Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 236

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

нятие же

группы

симметрии

в свою

очередь играет

важнейшую роль

в со­

временной

физике

(см., например,

книги [80,

81],

а также

вводную

статью

к книге [81]).

 

 

 

 

 

 

 

Книга

[9] в

некотором

смысле

«закрыла»

определенный

раздел

геомет­

рии, поскольку все последующие работы в этом направлении имели довольно

частный характер

(именно эту область геометрии сегодня чаще всего связывают

с наименованием

«Основания геометрии»). Работы же [7] и [8] по существу

открыли новые направления геометрических исследований. На первом месте

среди продолжающих

эту

линию работ

надо

упомянуть

книгу

Ф .

Ш ура

[16],

модифицировавшего

схему

Гильберта

с тем,

чтобы заменить в ней

конгруэнт­

ность движениями;

в

нашей стране аксиоматика Шура

широко известна

(см.,

например, книги [61]

или

[63]). В педагогическом плане

эти же

идеи реализо­

вывали авторы многочисленных школьных учебников, в

основу

которых

кла­

лись (не доказываемые, т. е. принимаемые за аксиомы!) свойства движений; из французских авторов здесь надо в первую очередь упомянуть знаменитого Эмиля

Бореля, учебник [55] которого был некогда

весьма популярен (его влияние чув­

ствовалось и в дореволюционных изданиях

книги [37]),

а из

немецких матема­

ти ков— рано умершего Г. Томсена [85], пошедшего в

этом

направлении еще

заметно дальше Бореля. Дальнейшим развитием линии Пиери — Щ ура — Томсена можно считать аксиоматику современного немецкого геометра Фридриха Бахма­

на [19], в системе которого (осевые и центральные) симметрии являются даже

не основными «отношениями», связывающими служащие главным «строительным материалом» геометрии точки и прямые, а принимаются за основные (неопреде­

ляемые) объекты геометрии, заменяя тем самым точки и прямые! При этом даже «экстремистская» система Ф . Бахмана почти сразу по ее появлении вызвала попытки ее применения непосредственно в преподавании, чему посвящены, например, учебное пособие [86] или статья [87] (по этому поводу см. вводную

статью к книге [19]).

Столь же многообещающим оказался и третий путь обоснования геометрии,

принимающий за

основу понятие

р а с с т о я н и я . В

начале

нашего века,

когда В . Ф . Каган предложил систему обоснования геометрии,

это понятие

казалось довольно

второстепенным,

а идея привлечения

в геометрию понятия

числа — спорной; это и определило

невнимание к исследованиям

Кагана. Так,

в подытожившем первый период исследований по основаниям геометрии обзоре

[17], принадлежащем видному

представителю

итальянской

школы Пеано

Ф . Энрикесу и напечатанном

в выпускаемой

под общим

руководством

Феликса Клейна многотомной «Энциклопедии математических наук», весьма

обстоятельно проанализировавшей все имевшиеся к началу X X века достиже­

ния математики, о работе [10] сказано: «Дедукция Кагана прозрачна и посту­ латы просты, но простота эта достигается благодаря допущению, что расстоя­

ние может быть выражено некоторым чи сл ом ...» — т. е. Энрикес склонен видеть

недостаток в том, что мы сейчас воспринимаем как достоинство! Однако в наше

время положение здесь

коренным образом изменилось. Создание французским

математиком М. Фреше

[25] общего понятия метрического п рост ранст ва1 —

1 Сам термин «метрическое пространство» впервые был использован Ф, Хаусдорфом в его известной книге «Теория множеств» [26].

600

такого множества М «точек»,

что

каждым

двум точкам а и Ь отвечает число

ра ь, называемое расст оянием между а и Ь,

причем

Р і РаЬ >

0

При а ф £>; раа = °;

Рг Рай = Рйа> Рз Рас ~ЬРей =3 Рай

(ср. [68], [79] или [42]); оцененные лишь после появления (общей) теории

относительности

 

А. Эйнштейна

глубокие

исследования

Бернгарда

Римана [2],

явившиеся «математическим фундаментом» теории относительности (эти

иссле­

дования также исходили из своеобразно обобщенной концепции расстояния);

выросшие из идей' Фреше и построений

Римана

новые

направления

геометрии

(см .,

например [27] — [32]) — все это продемонстрировало важность понятия рас­

стояния

 

и перспективность теорий,

базирующихся

на

этом понятии. Поэтому,

подобно тому как работа [8] явилась лишь «первой ласточкой»

в длинном ряду

исследований, так и работа [10] открыла цепочку книг

и статей,

одним из

звеньев

которой

 

является книга Моиза — Даунса.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

Дж. Д. Биркгоф

и

«американская система»

построения

школьного курса

геометрии. При обращении к зарубежному опыту в области преподавания гео­

метрии нам естественно прежде всего обратиться

к

опыту

США — страны,

ранее

других

ставшей

на путь преодоления в школьном преподавании

евкли­

довских

традиций. В

 

американской

средней школе — в противоположность, ска ­

жем,

Англии,

Франции

или

России — эти традиции

никогда не

были особенно

устойчивыми, что связано, быть может, с тем, что самостоятельные педагогиче­

ские и научные установки сложились в США много

позже,

чем в

развитых

европейских

странах.

 

Американская

математика

с

гордостью

называет своим

прародителем знаменитого Джеймса Сильвестра (1814 — 1897), который ряд лет

состоял профессором

старейшего университета СЦ1А — университета имени Джона

Гопкинса

в

Балтиморе,

и основал

первый на американском

континенте

науч­

ный математический

 

журнал

 

«American

Journal

of

M athem atics». Между тем

причиной переселения Сильвестра в США в значительной степени

явилась

резкая

критика,

которой он

подверг традиционный

школьный

курс

геометрии

«по

Евклиду»;

 

эта

критика

встретила сильное противодействие

английской

профессуры во главе с маститым Артуром Кэли, вследствие чего отношения

Сильвестра с большинством английских математиков обострились до такой

степени, что он счел уместным покинуть Англию.

 

 

 

 

 

 

 

Возможно,

 

что

с

влиянием Дж . Сильвестра связан интерес американских

геометров к

«не евклидовским» системам обоснования геометрии. У ж е

в 1904 г . —

в год

выхода

 

в

свет

 

первой

части

обширной

(более

800

стр.)

монографии

В . Ф . Кагана [11], посвященной развернутому изложению его системы,— появилась

работа

[13]

одного

из классиков американской математики

Освальда

Веблена,

содержащая

оригинальный вариант

«метрического»

(т. е. основанного

на

поня­

тии расстояния) обоснования евклидовой геометрии; эта работа была затем про­

должена другим

 

американским

математиком Р . Л . Муром [15] А

Но

наибольшее

значение

имела

 

опубликованная в

1932

г. в ведущем

американском

математи-1

1 Истории

попыток

метрического

обоснования

геометрии

уделено

много

места в обстоятельной монографии [27] американского

математика Л . М.

Блю ­

менталя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

601

ческом журнале «Annals of M athematics» статья «Система аксиом планиметрии,

базирующаяся на использовании масштабной линейки и транспортира» [18], при­

надлежащая перу одного из виднейших американских

математиков и педагогов

Джорджа

Дэвида

 

Биркгофа (о нем см. стр.

602— 604 настоящей

книги). В

этой

статье,

развивающей

идеи

его же более

ранней

книги

[78],

автор

исходил

из существования

«меры

длины»

для

 

отрезков

прямой

и «меры

угла»

для

углов с фиксированной

вершиной,

т. е. из

аксиом

2 —3

(стр.

45— 48)

и

12— 14

(стр.

91—92)

настоящей

 

книги.

Подобная

 

система

изложения

геометрии

в чисто педагогическом отношении имеет ряд

преимуществ

перед

системой

Гильберта

[9]: в

 

то

время, как

переход от понятий конгруэнтности отрез­

ков и углов к «мере» отрезков и углов является довольно

сложным1,

об­

ратный

переход

от

длин

отрезков

и величин

углов к понятию

конгруэнтности

отрезков и углов не представляет ни

малейших

затруднений;

 

представляю­

щая

собой

один

 

из

сложнейших

разделов «Геометрии по Гильберту» теория

порядка точек

на

 

прямой (см. стр. 58—66

и 404— 419 книги [9]) в системе Бирк­

гофа

сводится

к

одному

элементарному

определению

и его

простейшим след­

ствиям и т. д. Правда, это

упрощение в построении

геометрии достигается неда­

ром: основную

роль

здесь

 

играет

апелляция

к

(предполагаемым

известными!)

свойствам вещественных (действительных) чисел, каковыми являются

меры

отрез­

ков и углов, так

что трудности оказываются не столько исключенными, сколько

перенесенными в

другую область — в область

учения о

(вещественных)

 

числах,

относящегося

к

компетенции

не

геометрии,

 

а

(математического)

анализа12.

Однако

в

школьном

преподавании

мы

все

 

равно

вынуждены

считать

свойства

чисел

известными,

так

что

здесь такое

построение

геометрии

оказывается

явно

более

простым,

чем традиционное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти соображения побудили Дж . Д . Биркгофа

весьма

активно

включиться

в обсуждение

вопроса

о

 

наиболее

целесообразном

построении

 

курса

гео­

метрии

в средней

 

школе. Уж е

в 1933

г .,

всего

через год

после

опубликования

статьи [18], вышло в свет первое

издание

написанного

им

совместно

с

мето­

дистом

Ральфом

Бейтли учебника «Основ геометрии» [49], рассчитанного на

средние

классы

американской

школы

 

(ранее

они

же

опубликовали

совмест­

ную статью [57]);

 

в

последующие

годы

этот

учебник,

равно

как

 

и вышедшее

отдельным изданием «Руководство» (M anual) для учителей, ведущих по нему преподавание, неоднократно переиздавались. Книги [49] оказали огромное

влияние

на всю систему

изложения

геометрии

в американской

школе (под

их влиянием

«метрическая» система

обоснования

геометрии, базирующаяся на

аксиомах

2 — 3

и 12— 14,

приобрела здесь господствующее положение); поэтому

о них здесь стоит сказать

подробнее. Начинался

учебник [49] с

краткого В ве­

дения: «Рассуждения; природа доказательств»,

за которым следовали две основ­

1 См. примечание на стр. 599.

 

 

 

 

2 Наиболее откровенно

декларируют это

обстоятельство авторы тщательно

составленного учебника [53], также придерживающиеся установок Дж . Д .

Биркгофа:

список

 

аксиом они

начинают следующей Аксиомой

1: справедливы

все

(перечисленны е

 

в вводной

главе

книги)

основные свойства

вещественных

чисел и свойст ва,

кот орые м ож н о вывести из

sm ux основных свойств; в полном

же

списке

аксиом,

вынесенном в Приложение к книге, эту единственную

Аксиому 1

детально

расшифровывают

аксиомы 1.1— 1.62 (шестьдесят две аксио­

мы

вещественного

числа!).

 

 

 

 

.602

 

 

 

 

 

 

 

 

ные главы: «Пять Основных Принципов» (т. е. аксиом) и «Семь Основных Тео­

рем» (т. е. непосредственных выводов из принятых аксиом), на которых стро­

ился весь последующий курс геометрии, не имевший, впрочем, столь подчеркнуто

дедуктивного характера,

как

это принято

в настоящей книге. В число Основ­

ных Принципов (аксиом) авторы включали предложения

о мерах отрезков и

углов,

родственные аксиомам 2 — 3 и 12 — 14 настоящей книги; при этом, в парал­

лель

к

аксиомам 2 — 3,

связанный

с мерой'углов Принцип имел в книге [47]

форму

утверждения о возможност и

т акого

сопост авления

исходящ их из одной

точки

лучей ( вещественным) числам, что

величина образуем ого двумя лучами

угла

р авн а разност и чисел,

от вечающих

этим лучам (см. заимствованный из

книги [49] рис. 4). Завершался учебник родственным Введению, но теперь уже

аргументированным с использованием все­ го материала книги Заключением: «Рассуждения; абстрактная логическая система» и кратким перечнем используе­ мых в доказательствах геометрических тео­ рем «свойств (вещественных) чисел».

Из числа использующих биркгофовскую аксиоматику американских учебни­

ков геометрии, в противоположность кни­

ге

[49],

рассчитанных уже на

старшие

. классы

средней школы,

следует,

в

пер­

вую

очередь, упомянуть

книги [50],

[53]

и[54]. Особо заслуживает внимания

упоминаемое

в

предисловии к

насто­

ящему

учебнику

коллективное

сочине­

ние в

двух

частях [50] *,

изданное под

эгидой

высокоавторитетной

«Исследова­

тельской группы по школьной математи­

 

 

ке» (School M athematics Study Group, сок­

 

 

ращенно— SM SG), а также

книга [54], входящая в

серию изданных при

под­

держке SMSG учебников,

составленных большим

коллективом авторов,

воз­

главляемым видным математикой и педагогом Эдвином Беккенбахом, хорошо известным русскому читателю по переводу ряда его книг и статей (сам Беккен-

бах участвовал в написании входящих

в эту серию

учебников алгебры

и ана­

лиза). Однако при всем различии названных книг

в деталях

общая система

изложения в них совпадает с книгой

[49] и с настоящей книгой.

 

Укажем, наконец, что издаваемая в США литература по геометрии,

обра­

щенная к (настоящим или будущим)

у ч и т е л я м

математики,

также

чаще

всего базируется

на идеях Дж. Д . Биркгофа. Из книг и статей

этого

рода в

первую очередь

заслуживает внимания

выдержавшее

несколько изданий

сочи­

нение первого из авторов настоящего учебника «Элементарная геометрия

с выс­

шей точки зрения» [6 0 ]— обстоятельное

изложение школьного курса геометрии,1

1 При этом каждый из учебников выпускаемой SMSG серии пособий изда­ ется в двух одновременно выходящих в свет вариантах: Students’ Text (текст для учащихся; книги в желтых обложках) и Teachers’ Commentary (пояснения для учителей; книги в красных обложках).

603

\

рассматриваемого с позиций учителя, а не ученика, и в определенном смысле

ориентированное на преподавателя, ведущего занятия по настоящей книге. Удач­

ным является и учебник «Оснований

геометрии» [59], выпущенный по инициативе

SMSG и рассчитанный на студентов,

готовящихся к карьере учителя матема­

тики. Укажем еще напечатанные в

рассчитанном на широкий круг читателей

(в том числе на настоящих и будущих учителей) журнале American Mathema­

tical

M onthly статьи

[20]

и [21]; первая

из них (принадлежащая перу

извест­

ного

американского

алгебраиста Сандерса Маклейна) имеет довольно

общий

характер, а вторая

более

конкретна: в

основной своей части она посвящена

выводу из биркгофовской аксиоматики так называемой теоремы Жордана,

утверждающей, что

всякий

(прост ой)

многоугольник

делит

плоскост ь

на две

части — внут ренню ю

и внеш нюю

(ср.

выше;

приведенный

в комментариях

к русскому переводу гильбертовых «Оснований

геометрии» краткий

(1)

набро­

сок доказательства этого факта,

опирающийся

на систему аксиом

Гильберта,

занимает 10 страниц текста,

напечатанного мелким шрифтом — см. стр. 409 — 419

книги [9]).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В заключение заметим, что и в нашей учебной и методической литературе

«метрические» системы обоснования геометрии

приобрели за

последнее время

большую популярность. К

установкам Дж . Биркгофа

весьма

близок

учебник

видного советского геометра А. В. Погорелова, выпущенный в двух вариантах [43] и [48] — для учащихся и для учителей; при этом книга [43] будет, види­

мо, более доступной для школьников, чем настоящий учебник (хотя бы в силу своего меньшего объема). Иной вариант аксиоматического построения геометрии

выбрал коллектив, возглавляемый А. Н. Колмогоровым (см. [42]); однако

и

принятая ими система аксиом, базирующаяся на неопределяемых понятиях точки

и расстояния, имеет «метрический» характер

 

(так, например, в число аксиом

здесь включаются предложения

Р г — Р а, стр.

601).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

О книге Моиза— Д аунса. Наиболее

полное

воплощение

общие

уста­

новки Дж. Биркгофа получили в книге, русский

перевод которой

сейчас ле­

жит перед Вами, — и эта

книга

пользуется

наибольшей

 

известностью

из

всех

школьных учебников геометрии, выпущенных в США за последние 10 лет.

Американские коллеги рассказывали автору

настоящих

строк,

что при

обсуж­

дении в SMSG желательной структуры школьного курса

математики

многими

учеными и педагогами высказывалось мнение

о нецелесообразности сохранения

в старших классах средней школы раздела,

посвященного геометрии, — и толь­

ко энергии влиятельного члена SMSG Эдвина Э. Моиза, известного математика

и педагога, члена Американской Академии

искусств

и наук и профессора Гар­

вардского Университета

в Кембридже близ

Бостона,

в

котором

преподавал

в свое время и Дж . Д . Биркгоф, они приписывали

то,

 

что это предложение

не было

принято.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э. Моиз не ограничился лишь агитацией за сохранение курса геометрии в

старших

классах школы. Вместе с Флойдом Л . Даунсом-младшим,

преподава­

телем средней школы имени Ньютона, расположенной в городке Ньютон неда­

леко от

Бостона, он написал учебник для

учащихся

старших

классов

(High

School) американских средних школ. При составлении настоящей книги ее ав­ торы исходили из того, что учащиеся уже знакомы с курсом наглядной (инту­ итивной) геометрии, проходимым в средних классах школы; таким образом, мы

604

Смотрите также файлы