|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА I |
а уравнение, |
связываю щ ее |
функцию сор (/) с a(t) и Т&(т), запиш ется |
как |
|
|
|
і~ТаСО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cöp(0 = |
ß ( 0 + |
|
\ |
<op(r)a(t — x — T B(T))dx. |
(1.28) |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
3. |
Наконец, |
если |
время |
восстановления |
не |
зависит |
от времени |
отказа, но зависит от вида |
отказа, |
т. е. R (т, Ѳ ) |
= |
R (0), то |
уравне |
ние ( 1 .2 1 ) приобретает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
І ~ Х |
|
|
|
|
|
(Op (t) = |
a (t) + |
j |
(Op (T ) |
j |
a(t — г — 0) r (0) dQ dr. |
(1.29) |
|
|
|
|
0 |
|
о |
|
|
|
|
Сравнивая уравнение (1.29) с уравнением (1.15), обнаруживаем |
полную |
их |
аналогию. |
Следовательно, средняя |
частота |
отказов |
с учетом восстановления с точки зрения процесса восстановления является интенсивностью общего процесса восстановления с конеч
ным временем восстановления. |
|
|
При |
мгновенном восстановлении R (т, 0) = 1 |
и средняя |
частота |
отказов |
с учетом восстановления становится тождественно равной |
средней |
частоте отказов |
со (і). |
|
|
Выведем выражение, |
связы ваю щ ее функцию |
готовности |
с дру |
гими характеристиками |
надежности. |
|
|
Из N систем, первоначально поставленных на испытание, до интересующего нас момента времени t безотказно проработает Р {t) N
систем. В промежутке (т, т |
+ |
Дт), т < |
t, откаж ет <мр (т) N Дт систем, |
из |
которых в промежутке |
(£, £ + Д£), |
т •< £ < t, |
будет отремонти |
ровано |
(ор (т) N Дт [У? (т, £ + |
Д £) — R (т, I)]. Из этого |
числа к моменту |
t + |
A f |
ни разу не выйдет из строя |
|
|
|
|
|
юр(т)УѴ Дт[/?(т, |
І + Д £ ) - / ? ( т , | ) ] Я ( / - | ) |
(1.30) |
систем. Общее число исправно работающих на промежутке (t, і |
At) |
систем |
равно |
|
|
|
|
|
АГР(0 + |
S |
(т) А/ Дт S [R(*, |
I + ДЮ - R(Т, öl P ( t - g). |
(1.31) |
|
о |
|
|
о |
|
|
|
Обозначим |
£ — т = |
0. |
Разделив |
(1.31) на N и перейдя к |
пределу |
при N —>оо, |
Дт —> 0, |
получим выражение для функции готовности: |
|
|
|
|
1 |
і— т |
|
|
r ( 0 |
= / J (0 |
+ ffl> p (T ) |
J |
P{t — т — 0 )< У ?(т, B)dx. |
(1.32) |
оо
Итак, зная законы распределения времени безотказной работы
системы и времени |
ее восстановления, |
а такж е среднюю частоту |
отказов с учетом восстановления, можно |
определить значение функ |
ции |
готовности |
в |
произвольный момент времени. Расчет функ |
ции |
Г ( t) по формуле (1.32) чаще всего производится приближен |
ными методами, |
так |
как аналитическое |
решение для большинства |
(1.37)
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ
законов распределения времени безотказной работы и времени вос становления затруднено.
Рассмотрим частные случаи функции готовности.
1. Если время восстановления постоянно и не зависит от момента отказа системы, то выражение для функции готовности имеет вид
|
|
|
|
|
|
‘- т* |
|
|
|
|
|
|
|
Г (9 |
= / > ( * )+ |
и |
wp( x ) P ( t - x ~ T B)dx. |
|
(1.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Если |
время |
восстановления не зависит от вида отказа, |
а я в |
|
|
|
J |
|
Т в — Тв (т), |
|
|
|
ляется функцией времени |
отказа |
то выражение |
(1.32) |
приобретает |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І- Т в (т> |
|
|
|
|
|
|
|
Г ( t ) = P ( t ) + |
|
о |
cop( x ) P ( t - x - T B(x))dx. |
(1.34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Если, |
наконец, время Jвосстановления |
является |
лишь |
функ |
цией |
вида |
отказа, |
|
т. е. |
R (т, |
0) |
= R (0), то |
функция |
готовности |
будет |
выглядеть так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
t - x |
|
|
|
|
|
|
T(t) = P{l) + |
|
С0р(х) |
|
P(t — т — Q)r{Q)dQdx. |
(1.35) |
|
|
|
|
|
0 |
|
и |
|
|
|
|
|
Д ля того чтобы |
получить |
выражение для |
функции |
готовности |
|
J |
|
|
J |
|
|
|
|
на промежутке Г ( t, s), будем, как и ранее, предполагать, что на испы тании находятся N систем, причем отказавш ие системы восстанавли ваю тся и снова возвращ аю тся в строй. Задача состоит в подсчете числа систем, которые безотказно проработают в течение отрезка
времени (0 , t + s). |
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
систем, |
ни |
разу |
не отказавш их |
во всем |
промежутке |
испытания (0 , |
t + s), |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
P ( t + |
s)N. |
|
|
|
(1.36) |
В промежутке (т, т + |
Ат), |
т < |
t, откаж ет |
сор (т) N |
Ат |
систем. Из |
них в промежутке (£, |
\ + |
Д£), |
т < \ <С t, |
будет |
восстановлено |
|
®Р (т) N Ат [Я (т, |
£ + А £ ) — R{x, |
£)] |
|
|
систем. В случае технического обслуж ивания в порту можно пред положить, что ремонт полностью восстанавливает ресурс надеж ности системы. И з числа восстановленных на промежутке (£, | + Д£) систем до момента времени t + s безотказно проработает
% (x)NAx[R(x, l + A l ) - R ( x , Z ) ] P ( t ± s - &
систем.
Д ля получения общего числа п ( t, s) безотказно работающих на отрезке (i, t -j- s) систем необходимо просуммировать (1.37) по
ГЛАВА 1
всем промежуткам Ат на отрезке (0, t + s) и Д| на отрезке (0, t + + s — т) и к сумме прибавить (1.36):
|
1 |
І —х |
|
|
|
|
п (t, ~s) — P(t -I- s) А/ -I- |
S ® |
(T ) N Ат [# (т, I + A|) — |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
- R ( f , |
g)]-P(* + |
s - £ ) . |
|
(1.38) |
Обозначим I — T = Ѳ . Деление |
(1.38) |
на N и |
переход к пределу |
при N ---> оо, Ат —>О, |
Д£ —>0 |
дает |
выражение |
для функции |
готов |
ности на промежутке: |
|
|
|
|
|
|
|
lim -'-■тГі )-- = |
Г |
(t, |
s ) = P ( t + s)-[- |
|
JV -> CD |
ІѴ |
|
|
|
|
|
|
i |
t —x |
|
|
|
|
|
|
-)- J cop (T ) |
J P ( ^ + |
S — |
T — |
Q ) d QR ( % , |
Q ) d t . |
(1.39) |
о0
Вчастном случае, когда время восстановления постоянно и
равно Тв, |
выражение |
(1.39) |
приобретает вид |
|
Г (t, s) = P ( t |
s) -[- |
г- г в |
% (%)P(t + s - x ~ T B)dx. |
(1.40) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
Если |
время |
восстановления, явл яясь случайной величиной |
|
|
J |
|
|
не зависит от момента отказа системы, то функция готовности на промежутке равна
t |
І — Х |
T(t, s) = P (t -|- s) 4- J wp (T ) |
j Ptf-j-s — T — Ѳ )г(Ѳ )сЮ<2 т. ( 1 .4 1 ) |
о |
0 |
Очевидно, что функция готовности является частным случаем
функции готовности на промежутке при |
s = 0 . |
Приведенные формулы для функций |
Г (t) и Г ( t, s) являю тся |
принципиально весьма общими, так как не накладываю т ограниче ний на структуру системы и вид законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления. Однако данные фор мулы выводились в предположении, что система начинает восста навливаться после полного отказа ее. Применительно к резервиро ванным системам это означает, что восстановление не производится, пока не откаж ет вся система. Такой режим характерен, например, для элементов судовых систем управления, восстановление которых в силу ограниченных возможностей ремонта на судне осущ ествляется лишь в стационарных условиях баз и портов. Если ж е система начинает восстанавливаться до наступления полного отказа, то для оценки ее готовности целесообразно использовать машинные методы моделирования, рассмотренные в гл . V ,
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ
Ф изическая модель, на базе которой получены формулы (1 .32), (1.35), (1.39), (1.40), (1.41), представляет собой частный случай процесса восстановления с конечным временем восстановления, и потому для анализа этих формул применима теория данного про цесса.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА |
§ 1.4 |
ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ |
|
Выражение (1.32) описывает готовность системы при произвольном режиме ее работы, который в общем случае может быть как неуста новившимся (например, в период приработки или старения системы), так и установивш имся. Установивш емуся режиму, характерному для большей части времени функционирования систем, соответствует предельное значение функции готовности. Рассмотрим предельное значение средней частоты отказов с учетом восстановления (1.29) и функций готовности (1.35) и (1.41) при произвольных законах распределения времени безотказной работы и восстановления. При этом будем предполагать, что характер распределения длительности
восстановления системы не |
зависит от момента ее отказа, |
т. е. |
R (т, |
Ѳ ) = R (Ѳ ). |
(1.42) |
Такое предположение в известной мере идеализирует процесс экс_ плуатации аппаратуры, но в то ж е время для многих случаев яв ляется вполне естественным, например при работе системы в режиме деж урства.
Д ля получения асимптотического значения средней частоты отка зов с учетом ремонта воспользуемся свойством предельного соотно
шения между |
произвольной |
функцией / ( t) |
и ее изображением по |
Л апласу F (р), |
состоящим |
в |
том, что |
|
|
|
lim |
f{t) — UmpF (p). |
(1.43) |
Уравнение |
для |
средней |
|
частоты отказов с учетом ремонта |
со? (t) = |
а (t) + j |
Юр (T) J а (t — т — Ѳ ) г (Ѳ ) dBdx |
оо
воператорной форме примет вид
Qp (Р) = Л (р) + Qp (р) Л (р) # (р),
откуда получаем
с о |
|
|
j е |
p i a(t)dt |
|
о |
|
■ (1.44) |
с о |
0 3 |
о |
о |
|