|
|
|
ГЛАВА 2 |
Выражение (2.56) примет вид |
|
|
|
X (о) — Сп~1Рп 1 Сп~2Рп |
~ ~Ь ’ ’ ' Ч~ сіРЧ~ со _ |
с (р) |
(2.58) |
р" -Т &П-\Р " + |
■• • -f- d-iP -\-da |
D (p) |
|
Знаменатель дроби в (2.58) представляет собой характеристиче ский многочлен дифференциального уравнения (2.54) при усло вии р — X:
Согласно сформулированной задаче требуется, чтобы решение дифференциального уравнения (2.54) совпало с заданной функ цией К' (t):
X (t) = К (О
и, значит,
X (Р) = К' (р).
Это требование будет удовлетворено, если выполнены условия
D (р) = D' (р);
С (р) = С' (р).
Следовательно, изображение решения искомого дифференциального уравнения должно иметь вид
Хір) = |
с (Р) |
c» -lP " 1 ~і~Сп-2РП 2 ~Ь • • • Ч~ С\Р І~ с0 |
(2.59) |
D' ( P) |
Рп +4П_]р п ' + •■•+d xp -(-dg |
|
|
|
Знаменатель дроби в (2.59) представляет собой характеристиче ский многочлен искомого уравнения, и, следовательно, это уравне ние имеет вид
'(О “Ь dn_1 xt-n ^(^) —(—- - •—J—â\X(t) -f- d ’tpc (t) — 0.
Начальные условия, при которых решение дифференциального уравнения х (t) совпадает с заданной функцией К' {t), определяются
согласно соотношениям (2.57) при условии с, = с'р.
X(0)— сп_ і,
х (0 ) = с,'і_ 2 — dn_iX(0);
X(0) = c'n—з — d’n-iX (0) — d’n_2x (0);
x («-2) |
= |
c ; _ |
ci’„ ^ n- 3) (0 )-------------- |
d2x (0); |
x{n~l) (0) = |
ci — |
( 0) -------------- |
d[x(0). |
Таким образом, методика воспроизведения возмущающей функ
ции |
К' |
(і) |
на A B М общего применения заклю чается |
в следующем: |
5 |
А. |
Г. |
Варжапетян |
65 |
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
1) по заданной функции К' ( t) находят ее изображение К' (р)\ 2) по знаменателю изображения /(' (р) строят характеристиче
ское |
уравнение А (Я.) = |
0 |
и по |
нему — |
дифференциальное уравне |
ние (2.54); |
|
|
|
|
|
3) |
составляю т схему |
набора |
на А ВМ |
общего назначения |
урав |
нения (2.54) методом понижения порядка производной; |
|
4) |
по формулам (2.60) |
определяют |
начальные условия |
этого |
уравнения.
Проиллюстрируем данную методику на примере определения параметра потока отказов при ненагруженном резервировании эле ментов (т = 2).
И звестно [3 3 ], |
что в этом случае средняя |
частота отказов может |
быть получена из |
следующего интегрального |
уравнения: |
|
|
jSfi |
|
|
хз |
* |
|
|
|
|
|
|
со (t) = — |
|
е - Ѵ |
+ |
- у - |
j со (т) (t — xfe-K «-*> |
dz. |
(2.61) |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Определим |
изображения |
по Л апласу |
для функций, входящ их |
в данное |
интегральное |
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü>(f)-*~»Q (р); |
|
|
|
|
|
|
|
W |
м |
|
. 3 |
1 |
|
|
|
(2.62) |
|
|
|
■ о |
е-*«1-Ч--+ ЯЬ |
(Р + Яо)3 |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
со (t) |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
іЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ао |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(p) |
( Р + Я о)3 |
|
|
|
(2.63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(р + Я0)2 |
|
|
|
Сравнивая |
данное |
выражение |
с |
(2.48), |
видим, что |
F (р) |
равно |
|
|
|
|
\ з |
|
|
|
з |
|
|
|
|
F{p) |
|
А<0 |
|
|
|
Xо |
|
|
(2.64) |
|
(Р + |
Я„)3 |
Р 3 4 - |
З Я д Р 2 |
+ |
3 Я д Р -f- Яд |
|
|
|
|
|
|
Г Т Г Г Й Равно
1 |
1 |
|
Р3 + ЗЯдР"-ТЗЯдР + Яд |
1 - А (Р) “ _ |
Ä| |
_ |
(2.65) |
Р3 + ЗЯ0р2 + ЗЯ\р |
1 ~ (Р + Яо)3
Ввиду того, что выражение (2.65) представляет собой дробно рациональную функцию, степень числителя которой совпадает со степенью знаменателя, и для таких соотношений рассмотрена методика моделирования передаточных функций, при реализации зависимости (2.63) примем схем у, показанную на рис. 2 .6 , б.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 2 |
Затем |
составим схему |
моделирования |
передаточной |
функции |
(2.65) по методике, изложенной выше. |
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й (р) |
_ |
Р3+ |
3\QP2+ |
3XQP + |
Я30 |
(2.66) |
|
|
|
F (Р) |
_ |
р 3+ з ѵ 2 + |
з^ |
’ |
|
|
|
|
(р |
-|- ЗЯоР |
|
-f- ЗЯ5Р) й (р) — (р |
ЗЯ0р -f- ЗЯ0р -f- ?-о) F(p)\ |
1 _|_ |
I |
зхі |
Q ( p ) = |
1 |
ЗЯр |
|
F(PY, |
|
|
|
|
|
|
|
й (р) = |
( з ѵ |
7 (р) - |
зяой |
(р) + |
|
|
|
|
З Я ^ ( р ) - З Я 95Й(р) + |
~ - F ( p ) + F (Р)> |
(2.67) |
Рис. 2.8. Структурная схема, реализующая зависимость (2.68).
или, иначе, |
|
|
|
|
|
|
Q(p) |
= F (р) |
+ Z 3 (р), |
(2.68) |
где |
|
|
|
|
|
Z3 (р) = |
- L |
[ЗЯ0Р (р) - |
ЗЯ0Й (р) + |
Za (р)]; |
z 2 (Р) = |
- і - |
[ |
(р) - |
ЗЯой (р) + |
Z ip ) ] ; |
Zi (р) = -^-ЯоР(р).
Схема реализации на А ВМ уравнения (2.68) приведена на рис. 2 .8 . Составим схем у моделирования и определим начальные условия для воспроизведения функции времени, изображением которой
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
является функция (2.64). Применительно к общей формуле (2.59) коэффициенты передаточной функции таковы:
С2= |
0, |
с?2 = |
ЗЯоі |
С\ = |
0, |
d\ = |
ЗХоі |
Cg= |
Яо, |
do = |
Я3. |
Характеристическое уравнение имеет вид
Я3 + ЗЯоЯ2 + ЗЯ£я + Я£ = 0,
а соответствующ ее ему дифференциальное уравнение
х'-і- ЗЯо* + ЗЯ^х + Я? = 0 .
Н ачальные условия определяем с помощью соотношений
|
х (0 ) = с2 = 0; |
|
X (0) |
= |
с[ — d2x (0) = |
0; |
X (0) |
= |
со — dix (0) = |
1. |
П окаж ем использование данной методики для получения функции готовности системы энергопитания, состоящей из трех параллельно работающих в смысле надежности генераторов. Вы раж ение этой
функции |
в изображениях |
по Л апласу |
было |
получено в § 2 .6 |
[фор |
мула (2 .4 4 )]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
случая, когда Я = |
0 ,5 ч -1 , |
р |
— 1 |
ч -1 , |
соотношение |
(2.44) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■р/_\__ |
|
Р3 4- 6р2 + |
10,25p -f- 4,0 |
|
|
|
|
W _ |
p(P3+ 6p2 +10,25p + |
4,75) |
• |
|
Запишем |
это выражение |
в |
виде двух сомножителей: |
|
|
|
|
р3 + 6р2+ |
10,25р + |
4,0 |
|
(2.69) |
|
|
|
рз_|_бр2+ 10,25р + |
4,75 • |
|
|
|
|
Первый сомножитель будем моделировать как функцию времени,
изображением которой является а второй сомножитель — по ме
тодике моделирования передаточных функций, изложенной в данном параграфе. Н а рис. 2 .9 показана схема моделирования на А ВМ соотношения (2.69) (за величину скачка принято напряжение 25 в).
Если преобразования Л апласа К' (і) не сущ ествует или оно пред ставляет собой рациональную либо трансцендентную функцию от пе ременной р, то функцию К' (р) можно аппроксимировать решениями обыкновенных однородных дифференциальных уравнений с постоян-
ГЛАВА 2
ными коэффициентами. Аппроксимация применяется такж е и тогда, когда изображение F (р) в уравнении (2.47) не является дробно рациональной функцией комплексной переменной р.
256
Ввиду того что изображением экспонент с действительными и комплексными показателями являю тся дробно-рациональные функ ции оператора р, целесообразно выполнить аппроксимацию, супер позицией показательных функций.
АППРОКСИМАЦИЯ ЯДЕР ИНТЕГРАЛЬНЫХ |
§ 2.8 |
УРАВНЕНИЙ И ВОЗМУЩАЮЩИХ ФУНКЦИЙ |
|
Сущ ествующ ая [4] методика аппроксимации |
функции линейной |
комбинацией показательных функций с использованием критерия наименьших квадратов применима только для случая, когда показа
тели |
экспонент |
являю тся действительными числами. Если ж е Xk |
являю тся комплексными сопряженными |
числами, то |
предложенная |
в [4 ] |
методика |
не годится. Поэтому |
используем |
разработанный |
Г. Г . Гершелисом способ аппроксимации заданной функциональной зависимости решением линейных разностных уравнений с постоян ными коэффициентами.
П усть некоторая функция /* (t) задана в виде графика или из вестны ее значения в отдельные равноотстоящ ие моменты времени }Т, где / = 0, 1, 2, . . .; Г — интервал дискретизации. Поставим задачу аппроксимировать ее функцией f (t), которая является решением
линейного разностного |
уравнения |
с |
постоянными |
коэффициентами |
/ l(k + |
п) Т] |
+ ап_Л [(£ |
+ |
(« — 1)) Т ] + •■•+ |
|
|
+ |
a j |
[(k + 1) Т] |
+ |
a0f [kT] |
= ß |
|
(2.70) |
при начальных |
условиях |
|
|
|
|
|
/ (0) = |
/о; f(T ) |
|
1 ( п - і) |
т ] |
= fn_v |
(2.71) |
Подвергнем уравнение (2.70) z-преобразованию . Согласно теореме сдвига . .
Z\f[{k + n ) T \ \ = znF{z) — S |
l ^ - o - D . |
(2.72) |
• I*—1 • |
‘ |
|
