|
ГЛАВА 2 |
которое содержит оператор |
|
/ |
|
Ас= \ K ( t - 4 ) y ( x ) d x , |
(2.46) |
о |
|
выполняющий операцию свертывания двух функций К (0 и у ( t). Операции свертывания функций в области вещественной пере менной соответствует перемножение на комплексной плоскости
изображений этих функций по Л апласу.
а)
1 |
Пр) |
Др) |
Мр) |
; |
Нр) |
|
1-К(Р) |
|
|
1-К(р) |
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
г) |
|
|
1 |
|
|
Пр) |
|
Ѵ (р) |
1-к(р) |
|
ѵЧр) |
|
Пр) |
|
«(ѵ ) |
|
|
|
|
Рис. 2.6. Схемы, реализующие зависимость (2.48).
Если Y (р)<-+у (t), К (р) <г+ К (t) и F (р) <-+f (t), то применение преобразования Л апласа к уравнению (2.45) приводит к соотно шению
у (р) = F (Р) + K ( p ) Y (р). |
(2.47) |
Отсюда |
|
к (р) = г ^ Ь |
і - |
<2-48> |
Д ля получения на А ВМ функции |
у (t) в области |
вещественной |
переменной необходимо синтезировать динамическую систему, обла дающую заданными характеристиками.
Вы раж ение (2.48) можно представить как уравнение, описываю щее некоторую реальную систему. Тогда в зависимости от того, какую составляю щ ую принять в данном уравнении за изображение входного сигнала и за передаточную функцию системы, возможны
четыре варианта реализующ их схем , |
которые приведены на рис. 2 .6 . |
В о |
всех четырех случаях функция |
у (t), являю щ аяся оригиналом |
для |
Y (р), представляет собой искомую переменную и долж на быть |
выходным сигналом |
модели. Схема, представленная на рис. 2 .6 , г, |
нереализуема на А ВМ , так как представляет |
собой |
систему, о хва |
ченную положительной обратной связью . |
|
2 .6, а, |
|
Д ля реализации |
схемы, представленной на |
рис. |
необхо |
димо смоделировать |
S-функцию, изображение |
по Л апласу |
которой |
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
равно 1. Это связано с большими трудностями, и поэтому для моде лирования соотношения (2.48) ограничиваются воспроизведением на А ВМ схем, показанных на рис. 2 .6 , б и в. При этом если F (р)
представляю т собой дробно-рациональные
т Л ы = к ' {р)
функции комплексной переменной р, то для моделирования соотно шения (2.40) на А ВМ необходимо составить схем у моделирования передаточной функции и схему воспроизведения функций времени, изображение которой является дробно-рациональной функцией пере менной р.
Рассмотрим методику моделирования дробно-рациональной функ ции на А ВМ общего применения.
Пусть
Р / п \ |
У (р) |
a m P " ‘ + Qm-iP'” 1+ • •• + діР -|- flp |
/о 4 Q\ |
[р) |
к ' (Р) |
+ W ' 1- 1+ • ■• + V + ь 0 ’ |
|
где Ьп = 1.
Если bn =h 1, то, разделив числитель и знаменатель на Ьп, при ведем выражение функции F (р) к требуемому виду. Перепишем выражение (2.49) следующим образом:
(Рп + |
ьп-іРп 1 Н---------- |
Ь Ьф Ь0) Y (р) = |
|
■— (атР |
~\~ @т—\Р |
-]- аф -|- йо) К (р)- |
(2.50) |
Выражение (2.50) представляет собой изображение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью , содержащей производные от входной величины. Решение этого уравнения на А ВМ общего назначения обычным мето дом понижения порядка производной требует использования диффе ренцирующих устройств для дифференцирования входного сигнала. Чтобы избежать этого, преобразуем уравнение так, чтобы схема набора состояла только из интеграторов. С этой целью разделим обе части уравнения на высш ую степень р. Выбрав в самом сложном случае т = п, получим
Y(p) =
= |
(<*п + |
+ |
- ^ * - + |
• • • + |
+ -рг) |
(Р). |
(2-51) |
Разреш ив |
уравнение |
(2.51) относительно |
Y (р) |
и сгруппировав |
члены по степени аргумента р, получим |
|
|
|
|
Y{P) = ~ |
Іап-іК' (Р) — bn_tY (р)] + у г |
[ап_,К' (р) — |
|
- |
bn-*Y(р)] + |
•••+ |
W |
(Р) - |
bjY(р)] + |
|
|
+ |
j r W |
(р) - - |
b0Y (р)] + |
апК' (р). |
|
(2.52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 2 |
Перепишем уравнение (2.52) |
в |
виде |
|
|
Г (р) = у [a-n-iK' (Р) + |
b ^ Y |
Со) + |
- у |
[ ^ - Д ' (р) - |
&„_2К (р) |
і - |
« Д ' (Р) - |
^Д |
(Р) + |
у |
М |
' |
(Р) - &<Д (Р)] |
-| -« Д '(Р ). |
Уравнение (2.52) |
содержит |
только операторы интегрирования и |
легко реализуется |
на А ВМ с помощью интеграторов, схемы которых |
к \ р )
0---*— 'Ѵ (р)
Рис. 2.7. Структурная схема, реализующая зависимость (2.52).
представлены на рис. 2 .7 . И зображения выходных величин интегра
торов обозначены на схеме |
Z x (р), |
Z 2 (р), . . |
Zn |
(р): |
|
z i (Р) = |
у |
[«сЛ' (Р) — b0Y (р)]; |
|
|
|
Z2 (Р) - |
у |
[а Д ' (Р) - |
& Д (Р) + |
2 , (р)]; |
|
|
2,і_і (р) = у |
К _ Д ' (р) — |
bn_aY (р) + Z„_2 (р)1; |
|
Zn (р) = у |
ш „ _ Д ' (р) - |
|
(р) + |
2„_а (р)]. |
|
Если какой-либо из |
коэффициентов а г, bt |
равен |
нулю, соответ |
ствующий канал в схеме набора |
отсутствует. Заметим, что в |
сл у |
чае ап — 0 в изображенной |
схем е |
отпадает такж е |
надобность |
в вы |
ходном сумматоре, так как канал |
обратной связи |
зам ы кается |
с вы |
хода л-го интегратора на вход первого, а Zn (р) |
= |
Y (р). Входное |
воздействие К' (р) представляет собой при моделировании на |
А ВМ |
изображение функции времени К' |
(t). |
|
|
|
|
Синтез дифференциального уравнения, решением которого яв ляется функция К' (0 , проводится следующим образом.
П усть
К'(Р) |
С (р) |
с ,',— і Р п |
1 - К . - а Р |
' 1 - ' |
Л----------+ с [ р |
- И ' |
D ’ (р) |
Р п + |
Р п |
1 + |
••• - [ - djP + |
(2.53) |
|
dQ |
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
Рассмотрим дифференциальное уравнение п-го порядка с постоян ными коэффициентами dt
* (п) (0 |
+ |
4 - |
(0 + |
■■•+ |
4 * (t) 4 |
d0x (t) = 0, |
(2.54) |
при начальных |
условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
л- (0) = л:„; |
X (0) = |
Х0; . |
|
л-<'’- 2) ( 0 ) = х < ” - 2>; |
X |
(л - о |
. J" -и |
|
|
(0) = -*о |
|
Преобразуем |
его |
по |
Л апласу: |
|
|
|
|
|
|
L [х<'0 (/)] 4 - 4 - 4 |
[* (,1~ 1) (t)] + |
•••+ 4 L |
[i(£)] -\- d0L [*(/)] = 0. |
(2.55) |
И спользуя теорему о дифференцировании в области |
комплексной |
переменной, |
найдем |
[х (I) 1 |
|
X |
(р); |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
[х (t) ] = |
рХ |
(р) — |
х 0\ |
|
|
|
|
|
|
|
L |
[х (і) ] = |
ргХ |
(р) — |
рх0 — х 0\ |
|
|
L [ x W { t) \= p nX ( p ) - t 4 i- ' )Pn- 1 t= 1
Подставив полученные выражения в уравнение (2.55), сгруппи ровав члены по степеням р и разрешив уравнение относительно X (р), получим выражение
Х(р) = хаРп 1 + l xo + dn- |
|
, < л - І ) |
Jn − 2 ) |
|
1р " ~ - + |
у0 |
+ dп-Но |
d \ x a \ |
|
рп4 4і_хРл - 1 |
4 4 р -|- d0 |
|
(2.56)
из которого видно, что изображение X (р) решения дифференциаль ного уравнения (2.55) представляет собой правильную дробно-рацио нальную функцию относительно р.
При начальных условиях
х ( 0 ) = х ( 0 ) = ■■■ = x w (0) = 0
порядок числителя понижается на р, единиц.
Введем следующие обозначения для коэффициентов при степе
|
нях рс в числителе выражения |
(2.56): |
|
|
сп-г — *о> |
|
|
] |
|
Сл-2 ■— *0 "I- |
4 -1* 0 І |
|
(2.57) |
|
Гл_з — хо"Г 4 - 1 * 0 |
~t~ 4 -2 *0 t |
|
|
|
Cl =Х[( л - 1 ) |
|
( л - 2 ) |
Н- 4*о - |
|
0 |
■4 - 1 * 0 |
