Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 239

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

образом то обстоятельство, что первая серьезная попытка аксиоматического

обоснования науки была предпринята Евклидом именно на примере геом ет рии,

сильно задержало дальнейшее движение вперед в этом направлении: колос­ сальный авторитет Евклида и многовековая привычка видеть в его книге образец «истинно дедуктивной» математической системы затрудняли понимание принципиальных пороков принятой Евклидом схемы (чуждой, как известно,

представлениям о «первоначальных» или «неопределяемых» объектах и отноше­

ниях). Другой причиной задержки

учения об основаниях геометрии

явилась,

очевидно,

сложность подлежащей

аксиоматизации

математической

системы:

в то время

как, например, известная аксиоматика

арифметики по Дж . Пеано

[22] (предложенная, кстати сказать, ранее всех вариантов аксиоматического

описания

пространства Евклида)

содержала

всего 4

аксиомы,

описывающие

один род

неопределяемых понятий

(«числа»)

и одно

отношение

между этими

понятиями («предшествовать»), гильбертова аксиоматика, даже в одном из послед­ них ее вариантов (см. [9]), содержит 40 аксиом, описывающих четыре основных

отношения

(при надлеж ат ь, м еж ду и конгруэнт ност ь для от резков и для углов),

связывающие неопределяемые элементы трех родов — точки,

прямые и плоскости

(первоначально число аксиом было еще большим). Неудивительно

поэтому, что

первым попыткам серьезного обоснования всей

геометрии Евклида предшество­

вали работы, в которых обсуждались отдельные

фрагменты

будущей

аксиома­

тики; из

числа

этих

работ

особо должны

быть

отмечены

исследования

Дж . Пеано [7] по

аксиоматизации понятия движ ения

(в частности, Пеано при­

надлежит

вошедшее в

многие

последующие исследования

описание

«степени

Рис. 1 Рис. 2

подвижности» плоскости: существует единственное движение, переводящее

данный «репер»

(А,

A B ,

а ) в

другой

«репер» (А ',

А 'В', а ') — см. рис. 1)

и Исследования

М.

Паша

[5] -(ср.

также

Пеано [6]) по

аксиоматическому опи­

санию «порядка» точек

на прямой (включающему широко известную а к с и о м у

П а ш а :

если прямая I пересекает одну ст орону т реугольника А ВС , т о он а обя­

зат ельно

пересекает и

одну из двух других сторон', см. рис. 2).

История науки свидетельствует, что великие открытия делаются, как правило,

в тот период, когда к

тому существуют какие-то объективные факторы обще­

культурного порядка; это обстоятельство подчеркивается тем, что существен­

ный шаг вперед часто делается независимо

несколькими

учеными

в

разных

странах. «Для идей,— писал венгерский математик Фаркаш

Бойаи сыну,

настаи­

вая на скорейшем опубликовании последним его исследований

по

неевклидо­

вой геометрии,— наступает

время, когда они

созревают

в различных

местах,

подобно тому, как весной

фиалки появляются всюду,

где

светит,

солнце».

596

В качестве примеров здесь можно указать на независимое открытие аналити­

ческой геометрии Р . Декартом и П. Ферма, математического анализа Г. В . Лейб­ ницем и И. Ньютоном, неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским, Я . Бойаи

и К. Ф . Гауссом, векторного исчисления Г. Грассманом и У . Р . Гамильтоном,

статистической

физики Л . Больцманом

и Д . У . Гиббсом,

квантовой

механики

Л . де Бройлем,

Э. Шрёдингером и В.

Гейзенбергом и т. д.

и т. п.

Не состав­

ляет здесь исключения и аксиоматическое обоснование (евклидовой) геометрии — разные системы обоснования геометрии, формально эквивалентные и равно доста­

точные для вывода из предложенных аксиом всех без исключения геометриче­

ских теорем, были предложены несколькими учеными, из числа которых особо заслуживают быть отмеченными итальянский математик Марио Пиери [8], про­

фессор прославленного Гёттингенского университета Давид Гильберт [9]

и приват-доцент Новороссийского (Одесского) университета Вениамин Федоро­

вич Каган [10] К Указанные три системы обоснования геометрии были независимо разрабо­

таны почти в одно и то же время, однако дальнейшая их судьба оказалась совсем разной: в то время как работы Пиери и Кагана сразу же оказались

весьма основательно забытыми (так что сегодня их знают лишь специалисты по

истории математики или по основаниям геометрии), сочинение Гильберта [9],

впервые увидевшее свет в выпущенном в 1899 г. Гёттингенским университетом обширном томе, посвященном открытию памятника К . Ф . Гауссу и Г. Веберу,

почти сразу же приобрело весьма почетную известность. Впоследствии оно

десятки раз издавалось на языке подлинника и в переводах и послужило

основой деятельности многочисленных исследователей буквально во всех

стра­

нах

мира,

стараниями -которых

аксиоматика

Гильберта

многократно

упроща­

лась

и

усовершенствовалась.

Хорошей

иллюстрацией

популярности

пред­

ложенной Гильбертом системы

построения

геометрии может служить, например,

включение

заимствованного

из

книги

[9] списка аксиом в последние

изда­

ния

2-й

части учебника

[37]

(где этот список, впрочем,

никак не связанный

с остальной

частью

книги,

естественно,

«не

работал» и производил

поэтому

довольно

странное

впечатление) или попытка

построения

на базе гильбертовой

аксиоматики школьного

курса

геометрии, предпринятая

авторитетной

группой

американских математиков и педагогов (так называемый «Болл-колледж-проект»

перестройки

школьного курса математики): выпущенный этой

группой весьма

тщательный

по исполнению учебник [52] лучше всего,

кажется, демонстрирует

полную

неприемлемость

гильбертовой аксиоматики

для

средней

школы.

В чем же коренятся причины столь широкого увлечения аксиоматикой

Гильберта?

Прежде всего — в высоких научных и

методических достоинствах

книги

[9];

в частности,

большое значение имело

тщательное

членение всей1

1 Намечаемые работами [8], [9] й [10] пути обоснования (евклидовой) гео­ метрии, разумеется, не являются единственно возможными: так, например, тому же Пиери [14] принадлежит (несколько более поздняя чем работа [8], где, впрочем, уже можно найти соответствующие идеи; ср. также Б . Леви [12]) аксио­ матика геометрии, базирующаяся на единственном неопределяемом понятии «точка» и единственном основном отношении «равноудалены от»; эта аксиома­ тика в последние годы приобрела популярность у специалистов по математи­ ческой логике. (О еще одной системе обоснования .евклидовой геометрии мы скажем ниже.)

597

системы аксиом на ряд

групп,

анализирующих

отдельные категории

свойств

евклидова

пространства.

Очень

большую

роль сыграл также огромный научный

авторитет

автора этой

книги,

бесспорно,

первого

математика своего

времени,

внесшего выдающийся вклад и в алгебру, и в геометрию, и в (математический)

анализ. Наконец, очень существенной была близость основных установок Гиль­ берта к классическим «Началам» Евклида, позволяющая рассматривать книгу

Гильберта как завершение растянувшегося на несколько тысячелетий пути раз­

вития

геометрии: от древних

египтян

и вавилонян — к

«Началам» Евклида и

от

«Начал» — к

«Основаниям

геометрии» Гильберта (именно так, например,

трактует историю оснований

геометрии

известный

математик, педагог и исто­

рик

науки

Х анс

Фрейденталь

[80]).

 

 

 

 

Между

тем,

анализируя

сегодня три первоначально предложенных пути

обоснования геометрии, можно сказать, что наименее

удачным из них был

именно

путь Гильберта:

книга

[9] сыграла выдающуюся роль в формировании

наших

представлений

о

месте

аксиоматического метода в математике и послу­

жила

трамплином для

создания «гильбертова формализма», явившегося одним

из

важнейших

направлений в

области

оснований

(в частности— философских

оснований) математики; однако собственно геометрию она (в определенном

смысле!)

завела ö тупик и здесь

принесла, _ быть

может,

больше вреда, чем

пользы.

Д ля

пояснения

этой точки

зрения нам

придется

более подробно оста­

новиться

на

основных

установках

М. Пиери,

Д .

Гильберта и В . Ф. Кагана.

В чисто м ат ем ат ическом отношении предложенные этими тремя авторами системы аксиом равносильны: приняв за основу любую из них, можно на этой

базе док азат ь все предложения, рассматриваемые как аксиомы в двух других системах. Однако с точки зрения мет одической (и мет одологической) различие

между аксиоматическими системами Пиери, Гильберта и Кагана было довольно

значительным — и эти три системы наметили три основных пути обоснования евклидовой геометрии.

Главное различие между тремя рассматриваемыми аксиоматиками заключа­

лось в путях реализации «метрической» структуры евклидова пространства, отличающей его от лишенного расстояний между точками и углов между прямыми «аффинного» пространства (относительно которого см. [64] или [66]). Д . Гильберт учитывал эту структуру, аксиоматизируя понятие равенст ва (или конгруэнт ност и)

отрезков и углов (причем в число аксиом им вводилась, например, аксиома,

равносильная

аксиоме

С У С

настоящей

 

книги);

М.

Пиери,

вслед

за

своим учителем Дж.

Пеано,

считал

основным

(неопределяемым)

понятием

дви ж ени е, а

В. Ф . Каган исходил из

понятия

 

расст ояни я

между

точками.

 

 

 

Разумеется, эти три подхода приводят к

 

 

 

одному и тому же понятию евклидова про­

 

 

 

странства— ведь

владея

любым

из

этих

по­

 

 

 

нятий, мы можем

о п р е д е л и т ь оба другие

 

 

 

и доказать

все

их

свойства.

Т ак,

например,

 

 

 

исходя

из

понятия

к о н г р у э н т н о с т и

 

 

 

отрезков

мы

можем

определить

дви ж ени е

 

 

 

(или

перем ещ ение)

как

преобразование, кото­

 

 

 

рое переводит любые две точки А *и В в

 

 

 

такие точки А' и В ’, что A B

^

А 'В' (рис. 3);

598

мы можем также определить

на

базе

основного

понятия конгруэнтности отрез­

ков

понятие

длины отрезка

или «расст ояния м еж ду

т очкам и»1.

 

 

 

 

 

 

Аналогично этому, если считать основным понятием

д в и ж е н и е ,

 

то конгру­

энтность

А В д ^ А ' В'

отрезков

определяется

существованием

движения,

пере­

водящего

A B

в

 

А 'В ',

а расст ояние между

точками

возникает

как «инвариант

движений». Наконец,

если исходить из понятия

р а с с т о я н и я

 

(или

д л и н ы

о т р е з к а ) ,

то

 

отношение

А В ^ А ' В '

определяется

условием

 

равенства

длин

отрезков

A B

и А 'В ',

а

движ ение — как

преобразование,

переводящее каждые

две

точки

А

и

В в

такие точки А' и В ',

что А В — А' В'

(см. тот

же

рис. 3).

Таким образом, эквивалентность трех систем обоснования геометрии устана­

вливается без труда; различие же

между ними заключается в том, какое

именно

из трех

понятий:

конгруэнтность — движение — расстояние

 

считается

«самым главным». Само по себе представление о

сравнительной

«важности»

того или иного понятия, разумеется,

не

имеет

никакого

отношения

к

матема­

тической науке; в методологии же

(и

в

методике)

 

математики

оно,

напротив,

заслуживает

серьезного

внимания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

«Конгруэнтность»,

«движение»

и

«расстояние»

в

системе

геометрии

Евклида. Основные установки, которыми руководствовался Д . Гильберт в своих

исследованиях по основаниям геометрии, тесно связаны с

построениями

Евклида; в частности, основополагающая роль понятия

конгруэнтности

(или

равенства) фигур в системе Гильберта имеет своими истоками «Начала» Евклида,

в которых ведь тоже понятие равенства фигур

является «самым

первым» —

.недаром

«типичное доказательство»

по Евклиду всегда сводится к рассмотре­

нию цепочек из пар конгруэнтных

треугольников: «Д A B C

 

 

Д

 

D E F ,

по­

скольку . . . ; следовательно,

l \ U V W

^

Д

X Y Z ,

ибо

... »

и т. д.

Эту

систему

изложения геометрии можно считать «отражением» (в рамках рассматривав­

шихся Евклидом задач) метафизических воззрений Аристотеля. С

точки же

зрения диалектики основной

интерес

для

науки

представляют

 

не

«состояния»,

а п р о ц е с с ы ,

 

— и

отражение этой

диалектики

 

легко

усмотреть

в

трудах

великих

ученых

X V II

века: Декарта и Ферма, Ньютона и Лейбница. И с

этой

точки зрения подход Пеано и Пиери

обладает определенными

преимуществами

перед подходом Д . Гильберта, ибо

он

с

самого

 

начала

вводит

в

 

геометрию

понятие движения, прокладывающее мостик между математикой и физикой (хотя

и имеющее в этих науках

различный

смысл) и являющееся фундаментом весьма

общих теоретико-групповых концепций, по-новому освещающих саму сущность

геометрической

науки

([3)— (4);

см. также [66] и Введения к трем

частям книги

[62]). Понятие

движения тесно

связано

с

так называемой

«группой

симметрии»

фигуры или тела А — совокупностью всех движений, переводящих F в

себя; по­

 

1 Длина A B

отрезка

A B определяется следующими четырьмя «постулатами»:

Д л4.

Каждому

отрезку

A B

отвечает

единственное

 

положительное

число

A B,

Д лг. Если

С — точка

отрезка

A B , то

А С -\ -С В =

АВ\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л3. Если

Ä S ^ A ' B ' , то

A B =

А'В'\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л4. Существует отрезок

ОЕ, такой,

что

OE — 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по поводу того, как из этих постулатов выводится

существование и

единствен­

ность длины

отрезка,

см., например,

[65].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

599

Смотрите также файлы