Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 287

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3.Никакие три луча на правом рисунке не компланарны. Сколько плоскостей эти лучи определяют? Обозначьте каждую плоскость ее определяющими точками.

4.Какие аксиомы или теоремы, сформулированные в § 3, устанавливают един ственность точки, существование которой установить нельзя?

5.Как указано на рисунке, точки А и В лежат в плоскости £ , а точка Р — выше

нее. Какие аксиомы или теоремы утверж-

дают, что прямая A B содержится в £ ? На рисунке неявно присутствует вторая плоскость. Назовите ее.

Каково ее пересечение с £ ? Если некоторая четвертая точка Q лежит ниже плоскости £ и не коллинеарна ни с £ и Л, ни с Р и В, то какие плоскости при этом определяются? Сделайте чертеж.

6. Объясните, как употребляется выражение «один и только один»,

7. Допустим, что вы хотите доказать, что в плоскости существует не более одной прямой, перпендикулярной данной прямой в данной точке. Вы будете доказывать существование или единственность? Если бы вы стали прово дить доказательство от противного, то какое допущение вы бы сделали

вначале своего рассуждения?

§4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ

Спомощью линейки и транспортира легко восставить перпен дикуляр к данной прямой в данной ее точке: просто нужно, как

на этом рисунке, отложить угол в 90° с вершиной в данной точке

Р так, чтобы одна сторона РХ						это		\у	Н
го угла	принадлежала			данной		пря
мой /, а другая — одной					из полупло				і
скостей,	определяемых				прямой	I.	р '		Я
Перпендикуляр		должен		быть единст

венным,	потому	что на транспортире						!
существует только одна				пометка		90°.		*
Теперь мы		опишем		эту ситуацию			в виде некоторой теоремы,
которую затем и докажем на основании наших аксиом.
Теорема 6.1
В данной плоскости существует одна и только								одна	прямая,
перпендикулярная к данной прямой в данной ее точке.
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Пусть Е — некоторая плоскость,
I —прямая в плоскости Е					и Р — точка прямой I. Тогда
1°. в	плоскости		Е	с у щ е с т в у е т			прямая т,	содержащая Р
и перпендикулярная			прямой I;
2°. такая прямая т е д и н с т в е н н а .
Д о к а з а т е л ь с т в о .					1°. Пусть Я —одна из двух полуплос

костей, содержащихся в Е и определяемых прямой /, а X — произ вольная точка прямой /, отличная от Р (см. рисунок выше). В силу

179

аксиомы построения		углов	существует луч PY, где точка У при
надлежит	Я, такой,	что	т / _ У Р Х —90. Пусть т = РУ. Тогда
т _]_ / и т	пересекает I в точке Р.

2°. Допустим теперь, что две	прямые тг и т2 перпендику
лярны прямой I и пересекают ее	в точке Р.	Мы покажем, что
тг —/Па-
Прямые т1 и т2 содержат лучи	РУг и РУ2,	где точки Уг	и
У2 принадлежат Я. По определению перпендикулярных прямых			и

по теореме 4.8 оба угла: /_ УхРХ и /_ У2РХ — являются прямыми, как указано на нашем рисунке. В силу аксиомы построения углов

это означает,		что РУг и РУ2—один и тот же луч. Так как пря
мые тх и т2 имеют				больше чем одну	общую точку, то они не
могут быть различными. Следовательно,					m1 = m2.
Заметим,		что при доказательстве е д и н с т в е н н о с т и перпен
дикуляра	к	прямой	I	в точке Р мы должны были ограничиться
данной плоскостью.			В	пространстве к каждой прямой в каждой
ее точке	можно восставить бесконечное				множество перпендикуля

ров; так, все спицы велосипедного колеса перпендикулярны его оси. Пометки на следующем рисунке указывают, что прямая I явля


ется медиатрисой отрезка			AB.
Определение							^
М е д и а т р и с о й		отрезка		в данной
плоскости	называется прямая,			принад			-]
лежащая	этой плоскости,		перпендику-		*	!	-]	*	*
лярная данному отрезку и проходящая					*	!	Q	*	*
через его середину.
Каждый отрезок		AB имеет		одну и	только		одну середину		С,

а через С проходит одна и только одна прямая, перпендикуляр

ная прямой AB. Следовательно, медиатриса отрезка	существует
и единственна.	иначе:
Следующая теорема описывает медиатрису отрезка	иначе:

180

Теорема 6.2 (теорема о медиатрисе)

Медиатриса данного отрезка в данной плоскости есть множе ство всех точек этой плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а .

Пусть I — медиатриса отрезка AB в плоскости Е. Тогда:

1°. Если точка Р принадлежит I, то РА — РВ.

2°. Если РА = РВ, то точка Р принадлежит I.

Эта теорема доставляет нам пример так называемого характери стического признака математического понятия. Чтобы охарактеризо вать некоторое множество точек, мы устанавливаем условие, которому

1°. удовлетворяют все точки данного множества;

2°. не удовлетворяют никакие другие точки.

В нашем случае рассматриваемое множество точек является


медиатрисой		отрезка		AB, а наше условие				состоит в	том, ( чтобы
РА = РВ. Поэтому вторая						формулировка		теоремы,	естественно,
распадается		на две части, и это же относится к доказательству.
Д о к а з а т е л ь с т в о .						1°. Пусть	С —
середина	отрезка		A B - и		Р — произвольная
точка прямой I. Если				Р = С, то, очевидно,
РА = РВ. Допустим теперь, что Р не сов
падает с С, так что Р не принадлежит AB.
Тогда PC — PC в силу тождественной							кон
груэнтности;		далее,			Д PCА ^ Д РСВ,
поскольку		оба	эти		угла —прямые, и
СА = СВ,	так как С—середина AB. На								РА ■ РВ.
основании		CYC	A P C A O ä /\Р С В .				Следовательно,
2°. Дано, что точка Р принадлежит плоскости Е и что РА РВ.
Если Р принадлежит AB,						то Р —С,
так как отрезок AB имеет только одну
середину.	Если		Р	не	принадлежит
AB, то	/' г- прямая			PC,		PC —PC,
С А = С В и		РА = РВ. (Почему?) На
основании ССС, как и прежде, имеем
	Д PCА		Д РСВ.

181

Поэтому согласно определению /_ PCD является прямым и, зна

чит, l'J_ÄB в точке С. Но по теореме 6.1 перпендикуляр един ствен, следовательно, /' = /. Таким образом, точка Р принадлежит /, что и требовалось доказать.

Следствие 6.2.1

Даны отрезок AB и прямая I, принадлежащие одной плоскости. Если каждая из каких-либо двух точек прямой I равноудалена

от А и В, то I является медиатрисой отрезка AB.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы 6.2 прямая I содержит

две точки медиатрисы отрезка AB. Так как две точки определяют прямую, это означает, что прямая I является медиатрисой отрезка

ÄB .

Мы нашли, что при построении перпендикуляра к данной пря мой, проходящего через точку, принадлежащую этой прямой, ника кой проблемы не возникает: нужно только отложить угол в 90°. Если точка не принадлежит данной прямой, іо построение стано вится уже не совсем тривиальным.

Пусть даны прямая I и точка Р, не принадлежащая I. Мы хотим построить прямую, проходящую через Р и перпендикуляр ную I. (Разумеется, мы действуем в некоторой плоскости Е, содер жащей I и Р.)

Пусть Q и R —любые две точки прямой I. Чтобы построить перпендикуляр, сначала мы проведем луч QP и измерим /_ POR.

Затем мы проведем луч QS, где точка S лежит по противополож ную сторону от / по отношению к точке Р, как указано на ри сунке, и такова, что

A S Q R Q É APQR.

(Какая аксиома это позволяет?) Затем мы нанесем на луч Q3

точку Т, для		которой TQ — PQ. Тогда отрезок ТР пересечет пря
мую I в некоторой точке U. (Почему?) Теперь QU = QU,					Д PQU ^
= L TQU	и	TQ — PQ.	Следовательно, в	силу CYC	/\PQUQä
= /\T Q U	и	L P V Q и	l_ TUQ являются	прямыми. Таким обра-

182

гом, f P J_ l,	и мы построили перпендикуляр к	/, проходящий че
рез точку Р.
Опираясь	на это рассуждение, вы должны	суметь дополнить

доказательство следующей теоремы, которое мы запишем в два столбца.

Теорема 6 .3

Существует по к р а й н е й ме ре од на прямая, перпендику лярная данной прямой и проходящая через данную точку, не при надлежащую этой прямой.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Пусть I —прямая и Р~точка, не принадлежащая I. Тогда существует прямая, перпендикуляр ная I и содержащая Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о

		•Утверждения
1. Прямая 1 содержит две точки Q и R
2.	Существует такой луч QS, где S
	и Р лежат по противоположные
	стороны от/, что Z S Q R ^ Z . PQR.
3	На	луче QS существует такая точ-
	ка	Т, что TQ = PQ.

4.Точки Т и Р лежат по противоположные стороны от 1.

5.	Отрезок Т Р пересекает прямую /
6.	в	некоторой точке U.
	A P Q U ^ A T Q U
7.	/	PUQ — прямой угол.
8.	P U 1 /.