ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 247
Скачиваний: 0
Теперь мы достигли того пункта, когда нам оказывается необ ходимой следующая
Аксиома 4 (аксиома прямой)
Д л я к а ж д ы х д в у х р а з л и ч н ы х т о ч е к с у щ е с т в у е т о д н а и т о л ь к о
о д н а п р я м а я , с о д е р ж а щ а я обе э т и |
т о ч к и . |
А |
В |
Прямую, содержащую точки А и В, мы будем обозначать
символом AB. Двусторонняя стрелка над буквами А и В должна напоминать принятое нами изображение прямой на чертежах. Это обозначение навевает мысль о том, что для определения пря мой достаточно указать две ее точки А и В, но именно это и утверждает аксиома прямой. Иногда, конечно, проще обозначить прямую одной буквой, например буквой /, или буквой w, или любой другой.
Отрезок —это фигура, выглядящая |
примерно так: |
А |
В |
Более точное описание отрезка дают следующие
Определения
Пусть А и 5 — любые две точки; тогда отрезок AB есть мно жество, состоящее из А, В и из всех точек, лежащих между
А и В. Точки А и В называются концами отрезка AB . Горизонтальная черта сверху в обозначении AB должна напо
минать нам изображение отрезка. Заметим, что отрезок AB и рас стояние AB отличаются очень сильно. На самом деле это совер
шенно разные понятия: AB есть геометрическая фигура, т. е. не которое множество точек, а AB —число, измеряющее расстояние между концами отрезка.
Определение
Число AB называется д л и н о й отрезка AB.
Луч —это фигура, выглядящая примерно так:
аВ
Этот рисунок подразумевает, что луч начинается в точке А, проходит через В и затем неограниченно удаляется вдоль прямой
51
AB or А к В. Обозначая луч, мы всегда рисуем стрелку слева направо, независимо от того, какое направление имеет этот луч. Например, все лучи, изображенные на следующем рисунке, будут
обозначаться одним символом ÄB.
Пояснив таким образом, что представляет собой луч, опреде лим теперь его строго:
Определения
Пусть А и В —точки прямой I. Луч AB есть множество точек, являющееся объединением
1°. отрезка AB;
2°. множества всех точек С, для которых В лежит между А я С.
Точка А называется началом луча AB.
Две упомянутые части луча выглядят примерно так:
А |
|
В |
С |
|
|
Если точка А |
лежит |
на прямой I между В и С, то два луча |
|||
AB и АС «направлены |
в |
противоположные стороны»: |
|||
|
|
АС |
|
~\Г |
AB |
|
С |
|
|
's |
|
|
|
|
А |
В |
|
Определение |
|
|
|
|
|
Если точка |
А |
лежит |
между |
точками В и С, то лучи AS и |
|
АС называются |
противоположными лучами. |
||||
Заметим, что |
пара |
точек Л и В определяет по меньшей мере |
|||
шесть геометрических |
фигур (и одно число). Вот эти шесть фигур: |
||||
Прямая AB: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
В |
52
Отрезок AB:
АВ
Луч AB:
ав
Луч, противоположный лучу AB:
А
Луч ВА:
В
Луч, противоположный лучу ВА:
В
Число, определяемое точками А и В ,—это, разумеется, рас стояние AB.
Задачи к § 6 (часть 2)
1. А, |
В |
и |
С — три |
точки |
некоторой |
прямой, |
координаты |
которых |
соответ |
||||
ственно равны 7, 3 |
и 12. |
Какая из |
этих точек лежит между двумя другими? |
||||||||||
2. Р , Q и |
R |
— три |
точки |
некоторой |
прямой, |
координаты |
которых |
соответ |
|||||
ственно |
равны — 5, — ]Л і |
и — |
12. Какая |
из этих точек |
лежит между |
||||||||
двумя |
другими? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. G, |
I I |
и К — три точки некоторой прямой. Какое из следующих |
утверждений |
||||||||||
может быть |
верным? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a) |
Точка |
Я |
лежит между G и Я , |
иточка Я |
лежит |
между G и Я . |
|
||||||
B ) |
Точка |
Я |
лежит |
между Я |
и G, |
иточка Я |
лежит |
между G и Я . |
- |
||||
c) |
Точка |
G |
лежит |
между |
Я |
и Я , |
иточка Я |
лежит |
между G и II. |
|
|||
d) |
Точка |
Я |
лежит |
между Я |
и G, |
иточка G лежит |
между Я и Я . |
|
|||||
e) |
Точка |
G лежит между Я |
и Я , |
иточка G лежит |
между |
Я и Я . |
|
||||||
4.Даны три точки некоторой прямой. Сколько из них не лежит между двумя другими?
5 * . Три |
точки |
R, S |
и Т |
некоторой |
прямой имеют соответственно координаты а, |
|
b и а-\-Ь, |
причем а > |
0 |
и а > Ь . |
Какая из этих точек лежит между двумя |
||
другими, если а) |
£> > 0; |
в) è < 0; |
с) 6 = 0? |
|||
6. Я , |
Я и К — три |
точки, |
не принадлежащие одной прямой. Сколько прямых |
|||
они |
определяют? |
Назовите эти прямые. |
||||
53
7. D, |
E, |
F |
и |
G — четыре |
точки, никакие три |
из |
которых не лежат на одной |
|||||||||||||||
|
прямой. Сколько прямых они определяют? Назовите эти прямые, |
|
|
|
||||||||||||||||||
8. Р, |
Q |
и R — три |
точки. |
Сколько |
отрезков |
они |
определяют? Назовите эти |
|||||||||||||||
|
отрезки. Сколько |
прямых |
определяют точки |
Р, |
Q и R? |
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. |
а) |
Верно |
ли, |
что |
< -> |
|
>• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А В = В А 1? Почему? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
B ) |
Верно |
ли, |
что А В = ВА? Почему? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. |
c) |
Верно |
ли, |
что |
А В = В А ? |
Почему? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Верно ли, |
что А В = А В ? Почему? Что такое AB? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. |
а) |
Перепишите |
следующий |
абзац, |
снабжая, |
если |
это |
нужно, |
|
каждую |
||||||||||||
|
пару |
букв |
подходящим |
|
значком |
сверху. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
хг |
содержит |
|
точки у |
и ѵ , но хг |
не содержит |
ни у , |
ни г. |
V принадлежит |
|||||||||||||
|
xz, |
но у |
не |
принадлежит |
xz. |
y z + z o = _ y o . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
b) Сделайте |
эскиз, |
показывающий |
относительное |
|
расположение |
четырех |
|||||||||||||||
12. |
точек, о которых шла речь в п. а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Каждая |
из |
точек R, |
S |
и |
Т лежит между двумя |
другими, если |
луч R S |
|||||||||||||||
|
противоположен |
лучу |
RT ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. |
Найдите |
пересечение |
лучей |
CD и DC; прямой CD |
и луча |
DC. |
|
|
|
|||||||||||||
14. |
Пусть А, |
В |
и |
С — три |
точки |
некоторой |
прямой, |
причем АС А- В С — AB . |
||||||||||||||
15. |
Найдите |
пересечение |
лучей |
С В |
и ЙЛ; лучей |
АС |
и А В; |
лучей |
С А |
и СВ . |
||||||||||||
Является ли |
следующее определение корректным определением луча AB: |
|||||||||||||||||||||
|
Л уч |
A B |
есть |
множество |
всех точек D |
прямой A B , |
для |
которых |
утвержде |
|||||||||||||
|
ние: «Л лежит между D и й» не верно? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Из аксиомы прикладывания линейки следует |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Теорема |
2.1 (теорема о нанесении точки) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пусть |
AB —луч |
и х — положительное число. Тогда существует |
|||||||||||||||||||
одна и только одна |
точка Р луча AB, |
такая, |
что АР —х. |
|
||||||||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В силу |
аксиомы |
прикладывания |
линей |
|||||||||||||||||
ки |
мы |
можем выбрать |
систему |
координат |
на |
прямой |
AB |
так, |
||||||||||||||
что координатой точки А будет О, а координатой точки В - неко торое положительное число г:
АВ Р
Пусть Р —точка, координата которой равна данному числу х. Тогда, поскольку х > 0 , точка Р принадлежит лучу ЛВ. Кроме того,
|
|
|
АР = ! х — 0\ — \ х \ —х |
|
||
(по |
определению |
абсолютной |
величины |
при х ; > 0 имеем \х\ = х). |
||
Так |
как только одна точка луча ÄB имеет координату х, то толь |
|||||
ко одна точка этого |
луча находится на |
расстоянии |
х: от А. |
|||
|
х) Напоминаем, |
что |
равенство |
множеств |
(в частности, |
точечных мно |
ж еств-геом етрических фигур) было |
определено |
выше (см. стр. 27). |
||||
54
(Заметим, что это доказательство воспроизводит прием, который мы применили бы, если бы луч был нарисован на бумаге и мы наносили точку Р с помощью линейки: мы совместили бы нуле вую отметку линейки с Л, а затем нанесли бы точку Р, соот ветствующую числу X на шкале.)
Определение
Точка В называется с ере д и н о й отрезка АС, если 1°. В лежит между Л и С; 2°. АВ = ВС.
А |
В |
С |
Теорема 2.2
Каждый отрезок имеет середину и притом только одну.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Точки Л |
и С (концы отрезка) нам из |
||
вестны, |
а ищем мы точку В, |
удовлетворяющую двум условиям: |
||
|
AB + ВС = АС |
и |
AB = ВС. |
|
Из этих |
двух соотношений |
следует, |
что |
|
АС
ЛВ = 2 •
Но в силу теоремы 2.1 на луче АС существует ровно одна точ- ■
ка В, удаленная от Л на расстояние ЛС/2. Поэтому отрезок АС имеет ровно одну середину.
Определение
|
Говорят, |
что середина |
отрезка |
д е л и т |
этот отрезок |
по |
|||||||
|
пол ам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задачи |
к § 6 |
(часть |
3-я) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
T V __________________1 |
|
|
|||
1. |
Пусть |
S, |
Т |
и |
І^ — различные |
точки |
луча |
S T . Может ли иметь |
место |
равен |
|||
|
ство S T = |
S V ? |
Почему? |
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Пусть |
Р — точка некоторой |
прямой |
и |
« — положительное число. Сколько |
||||||||
|
точек |
этой |
прямой удалено |
на расстояние п от Р? На какие |
определения |
||||||||
|
или |
теоремы опирается |
ваш |
ответ? |
|
|
|
|
|
||||
3. |
А, |
В |
и С — три точки |
некоторой прямой. Координата точки |
А равна 0, а |
||||||||
|
координата |
точки С равна — 6. Какую |
координату |
имеет середина В отрез |
|||||||||
|
ка ДС? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
65
