q (t)

практики расчетные соотношения. Это связано прежде всего со сл ож ­

ностью вычисления /і-кратной

свертки функций Gn (t)

[см.

(1 .8 )]

t

с о

и решения интегральных уравнений (1.14), (1.15). Получить расчет­

lim

f Q{t — т)с?Я ( т ) = - = і -

f Q(x)dx.

(1.17)

ные формулы в конечном виде можно лишь для отдельных законов

'->“ o

Уср

о

распределения времени безотказной работы и восстановления си­

У казанны е

асимптотические

свойства

процесса

восстановления

стемы.

Более важным для практического приложения являю тся асимпто­

использую тся,

в частности, для

получения установивш егося значе­

тические свойства процесса

восстановления. В частности,

установ­

}■

ния показателей готовности системы.

лено [2 4 ],

что независимо от вида

распределения G ( t) для

больших

Получение характеристик надежности определенного класса си­

интервалов

времени среднее

число

отказов, приходящ ееся

на

еди­

стем обычно основано на обработке статистических данных об отка­

ницу времени, стремится к величине, обратной среднему времени

зах и восстановлениях этих систем. При помощи приведенных выше

безотказной работы:

статистических формул можно вычислить любую характеристику.

lim

HG)

1

(1.16)

Однако на практике по экспериментальным данным находят одну

из характеристик

безотказности

и восстанавливаемости — обычно

Tc p

t->ОО

t

а (t) и г (t), а

остальные

при необходимости получают расчетным

СВЯЗЬ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

§ 1.3

С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НАДЕЖНОСТИ

надежности [3 0 ].

t =

П усть в первоначальный момент времени

0 на испытании

находится N однотипных систем, которые по

мере

отказа ремонти­

руются

и возвращ аю тся в

строй.

П осле повторного

отказа система

снова

поступает в ремонт

и т. д.

Подсчитаем при

этих условиях

среднее число отказавш их систем п

(t) в промежутке времени ( t, t +

+ А/). Естественно предположить,

что п ( t) склады вается из числа

которые ранее подвергались ремонту. Число впервые

отказавш их

систем равно

a ( t ) N A t .

(1.18)

Д ля определения количества отказавш их систем,

относящ ихся ко

второй группе, поступим следующим образом.

Рассмотрим некоторый промежуток времени (т,

т +

Ат), пред­

отказавш их на этом

промежутке

систем,

ранее

подвергавш ихся

ремонту. Согласно (1.5)

число таких

систем

будет

равно сор (т) ІѴ Ат.

ступаю т в ремонт. Д алее,

пусть (£, £ + А|) — промежуток

времени

такой, что т < g <

t. Т ак

как вероятность восстановления

системы

в промежутке (|, g +

А£) равна приращению значения функции рас­

пределения времени

восстановления R (т, g + А|) — R (т, |), то

которые отказали в промежутке (т, т -f- Ат),

равно

сор(т)Л ГА т[Я(т, Н - Д | ) - Я ( т ,

g)].

то

из

этого числа в промежутке (I, t +

At) откаж ет

сор(т )У А т [Я (т ,

g + A g ) - t f ( T - g ) ] a ( f — g)A f

(1.19)

систем. Д ля определения

общего числа

отказавш их в промежутке

(t,

t +

At) систем п (t) необходимо просуммировать выражение (1.19)

вале (т, і) или,

что одно

н то

ж е, на

интервале (0 ,

t — т),

прибавив

к сумме

число

впервые

отказавш их

систем

(1.18).

Таким

образом,

п (t) = а (t) N At +

2

' s ®р (т) [R (т,

g + Ag) -

и

о

— R( т, l) ]a( t— l ) N Ах At.

(1.20)

Обозначим

g — т =

0. Разделив

(1.20) на NAt и перейдя к пре­

делу при

N —>оо и AI - >0,

будем

иметь

I

t —T

lim

=

(Op (t) =

a (i) +

J

<op (t)

f a (t — x — 0 ) deR (T ,

0 ) dx.

( 1. 21)

является

уравнением Вольтерра второго рода со сложным разност-

*т т

ным ядром J

a (t — т —

0 ) d$R (т,

0 ). Уравнение

( 1 .2 1 ) позволяет

(0 , t), если найдется

постоянная с >■ 0 такая,

что

|a(^)|sSc

( 1 .2 2 )

и

X

І

J

J а(т —Q)R' (0) dQ dx <( ОО.

(1.23)

нение относительно

функции

а (t),

можно

определить плотность

вероятности

отказов.

Среднюю

частоту

отказов с

учетом восстановления

легко

выра­

зить

через

вероятность

безотказной

работы, заменив

в вы раж е­

нии

(1.21) а (4

на — Р'

(/):

t

І —Т

Cöp (t) = -

P' {t) -

} сор (т) J P ' (t - х -

Ѳ ) deR (т,

0 ) dx.

(1.24)

о

о

1 ,

если

R(x, Ѳ ) =

если Тв >■ 0.

О,

Это означает,

что все сор (т) N Ат,

систем,

отказавш их на

отрезке

времени

(т, т +

Ат),

будут восстановлены

к моменту t —

Та, если

%<С t —

Тв.

Из

них

в промежутке

(t, / +

А/) откаж ет

Op (х) NAxa (t — т —

Тв) А (

(1.25)

п (t) = а it) N At -j-

2

(o

(x)NAxa(t — т — TB)At.

(1.26)

о

П осле

деления

выражения

(1.26)

на

N At и предельного

перехода

при W -> со и At -

>0

будем

иметь уравнение для сор (і):

' - г в

< °Р

( 0

=

а (0 +

о

®p{T)a{t — i; — TB)dx.

(1.27)

2.

П усть

время

восстановления не зависит от вида отказа, но

J

Тв(х). Ф ункция распределения

зависит от времени отказа, т. е. Тв =

времени восстановления в

этом случае имеет вид

j

1 ,

если

Т в(т ) ^ 0 ;

10,

если

Тв(т) > 0,