МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
Н есмотря на то что выражения (2.38) и (2.39) по содержанию различны, так как (2.38) является приближенным представлением интегрального уравнения (1.29), а (2.39) — выражения (1.35), содер жащ его двукратный интеграл, но не являю щ егося интегральным уравнением, схема вычислительного процесса у них общая и поэтому реализуется одним и тем ж е участком программы. Следует такж е иметь в виду, что в зависимости от законов распределения времени
безотказной работы и времени восстановления при |
аналитическом |
их задании получение массивов \а;\, \Р{\ и |г£} |
осущ ествляется |
по различным формулам. В тексте приведенного в приложении I алго ритма описано релеевское распределение длительности безотказной работы и экспоненциальное распределение времени восстановления.
Б лок-схем а |
машинного алгоритма вычисления представлена на |
рис. 2 . 1 . |
1 и 2 осущ ествляю т вычисление по соответствующим |
Операторы |
формулам (см. табл. 1.4) значений вероятности безотказной работы Pjt плотности вероятности отказов а,- и плотности времени восстановле
ния |
/у в точках |
разбиения интервала интегрирования и засы лку |
этих |
значений в |
рабочие ячейки. |
Оператор 3 присваивает переменной у, управляющ ей схемой расчета, целочисленное значение 1. При у — 1 вычисляется после
довательность |
{сор„|, при у = 2 — |
последовательность |
|Г„|. |
Оператор 4 |
присваивает целочисленной |
переменной |
п |
начальное |
значение 0 . |
|
|
|
|
|
Оператор 5 |
вычисляет значения |
сор (0) = |
сор0, Г (0) |
= |
Г 0. |
Оператор 6 присваивает переменной п очередное значение, соот
ветствую щ ее |
|
номеру точки разбиения интервала интегрирования. |
Операторы |
7— 12 вычисляю т |
первую |
внутреннюю сумму. |
Операторы |
13— 17 вычисляю т |
вторую |
внутреннюю |
сумму. |
Оператор |
18 осущ ествляет проверку на конец вычисления внеш |
ней суммы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор 19 управляет вычислением внешней суммы. |
|
Оператор 20 вычисляет значения шр„ и Г„. |
|
|
|
Оператор |
|
21 осущ ествляет |
проверку |
на конец |
вычисления |
®рпи Гге. |
22 осущ ествляет проверку |
|
|
|
|
|
Оператор |
на |
конец |
вычисления. |
Оператор |
|
23 пересылает массив \Pj\ на |
место |
массива |
{а ; [ для |
вычисления |
Г„. |
|
|
|
|
|
|
М етодика |
|
расчета функции готовности, |
основанная |
на |
представ |
лении ее в интегральной форме, предполагает знание законов рас пределения длительностей исправной работы и восстановления системы. Д л я сложной системы при наличии различных ограничений на возможности ее ремонта, обычно имеющих место в реальных усло ви ях эксплуатации, эти законы получить нелегко. Как уж е отмеча лось выше, в подобных случаях удобней применять другие методы. Н иже рассмотрим методику расчета функции готовности с исполь зованием графа состояний системы.
Вычисление *
_______ 4______
2
Засылка Ру, a-t г- в рабочие ячейки
ГЛАВА 2
{an-L-krk “Г
Ä= I
~r Qn-i - k - \ r k+i)
I
'J'
П Г
/: = 0
_______ -іі______
|
3 |
|
Y : = |
1 |
|
п := |
4 |
|
1 |
|
I |
|
|
4 |
5 |
|
|
19 |
Вычисление |
s : -- s + 1 |
^DO' |
Г0 |
|
4 |
|
|
в
п : = п - 1
4I
I
________4______________________
14
и—/ —2
У, { a n - i - l - i r l " Г 0 . n - i ~ L - 2 r l + i )
1= 1
7
і : = |
О |
|
20 |
'JІ- |
|
|
|
Вычисление |
8 |
tüpnI |
1 /I |
|
|
|
А: = 0 |
0 |
21 |
|
|
|
|
а = |
t |
п — і — 1
2 ( a n ~ i- k r k : t t n - i - k - i r k+i)
*= 1
[ |
П |
1 |
|
10 |
1 |
11 |
к = п — і — 1 |
1—<- /г: = |
/г -L 1 |
|
1 0 |
|
1 |
4 |
|
|
у = 2 |
22 |
1 |
25 |
|
> |
Останов |
0 |
1 |
|
|
|
|
23 |
|
_____ 4_______
24
Y : = Y + 1
!
Рис. 2.1. Блок-схема алгоритма вычисления функции готовности.
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ |
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ |
|
|
|
§ 2.6 |
МЕТОДОМ СОСТАВЛЕНИЯ |
|
|
|
|
|
ГРАФА СОСТОЯНИЙ |
|
|
|
|
|
|
Д ля |
частного |
случая |
резервированных |
восстанавливаемых систем, |
когда |
потоки |
отказов |
и |
восстановлении |
являю тся |
простейшими, |
А . М. П оловко и Б . |
И. |
Гуровичем [34, |
стр. 78— 8 |
3 ] |
разработана |
методика получения |
количественных |
характеристик |
надежности, |
не требующ ая составления и решения дифференциальных уравнений
п |
массового |
обслуж ивания. |
Эта методика |
позволяет |
|
по известному графу состояний найти коэффициент |
|
готовности, |
а такж е |
записать выражения |
в изобра |
|
ж ениях по |
Л апласу |
для |
вероятности безотказной |
|
|
|
работы и функции готовности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
сущ ество |
методики |
на |
гипотетиче |
|
|
|
ском |
примере |
навигационной |
радиолокационной |
|
|
|
станции, |
состоящ ей |
|
из |
k |
блоков. |
Граф состояний |
|
|
|
восстанавливаемой Р Л С |
имеет вид, |
представленный |
|
|
|
на |
рис. |
2.2. |
У злам |
графа соответствую т |
различные |
|
|
|
состояния |
устройств, |
а |
ветвям — |
возможные |
пере |
|
|
|
ходы |
из |
одного |
состояния |
в |
другое |
с |
интенсивно |
|
|
|
стями |
Кі |
и |
у,-. Система отказы вает, |
если |
она |
пере |
|
|
|
ходит в состояние k — |
1. Тогда для резервированной |
|
|
|
восстанавливаемой системы любой кратности т спра |
|
|
|
ведливы следующие выражения для вероятности |
|
|
|
отказа |
Q (t) и |
вероятности |
застать |
ее |
в |
любой |
|
|
|
момент |
времени |
t |
в |
состоянии |
отказа |
(простоя) |
|
|
|
в изображениях |
по Л апласу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(p) = р (аУ |
|
' + л\рк' 2 + |
|
|
|
|
|
(2.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2. |
Граф |
|
|
К (Р) = |
|
|
|
А іРк |
|
|
|
А к - 1) |
|
(2.41) |
состояний |
вос |
|
|
|
|
|
Р (А оРк |
* + |
“ + |
‘ |
+ |
|
|
станавливаемой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЛС. |
|
|
где |
k — число |
состояний |
системы, |
равное |
числу |
|
|
|
|
|
|
узлов |
графа состояний; Л,-, А\, В — коэффициенты, |
зависящ ие от интенсивностей |
переходов |
%t, |
ц; (7 = 1 , 2 , |
. . ., |
k— 1 ). |
Коэффициенты |
А і, |
Al, В можно определить из графа по сле |
дующему |
|
правилу. Коэффициент |
при |
старшем |
|
члене |
полинома |
в знаменателе выражения (2.41) |
равен единице, т. е. А 0 = |
1. |
Коэф |
фициент |
А г |
равен |
сумме |
всех |
интенсивностей переходов %і и у (-. |
Коэффициент |
А 2 равен |
сумме всех |
попарных |
произведений |
интен |
сивностей |
переходов, |
за |
исключением |
членов |
вида |
А.гу г, |
|
Из графа |
|
видно, что |
члены |
вида |
|
образованы |
интенсивностями |
переходов, |
находящимися |
в |
одном кольце |
графа, |
а члены |
А£.+1цг — |
ГЛАВА 2
интенсивностями переходов из одного и того ж е состояния в разные (соответствующ ие стрелки вы ходят из узлов).
Коэффициент А 3 равен сумме произведений интенсивностей пере ходов, взяты х по три, за исключением тех членов, в которых в каче
стве сомножителей |
встречаю тся |
произведения |
Х£+1|.і£. |
Коэффициент А і |
при |
равен сумме |
произведений интен |
сивностей переходов, взяты х по і, за исключением тех членов, в кото рых в качестве сомножителей встречаю тся произведения A,m p.£.
Коэффициент АІ в выражении для вероятности отказа находится при известных коэффициентах Л £ следующим образом. Если в выра жении для коэффициента A t исключить все члены, содержащ ие в качестве сомножителя интенсивность перехода рі/г_1, то получен ное выражение будет равно коэффициенту А\. Эта закономерность очевидна, так как выражение (2.40) характеризует поведение системы до ее отказа и получено в предположении, что обратного перехода
из |
отказового состояния |
(состояние |
k — 1) |
в исправное |
(состоя |
ние |
k — |
2) нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент В равен произведению всех интенсивностей отказов |
и не содержит интенсивностей |
восстановления, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
к—І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
= |
П X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і=і |
|
|
|
|
Д ругие |
характеристики надежности |
резервированных восстанавли |
ваемых |
систем — функцию |
готовности |
Г (t), |
коэффициент |
готов |
ности |
кт и вероятность |
безотказной |
работы |
Р (t) в течение вре |
мени |
I — можно получить из |
(2.40) и (2.41), воспользовавш ись соот |
ношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г (Р) = |
- у — |
К (р); |
|
|
|
|
|
Я г = |
1 — |
lim р М |
р ); |
|
(2.42) |
|
|
|
|
|
|
|
/?->о |
|
|
|
|
P ( p ) - = - j — Q(p).
Наиболее просто из графа состояний определяются коэффициенты
простоя и готовности, которые равны
ß
/гп = lim pkn {р) = -т.— |
; |
Р-+о |
и*-і |
(2.43) |
кг = \ |
— кп. |
|
Проиллюстрируем сказанное примером.
Пример 2.2. Рассмотрим систему энергопитания, состоящую из трех параллельно
работающих в смысле надежности генераторов. Отказовое состояние для такой си стемы наступит при одновременном отказе всех трех входящих в ее состав устройств. Пусть система обслуживается одной ремонтной бригадой, интенсивность отказов всех входящих в нее устройств равна X, а интенсивность восстановления равна ц.
