ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ
Таким образом, |
|
|
|
|
Г (s) = |
к |
|
(1.55) |
Г а м м а - р а с п р е д е л е н и е . При этом |
распределении |
для |
|
к- л |
|
|
|
целого и положительного k |
имеем Р (t) = е"к“{ V 1 |
, |
Т с0 = |
Aß |
|
|
і I |
^ |
Л
При целом и положительном /е гамма-распределению удовлетво ряет время возникновения отказов резервированных систем с вклю чением резерва по способу замещения и при условии, что потоки отказов основной системы и всех резервных систем являю тся про стейшими. В этом случае параметр k равен числу всех систем, вклю чая основную и резервные.
с о
Непосредственным |
интегрированием |
находим j Р ( t) di: |
k—i |
dt = e -SÄ,o |
ft-i |
|
l - l |
I e~’"' 2 |
(V / |
2 |
2 |
i! |
i ! |
|
1 = 0 |
|
/ = 0 |
1 = 0 |
|
С учетом приведенного выше выражения для параметра Тср из
равенства (1.53) окончательно |
получаем |
|
|
Г (s) |
-s%° U |
J ] |
. |
(1.56) |
|
/=о |
і= 0 |
|
|
Эта формула позволяет найти |
установивш ееся |
значение |
функции |
готовности на промежутке s резервированной системы при ненагруженном резервировании. Кроме того, она позволяет решить задачу определения кратности резервирования для обеспечения заданного уровня установивш ейся готовности на промежутке s.
Пример 1.1. Требуется определить необходимое количество резервных систем
при ненагруженном резервировании для обеспечения установившегося значения функции готовности на промежутке s = 5 ч, равного 0,96, если значение интенсив ности отказов основной и резервных систем Х0 = 0,01 <і _1, а интенсивность восстано вления р = 0,2 ч -1.
Р е ш е н и е . Основное соединение системы не обеспечивает заданного значе ния критерия.
Определяем величину критерия при k — 2:
|
к |
Г (s) = кте~ ^ ( 1+ |
= -j-b s.---- ( 1- Ь ^ 2) = 0,9513. |
|
1 ---- |
|
Aß |
34
ГЛАВА 2
Принятая кратность резервирования не обеспечивает заданного значения функ ции готовности. Повышаем кратность резервирования до k = 3. Тогда
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
г (s) = |
|
( l 4 - | - s b 0 + |
Ä |
i ) |
= |
0,9662. |
|
|
|
с; |
г Тв |
|
|
|
|
|
|
|
ло |
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, для |
обеспечения заданного уровня |
готовности необходимо |
иметь |
в иенагружениом резерве две системы. |
|
|
|
|
|
Д ля нормального |
и логарифмически-нормального законов |
рас |
пределения времени безотказной работы, а |
такж е |
для распределе |
ния |
Вейбулла и |
гамма-распределения при |
k <С 1 |
величина |
Г (s) |
в элементарных |
функциях не вы раж ается. |
В |
этих случаях |
Г (s) |
вычисляется приближенными методами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава |
М Е Т О Д Ы О П Р Е Д Е Л Е Н И Я |
|
|
|
|
2 |
Ф У Н К Ц И И |
|
|
|
|
|
|
|
Г О Т О В Н О С Т И |
|
|
|
|
|
|
|
В настоящ ее время в теории синтеза высоконадежных систем на базе менее надежных элементов и при анализе изменения надежности системы во времени использую тся различные методы исследования, отличающиеся как исходными принципами, так и привлекаемым математическим аппаратом. Наиболее широкое распространение по лучили методы теории массового обслуживания [18, 4 0 ], в особен ности при исследовании надежности резервированных систем. Сущ ность методов исследования надежности, основанных на использо вании аппарата теории массового обслуж ивания, заклю чается в опи сании множества возмож ны х состояний системы линейными диффе ренциальными уравнениями относительно вероятностей пребывания в данных состояниях. В результате решения указанны х уравнений при определенных начальных условиях получают необходимые по казатели надежности, в том числе функцию готовности. При этом задача решается весьма просто для стационарных характеристик марковского процесса, так как в данном случае процедура расчета сводится к решению системы алгебраических уравнений [4 0 ]. Однако получение нестационарных характеристик надежности технических
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
систем путем непосредственного интегрирования системы дифферен
циальных уравнений сопряжено со |
значительными |
трудностями. |
В связи с этим осущ ествляю т переход |
из временной |
области в ком |
плексную , что позволяет перейти от системы дифференциальных урав нений к системе алгебраических уравнений относительно изображе ний по Л апласу вероятностей состояний. Решение получают в форме дробно-рациональной функции. В § 2 .2 , не прибегая к изложению общей теории м арковских случайных процессов, проиллюстрируем на частном примере применение аппарата м арковских цепей для анализа функции готовности.
Н аряду с этой, ставш ей у ж е традиционной схемой анализа на дежности в последнее время предложены модификации, направленные на упрощение процедуры расчета. Т ак, в [3 4 ] приводится методика, позволяю щ ая избежать этапа составления дифференциальных урав нений. Основные идеи этой методики изложены в § 2 .6 . Вместо составляемой обычно матрицы рассматривается граф множества со стояний системы, по которому непосредственно записы вается вы ра жение в изображениях по Л апласу для нужного показателя надеж ности. При постоянных значениях интенсивностей отказов и восста новлений методика позволяет весьма просто вычислять вероятности пребывания системы в состоянии готовности к действию.
Основанные на применении аппарата теории массового обслуж и вания методы анализа надежности слож ны х восстанавливаемых си стем являю тся достаточно эффективными в тех случаях, когда время безотказной работы компонентов системы и время их восстановления распределены по экспоненциальному закону . Если эти распределе ния не допускаю т аппроксимации экспоненциальным распределе нием, а такж е если процесс отказов и восстановлений не является марковским, то функция готовности и эквивалентные ей характери стики могут быть получены путем применения статистического [30] или используемого в § 1.3 вероятностного подхода, или, наконец, с помощью теории восстановления в виде интегральных выражений типа (1.32). При этом в случае количественной оценки готовности возникает необходимость решения интегральных уравнений со сл о ж ными разностными ядрами, зависящ ими от плотности распределения отказов и восстановлений. Наиболее распространенными методами решения указанны х уравнений являю тся метод последовательных приближений, операционный метод и численные методы. С помощью первых двух можно получить решение лишь для ограниченного класса распределений. Численные методы являю тся в этом смысле универсальными. В данной главе рассматриваю тся некоторые аспекты решения уравнений типа (1.32) всеми перечисленными методами. Особое внимание уделяется использованию операционного исчисле ния, так как оно позволяет решить многие задачи надежности судо вы х систем управления.
Следует отметить, что как в случае интегральной формы пред ставления характеристик надежности, так и при использовании аппа
ГЛАВА 2
рата м арковских цепей функцию готовности для нестационарного режима можно находить с помощью аналоговых вычислительных машин (А ВМ ). При этом использование А ВМ удобно на этапе, когда функция готовности представлена в виде дробно-рационального вы ражения относительно комплексной переменной р. А ВМ позволяю т путем моделирования передаточной функции сравнительно просто получать решение во временной области. Кроме того, как известно, аналоговые вычислительные машины могут быть применены для решения чисто вычислительных задач, в том числе интегральных уравнений вида (1.21). В § 2 .7 и 2 .8 излагаю тся некоторые вопросы оценки готовности восстанавливаемых систем на аналоговых вы числительных машинах.
ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА МАРКОВСКИХ |
§ 2.2 |
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ |
|
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ |
|
К ак уж е отмечалось выше, для описания и анализа |
процессов воа- |
никновения и устранения отказов элементов системы судовой авто матики, профилактического обслуж ивания их как в условиях пла вания, так и при нахождении в ремонтных базах весьма плодотвор ными являю тся методы теории массового обслуж ивания. В частности, эти методы позволяю т просто получить функцию готовности системы достаточно сложной структуры, например резервированной системы
в случае |
установивш егося режима ее работы при |
различных стра |
тегиях технического обслуж ивания. |
|
Время |
функционирования восстанавливаемой |
системы можно |
представить как последовательность чередующихся периодов исправ ного состояния и восстановления. П родолжительность каждого из этих периодов является функцией соответственно интенсивности отказов X (/) и восстановлений р (t). Задача заклю чается в опреде лении вероятности исправного состояния системы в произвольный момент времени £ £ (0, оо). Д анная модель может быть интерпретц: рована как простейший вариант системы массового обслуживания,- на вход которой поступает поток требований с заданной интенсив ностью X (t), а обслуживание осущ ествляется с интенсивностью р {t), В произвольный момент времени система может находиться с вероят
ностью |
Р о (t) в исправном |
состоянии и с |
вероятностью |
Р х (t) |
в |
со |
стоянии |
восстановления. |
Т ак как |
этими |
двумя состояниями |
пол |
ностью |
исчерпывается поведение |
системы, то Р 0 (t) + |
Р г (t) |
= |
1 . |
Определение функции готовности эквивалентно определению значе ния P Q( t).
Реальная система, как правило, имеет значительно более слож^ ную структуру, и ее поведение не ограничивается описанной выше моделью. Поэтому задача должна быть сформулирована для более общего случая. Поведение системы задается на счетном множестве U
