Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 240

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

—

1°.

s D A B C D

° .

A g g — 5

ß c p ,д

и д

А Вб

Е о

^ D C F Д.

3°-

□ ABCD =

^ a ЙСОЯ +

^ Д О С Д 1.

° S а.

B C D E + S A D C F = ^ a B C F E п

B C F E

— 5

bh, и

B Cо

F E

р □

рг

о е

□ у

B C D Eш » п а

с,

н о

яS Q A B C D ~

= S A A B E + S a B C D E

К§ 3 гл. 12. Основная теорема о пропорциональности

иобратная теорема

А. Теорема 12.1. Основная теорема о пропорциональности.

т,с п ил

k, ач

т -±-оп = к, AD = m ( A B / k ) , D B = n ( A B / k ) . П

691

ство прямых, параллельных В С			и делящих A B		на k	конгруэнтных отрезков.
Из следствия 9.30.1		вытекает, что эти прямые делят				и А С	на	k конгруэнтных
отрезков. Таким	образом:		АВ= *_==ЛС
			АВ= *_==ЛС
			A D ~ ,m	А Е '
Сама форма последнего равенства указывает на ограниченность такого
доказательства:	оно	утверждает, что A B : AD =			А С : А Е, если			оба от нош ения
рац и ональны , т.	е.	в случае	«соизмеримости		отрезков».		Это	доказательство

можно обобщить, чтобы охватить все случаи, но полученное таким путем дока зательство неизбежно будет не простым. По-видимому, использующее площади доказательство теоремы 12.1 является единственным полным доказательством, приемлемым для целей преподавания.

В. Теорем а, обратная основной теореме о пропорциональности.

Обратная теорема легка, и ее доказательство можно предоставить уча щимся. Здесь есть, однако, одна тонкая чисто техническая деталь: в доказа тельстве мы молчаливо предполагаем, что точка'/: лежит м е ж д у точками А' и С . Из чертежа очевидно, что параллельная проекция сохраняет отношение «между», но это следовало бы доказать.

Теорема

параллельной

проекции. П уст ь

две секущ ие (г и

пересе

каю т

т ри

параллельны е прямые

Іъ

и /3 соответственно в т очках

А ,

В, С

и А',

В ', С .

Е сли

точка

леж ит м е ж д у А и

С,

т о

точка

В'

леж ит

м еж ду

А'

и С .

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Так

как

If ||/2, то

А А'

не

может

пересекать

пря

мую /2, потому точки А

и А'

лежат

по одну сторону от прямой

/2. Анало

гично,

поскольку

/3 Л/2,

то

СС' не может пересекать /2, и точки С и С' лежат

по одну сторону

от /2.

Так как

по

условию

точка

лежит м е ж д у

и С,

то А С

пересекает прямую

/2 в

точке

В;

поэтому А и С лежат по разные сто

роны от /2. Поскольку точки

А ' и

лежат

в о д н о й

и той же

полуплос

кости,

определяемой

прямой

/2,

точки

и С

также

лежат в

о д н о й

полу

плоскости,

точки

и С

лежат

р а з н ы х полуплоскостях,

то

точки

А ' и С ' лежат в

р а з н ы х

полуплоскостях, определяемых прямой /2. Поэтому

А 'С

пересекает прямую

некоторой

точке, которой

должна

быть точка В',

так

как В'

есть

точка

пересечения

прямых /2 и

<■->

Таким

образом,

точка

А'С'.

В' лежит между А ' и С'.

Мы

предположили,

что

А ф А '

и С ф С '\

но

наше

рассуждение легко изменить так, чтобы

оно

годилось и для

случаев

А = А '

или

С — С .

Заметим,

что доказанный

только

что результат

теореме

12.2

мы

приме

няем в случае

А — А'.

592

СПИСОК АКСИОМ
А к с и о м а	1 (аксиома расстояния)
Каждой паре различных точек соответствует некоторое опреде
ленное положительное число.
А к с и о м а	2 (аксиома масштабной линейки)
Точкам	прямой можно поставить в соответствие действитель
ные числа	так, что
1°. каждой точке прямой будет соответствовать одно и только
одно действительное число;

2°. каждому действительному числу будет соответствовать одна и только одна точка прямой;

3°. расстояние между любыми двумя точками будет равно абсо лютной величине разности соответствующих чисел.

А к с и о м а 3 (аксиома прикладывания линейки)

Каковы бы ни были две точки Р и Q на произвольной прямой, система координат на этой прямой может быть выбрана так, что


точка	Р	будет иметь		координату нуль, а координата точки Q
будет	положительна.
А к с и о м а			4 (аксиома прямой)
Для		каждых двух		различных точек существует одна и только
одна прямая, содержащая обе эти точки.
А к с и о м а			5		мере три неколли-
a) Каждая плоскость содержит по крайней
неарные точки.					четыре некомпла
B) Пространство содержит по крайней мере
нарные точки.
А к с и о м а			6
Если две Ѵочки какой-либо прямой принадлежат некоторой
плоскости,			то и вся	эта прямая принадлежит той же плоскости.
А к с и о м а			7 (аксиома плоскости)		мере одной пло
Любые три точки				принадлежат по крайней

скости; любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.

А к с и о м а 8 (аксиома пересечения плоскостей)

Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть пря мая.

А к с и о м а 9 (аксиома разбиения плоскости)

Даны прямая и содержащая ее плоскость. Тогда точки этой плоскости, не принадлежащие данной прямой, образуют два таких

множества,	что
1°. каждое из этих множеств выпукло;
2°. если точка Р принадлежит одному из этих множеств, а точка
Q—другому, то отрезок PQ пересекает данную прямую.
А к с и о м а	10

Точки пространства, не принадлежащие данной плоскости, обра зуют два таких множества, что

2 0 Геометрия

593

1°. каждое из этих множеств выпукло; 2°. если точка Р принадлежит одному из этих множеств, а точка

Q— другому,	то отрезок PQ пересекает данную плоскость.
А к с и о м а	11 (аксиома измерения углов)
Каждому	углу £ ВАС соответствует некоторое действительное

число, заключенное между 0 и 180.

А к с и о м а 12 (аксиома построения углов)

Пусть AB — луч, принадлежащий ребру полуплоскости Н. Тогда для каждого действительного числа г, заключенного между 0 и

180, существует ровно один такой луч АР, что точка Р принадле

жит полуплоскости	Я и т £ РАВ — г.
А к с и о м а 13 (аксиома		сложения	углов)
Если точка D	лежит	внутри	угла £ ВАС, то т £ ВАС —

=т £ BAD-\-m £ DAC.

Ак с и о м а 14 (аксиома пополнения)

Если два	угла являются смежными, то они пополнительны.
А к с и о м а	15 (СУС-аксиома)
Каждое СУС-соответствие является конгруэнтностью.
А к с и о м а	16 (УСУ-аксиома)
Каждое УСУ-соответствие является конгруэнтностью.
А к с и о м а	17 (ССС-аксиома)
Каждое ССС-соответствие является конгруэнтностью.
А к с и о м а	18 (аксиома параллельности)

Существует только одна прямая, проходящая через данную точку, не принадлежащую данной прямой, и параллельная данной прямой.

А к с и о м а	19 (аксиома	площади)
Каждой многоугольной области соответствует некоторое опре
деленное положительное		число.
А к с и о м а	20 (аксиома	конгруэнтности)

Если два треугольника конгруэнтны, то определяемые ими треугольные области имеют одну и ту же площадь.


А к с и о м а	21 (аксиома		сложения площадей)
Если область R является объединением двух областей Ri и R2,
причем области Rx		и R2 пересекаются не			более чем		по конеч
ному числу	отрезков	и точек, то		S R — S R^	S	R,.
А к с и о м а	22 (аксиома единицы			площади)
Площадь квадратной области равна квадрату длины ее стороны.-
А к с и о м а	23 (аксиома единицы объема)
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению
площади его основания на высоту.
А к с и о м а	24 (принцип		Кавальери)			каждая	плоскость,
Пусть даны два		тела	и плоскость. Если

параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причем образованные при. пере сечении обоих тел поперечные сечения имеют одну и ту же пло щадь, то эти два тела имеют один и тот же объем.

У594

И. М. Яглом

«МЕТРИЧЕСКИЕ» СИСТЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ И КНИГА МОИЗА-ДАУНСА

В ряде тех задач, которые стоят сегодня перед нашей средней школой, одной из самых трудных является задача перестройки курса геометрии. В самом деле,

основное направление модернизации курса алгебры представляется достаточно ясным: необходимость включения в школьный курс математики разделов,

посвященных понятиям

производной

интеграла,

сегодня, в

70-х

годах X X

века, ни у кого

уже, кажется, не вызывает сомнения; это обстоятельство

опре

деляет и общую

линию перестройки

начальных частей

курса

алгебры,

при

званных обеспечить •интересы

вновь

вводимых тем, связанных с элементами

математического

анализа.

По-иному

обстоит дело с курсом геометрии. Если

неудовлетворительность традиционного

курса Евклида — Киселева — Никитина

признается ныне

чуть

ли

не

всеми

математиками и методистами, участвую

щими в обсуждении предстоящей реформы, то в вопросе

об основах

обновлен

ного курса геометрии нет никакого

единодушия: одни лица предлагают

цели

ком базировать курс геометрии на идее геометрического

преобразования,

доходя до предложения о классификации

геометрических

фактов

не

на основе

последовательного

усложнения изучаемых

объектов,

а на

основе

используемых

в доказательствах

преобразований (ср .,

например,

«планиметрическую»

часть

учебника [3 8 ]1); другие стоят на точке зрения максимальной алгебраизации

и «координатизации»геометрии; третьи настаивают на «последовательно векторной» трактовке геометрии (ср. [77]); многие' считают необходимым повысить роль строгой дедукции в геометрии, положив в основу курса ту или иную (избыточ ную) систему аксиом, достаточную для строго формального обоснования всей


геометрии (ср.		[42]	или [43]),	в то время как	некоторые участники широко
развернувшихся		дискуссий призывают вовсе отказаться от курса геометрии
в	старших классах		средней школы (см., например, [82]). Все это заставляет
с	особым вниманием		отнестись	к зарубежному	опыту, кстати сказать, доста

точно разнообразному и не дающему оснований судить о решительном торжестве

какой-либо одной из		указанных выше основных концепций. Однако йрежде
чем говорить	о разных системах построения школьного курса геометрии и о
месте, ■ какое	занимает	в учебной и методической литературе книга, предлагае
мая ныне вниманию		читателя,	следует сказать	несколько	слов об истории
науки об основаниях геометрии,			без чего некоторые	основные	особенности этой
книги могут оказаться		недостаточно понятными.

1.Три пути обоснования геометрии: М. Пиери, Д . Гильберт, В . Ф . К аган .

Известно, что задача строго аксиоматического обоснования всей геометрии

была впервые поставлена и решена на рубеже X IX и X X столетий; до этого

сама постановка вопроса оставалась здесь глубоко неясной2. Парадоксальным

1	Числа	в	квадратных	скобках отсылают		читателя	к	списку	литературы
на стр. 609 — 613.
2	Отметим		в частности,		что создатели	неевклидовой		системы Лобачев
ского	(Н. И. Лобачевский, Я. Бойаи и К. Ф. Гаусс) совсем,							видимо,	не воспри
нимали свои		исследования		как	аксиоматические (ближе		других к		этой точке
зрения был		Я . Бойаи).

20*

595

Смотрите также файлы

Моррисон Д. Асимметрические органические реакции.pdf

Мукосеев Ю.Л. Электроснабжение промышленных предприятий учебник.pdf

Мухин А.А. Основы эксплуатации машинно-тракторного парка учеб. пособие для сел. проф.-техн. училищ и подготовки рабочих на пр-ве.pdf

Нестандартные устройства производственной связи..pdf

Нехорошев А.В. Новые виды строительных материалов и конструкций в сельском строительстве.pdf

Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно