/->00
(1.47)
lim
|
|
|
|
ГЛАВА 1 |
Согласно свойству |
(1.43) |
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
р | e ~ p i a( t ) di |
lim со |
|
(£) — lim |
-------- -— --------------------------------- |
(1.45) |
/->•00 |
р V J |
с о |
с о |
|
р->0 |
с* |
<• |
|
|
|
1 — 1 e ~ p t a { i ) dt |
I e ~ pt г (t) dt |
оо
Так как функции а (t) и /' (t) представляю т собой плотности рас
пределения |
случайных |
величин и, |
следовательно, |
несобственные |
|
СО |
СО |
|
|
интегралы |
j e~pta ( t) dt |
и j e~pir (t) |
dt при p —> 0 |
стремятся к 1 , |
оо
то правая часть выражения (1.45) представляет собой неопределен ность вида Д ля раскрытия ее воспользуемся правилом Лопи-
таля. П осле дифференцирования числителя и знаменателя по р будем иметь
|
|
|
I е |
pi a( t )dt — р j* е p t ta(t)dt |
lirncOp (t) = |
lim |
|
о |
о |
|
с о |
ш |
|
с о |
/ - > с о |
р - > О |
|
|
(О dt-\r \ е - р‘ а (t) dt J e ~ pi t г (t) dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
О |
|
|
|
|
|
(1.46) |
Предельный |
переход |
при |
р —>0 в числителе |
выражения (1.46) |
дает 1 , а в знаменателе сумму математических ожиданий времени безотказной работы Тср и времени восстановления Тв. Таким образом,
1
<цр (t) -
Тер 4" Та
И так, средняя частота отказов с учетом ремонта в пределе равна обратному значению среднего времени между двумя соседними отка
зами. Такого результата и следовало |
ожидать, |
так как функ |
ция сор ( t), как уж е отмечалось выше, |
является |
интенсивностью |
потока восстановления с конечным временем восстановления. Это об
стоятельство позволяет |
производить |
анализ |
функции |
готовности |
в терминах узловой теоремы восстановления |
[7 ]. |
|
Рассмотрим предельное значение функции Г ( t) с учетом усло |
вия (1.42), приняв в равенстве |
(1.35) |
t —>оо. |
Введем |
обозначение |
|
|
/—Т |
|
|
|
K{t — x) = |
j |
P(t — т — Ѳ)г(Ѳ)гіѲ. |
(1.48) |
|
|
О |
|
|
|
|
Тогда выражение (1.35) |
перепишется в |
виде |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
r ( 0 = . P ( 0 |
+ |
J 4 e W |
- T ) d |
T . |
(1.49) |
|
|
|
о |
|
|
|
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ
Важ но отметить, что для свойственных теории надежности законов распределения случайных величин К { t — т) — неотрицательная функция, заданная при положительных і, ограниченная и принад
леж ащ ая |
к |
классу |
суммируемых функций. В этом случае в соот |
ветствии |
с |
узловой |
теоремой |
восстановления |
(1.17) при |
/ —> оо |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
оэ |
|
и, следовательно,сйр |
|
|
|
|
с р |
в оJ |
К (х) dx |
|
|
|
[ |
(т) К {t — т) dx —> |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
і |
|
|
|
|
|
lim |
Г (t) = |
= |
> |
[ |
f Р (t — 0) г (Ѳ ) dd dt. |
|
|
|
<->ш |
|
|
1cp-t- ' |
|
J |
|
|
|
Воспользуемся еще |
раз |
свойством |
(1.43): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
00 |
|
|
lim Г ( 0 |
= |
lim |
-jr- |
W |
[ e~pi P (t) dt |
( e~pi r (t) dt. |
(1.50) |
|
|
CO |
|
p - > 0 |
J c p - T - i B g 1 |
|
0J |
|
Первый интеграл соотношения (1.50) при р —>0 равен математиче скому ожиданию среднего времени безотказной работы Т, а второй 1. Поэтому получаем
lim Г (/) = |
= kT. |
(1.51) |
/ - » ou |
' c p “ M n |
|
И так, при любых законах распределения времени безотказной работы и ремонта системы функция готовности стремится к коэф фициенту готовности в установивш емся режиме. Формулы для коэф фициента готовности, выраженные через параметры различных з а конов распределения времени безотказной работы и времени вос становления, приведены в табл. 1.4.
Аналогично предыдущему можно определить асимптотическое
значение функции готовности на конечном промежутке (t, |
t + s). |
Применение узловой теоремы |
восстановления к (1.41) дает |
|
|
|
|
соі |
|
|
lim |
Г (t, s) — -=— ^ -= - f f |
P (M - s — Ѳ ) r (0) dBdx. |
|
t-*oo |
|
1cp -T 1B0J gf |
|
|
На основании |
свойства (1.43) |
имеем |
|
|
|
|
|
СЮ |
|
|
lim |
Г {t, s) = |
-T- |
f P(t + s)dt. |
(1.52) |
|
<->oo |
|
|
|
|
Д алее путем замены |
переменной в |
интеграле (1.52) и элементарных |
преобразований получаем |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
lim Г |
(*, s) — kr |
f P (t) dl = Г (s). |
(1.53) |
|
|
|
•'cp |
J |
|
ГЛАВА 1
Таким образом, функция готовности на промежутке в устано вившемся режиме равна произведению вероятности того, что система будет исправна в начале этого промежутка, на вероятность безот казной работы ее в течение времени s.
Полезно иметь формулы для Г (s), выраженные через параметры различных законов распределения времени безотказной работы системы.
Э к с п о н е н ц и а л ь н ы й з а к о н. При экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказов вероятность
безотказной работы Р (t) и среднее время безотказной |
работы |
Тср |
вы раж аю тся |
через |
интенсивность |
отказов к |
зависимостями |
Р (/) = |
- |
е ~%т, |
Т ср |
= |
- j - , |
Следовательно, из |
(1.53) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (s) = |
kr ^ - \ |
е~и dt = kre~ks. |
|
|
(1.54) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cp |
J |
|
|
|
|
|
|
|
Д ля |
закона |
суперпозиции |
а |
экспонент, |
когда |
P(t) |
|
с,е |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Т c p = S - r - > |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (s) |
= |
/ег |
|
- l; S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с р і=і Кі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а к о н |
Р е л е я. |
В |
случае закона Релея F |
и |
Tqр |
связаны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І і |
/тп |
__ |
с |
параметром |
распределения а зависимостями P(t) = e |
2(т* |
» ^ ср |
= |
|
|
С учетом этого вычислим |
отдельно интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
і- |
|
|
|
і - |
|
|
|
|
|
|
|
2СТ2 |
dt — |
е |
2а- |
di = Ѵ |
^ Г а - \ е |
2а- |
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
П осле замены |
переменной в интеграле правой части данного выра |
жения |
по формуле |
|
= X получаем |
|
|
|
|
|
S
О
1 — Ф
0 ] / 2
