Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 261

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Аксиома 13 (аксиома сложения углов).

П р е д п о л о ж е н и е .	Точка D лежит внутри ВАС-
З а к л ю ч е н и е , т	ВАС — т /_ BAD -\-т /_ DAC.

В некоторых случаях форма «предположение —заключение» неестественна или бесполезна. Например, если мы захотим ска зать, что пространство содержит четыре некомпланарные точки, то запись

П р е д п о л о ж е н и е .	5 есть пространство.
З а к л ю ч е н и е . S	содержит четыре некомпланарные точки

не имеет никаких преимуществ перед более простой формули ровкой нашего утверждения, с которой мы начинали.

Конечно, вовсе не обязательно, чтобы все теоремы формулиро вались в форме «предположение—заключение». Независимо от формы, в которой записана теорема, должно быть ясно, что дано и что требуется доказать. По большей части, однако, мы должны быть в состоянии, если захотим, сформулировать теорему в форме «предположение —заключение», так как если мы этого сделать не сможем, то есть основания думать, что мы недостаточно ясно по нимаем содержание теоремы.

Задачи к § 5

1.Выделите предположение и заключение для каждого из следующих ут верждений:

a)	Если	два	угла		дополнительны, то каждый	из	ни х—-острый,
B )	Если	а =	b	и b — с, то а — с.
c)	Если	а ~ Ь ,		то	а + с = й + с.
d)	Если	два	угла		одновременно конгруэнтны	и пополнительны, то каждый
	из них является прямым.
e)	Если	измерения			прямоугольника равны а	и Ь,	то его площадь равна ab.

{) Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть прямая.

2. Запишите каждое из следующих утверждений как утверждение вида «Е сл и ..., то

a) Дополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.

B ) Площадь треугольника с высотой а и основанием Ь равна ~ ab.

c)Пересечение двух плоскостей есть прямая.

d)Три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.

e) Д ва смежных угла являются пополнительными.

§ 6. ЗАПИСЬ ПРОСТЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Очень скоро аккуратная запись найденных вами доказательств составит довольно большую часть всей работы над задачами. По этому стоит еще немного попрактиковаться в записи легких дока

106

зательств до того, как в следующей главе мы займемся более

трудными. Вероятно,			лучший способ показать, как должны выгля
деть	ваши доказательства, — привести еще			несколько примеров.
П р и м е р		1.
Да но . Д Л 5 С и Д Л В Д				c
(как	на	рисунке),	причем

Z D A B ^ £ DBA и Z CADg^ Z CBD.

Т р е б у е т с я доказать .

ZC AB QÉ Z CBA.

До к а з а т е л ь с т в о

	Утверждения			Аргументы
1.	т z D A B — m Z D B A .			Дано.
2. т Z C A D — m Z C B D .				Дано.
3.	rn.Z D A B + m Z CAD =			Правило сложения	равенств,
	— m L		DBA -\ - m z	CBD.
4.	m z C A B = m	Z	CB A .	Аксиома сложения	углов.
5.	Z C A ß ^	Z CB A .		Определение конгруэнтности углов.

П р и м е р	2.
Да но .	Точки Л, В, С	м	к
и D (как на рисунке), при

чем AD —CB.

Тр е б у е т с я д о к а з а т ь . AC —DB.

До к а з а т е л ь с т в о

	Утверждения
1.	AC + CD = AD.
2.	CD + D B =	CB.
3.	AD = CB .
4.	A C + CD =	CD + DB.
5.	A C — DB .

Аргументы

Определение понятия «между». Определение понятия «между». Дано.

Сопоставление равенств шагов 1, 2, 3. Правила вычитания равенств.

107

П р и м е р 3.

Д а н о . Лучи AB, АС и AD, причем точка С лежит внутри

L BAD и т Д BACA-tn Д CAD = 90.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь. AB_l_AD.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Утверждения Аргументы

1. т Z ßAC + m Z CAD — 90.	Дано.
2. т Z ВАС-\-т Z CAD =	Аксиома сложения углов.
= m Z BAD.

3.m Z BAD = 90.

4.Z BAD — прямой угол.

5.Aß 1 AD.

Сопоставление шагов 1 и 2. Определение прямого угла.

Определение перпендикулярных лу чей.

Задачи к § 6

1. Перепишите все нижеследующее и дополните доказательство. Д а н о , т Z А =38 и m Z ß = 52.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь .		Z Л дополнителен Z ß.
Д о к а з а т е л ь с т в о
	Утверждения	Аргументы
1.	т Z А = ...	Дано.
2.	m z В — ...

3. /и z A +m z ß = ...

4.Z А дополнителен Z ß.

2.Перепишите и проведите доказа тельство.

Да н о . Рисунок, где PQ = RS.

Тр е б у е т с я д о к а з а т ь . PR =

=QS.

108

3. Перепишите и проведите доказательство.		С
Дано. Рисунок, где гп а С А В —ш	L С В А
и т L DAB = m Z. DBA.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь , m z	CAD =

= m Z CBD.

4.Перепишите и дополните доказательство.

Да но . Рисунок, где L PMN ^ Z PNM.
Т р е б у е т с я		д о к а з а т ь .	/. CMP s
^ L DNP.
				С	М	N	О
Д о к а з а т е л ь с т в о
	Утверждения					Аргументы
1.	Z СМР пополнителен		L PMN.	Смежные углы пополнительны.
2.	Z DNP ...			Дано.
3. ...				Дано.
4.	Z СМР ^	L DNP.

5. Перепишите и проведите доказательство.

Да н о . Рисунок, где L DBC =	L ЕСВ.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь ,	z АВС — z АСВ.6

6. Перепишите и приведите аргументы.

Да н о .	Прямые AB, CD и EF пересекаются в
точке К',	а — с.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . Ь — с.

109

Д о к а з а т е л ь с т в о

Утверждения Аргументы

1.	Прямые ~Аѣ	и е Р пересекаются в точке К.
2.	L А К Е и L	В K F —вертикальные углы.
3.	L А Ң Е ^ L B K F .
4.	а = Ь.

5.а — с.

6.Ь — с.

7.Перепишите и проведите доказательство.

Да н о . Рисунок,	где L А В С с н	/. AC B .
Т р е б у е т с я	д о к а з а т ь .	z D B F ^

^L ECG.

8.Перепишите и докажите.

Да н о . AD i	FB и L ВАС ^	Z DAE.
Т р е б у е т с я	д о к а з а т ь .	L DAC
^ F A E .

Вопросы и задачи для повторения

В задачах 1 —15 дополните каждое из приведенных утверждений.

1.Каждому углу соответствует некоторое действительное число, заключенное между ... и .... называемое мерой этого угла.

2.Инструмент, используемый для измерения углов, называется __

3.Если сумма мер двух углов равна 90, то каждый из этих углов назы вается ... другого.

4.Угол, мера которого меньше 90, называется ....

5.Угол, мера которого больше 90, называется ....

6.Два угла, образованные объединением двух противоположных лучей и неко торого третьего луча, имеющего то же начало, называются ....

7.Углы, имеющие равные меры, называются ... углами.

ПО

8.Каждый из двух дополнительных углов должен быть . . . .

9.Если два угла конгруэнтны, то их пополнения __

10.Каждый из двух одновременно конгруэнтных и пополнительных углов должен быть__

11.Каждый треугольник имеет ... стороны и ... угла; ему принадлежат ...

треугольника, но не принадлежат ... треугольника.

12.Сумма мер двух дополнительных углов равна ..., а сумма мер двух пополнительных углов равна __

13.Сумма мер двух ... углов всегда меньше, чем 180, а сумма мер двух ...

углов всегда меньше, чем ....

14.Если стороны двух углов являются противоположными лучами, то эти углы называются __

15. Точка М		лежит внутри		L GHK, если точки М	и ... лежат по одну сто
	рону от Н К	и если точки М и ... лежат по одну сторону о т __
Задачи 16— 25 относятся к				следующему рисунку.	(На этом рисунке точки,
которые кажутся коллинеарными, и на самом деле коллинеарны.)
16.	Сколько на этом рисунке треугольников?
17.	Верно ли,	что от Z B F C — rn Z BED?
18.	Верно ли,	что	/_ B F C — L BFD ?
19.	Верно ли,	что	/. FDB	L ËDC?