Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

§1. КАК СТРОИТСЯ ДЕДУКТИВНАЯ СИСТЕМА

Вгл. 1 мы пытались в общих чертах объяснить, как должен строиться курс геометрии. Приобретенный вами за это время опыт ставит вас в намного более выгодное положение, позволя­ ющее лучше понять эти объяснения.

Идея множества, методы алгебры и процесс логического рас­

стояния.) В других случаях определения базировались т о л ь к о на неопределяемых терминах. (Например, точки некоторого мно­ жества коллинеарны, если все они принадлежат одной прямой.) Но каждый раз мы вводили наши определения с помощью лишь

И фактически растянутость этого списка является одной из главных причин, заставлявших нас с самого начала заботиться, чтобы не произошло путаницы и все было в порядке.

Точно так же все относящиеся к геометрии утверждения, которые мы делаем, в конечном счете основаны на аксиомах. Иногда мы выводили теоремы непосредственно из аксиом, а ино­ гда наши доказательства опирались на теоремы, которые уже были доказаны. Но в каждом случае цепь рассуждений могла быть прослежена до аксиом.

Было бы неплохо, если бы вы, учитывая все это, перечитали вторую половину гл. 1. Теперь она покажется вам намного бо­ лее ясной, чем в первый раз. Гораздо легче оглянуться назад и понять, чего вы уже успели достичь, чем понимать объяснение того, что вы только собираетесь делать.

§2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОТ ПРОТИВНОГО

Вгл. 1 мы отметили, что лучший способ научиться логиче­ ским рассуждениям—провести некоторые из них. Вообще говоря, это правильно. Но существует один тип доказательств, который требует особого обсуждения. Для теоремы 3.1 мы предложили так называемое доказательство от противного. Вот эта теорема и ее доказательство:

Теорема 3.1

Если две различные прямые пересекаются, то их пересечение содержит одну и только одну точку.

171

Возможно, вы уже встречались с такого рода рассуждениями.

в обычных разговорах. Оба следующих замечания служат примерами доказательств от противного.

«Футбольного матча сегодня не будет.

Если бы сегодня предстоял матч, то стадион к этому времени был бы уже полон народа, но, кроме нас с тобой, здесь никого нет».

В каждом из этих случаев говорящий хочет показать, что

входящие в дом, должны быть мокрыми, а это противоречит тому известному говорящему факту, что эти люди — сухие. Аналогично, во втором случае говорящий начинает с допущения, что футболь­

противоположность этому евклидовское доказательство иррациональности У 2, основанное на анализе процесса измерения диагонали квадрата со стороной 1, являлось «прямым» доказательством. — Прим . ред.

172

точках. Оно противоречит аксиоме прямой. Следовательно, допу­ щение было ошибочным, а это значит, что теорема верна.

Очень часто наши доказательства от противного в геометрии будут столь же короткими и простыми, как это. Они будут всего лишь сводиться к каким-нибудь соображениям, основанным на здравом смысле. Но такие соображения, основанные' на здравом смысле, составляют часть азбуки математических рассуждений, и без них было бы трудно обойтись.

Задачи к § 2

1. Для того чтобы проиллюстрировать процесс логического рассуждения, при­ мите каждое из следующих предположений, а затем логически закончите каж ­ дое заключение.

За к л ю ч е н и е . Джек ...

d)П р е д п о л о ж е н и е . В любом равнобедренном треугольнике углы при

основании конгруэнтны. В Д Л В С выполняется равенство АС = ВС.

З а к л ю ч е н и е . ...

2.Какие из следующих высказываний служат примерами рассуждения от противного?

a)Температура воздуха на улице должна быть ниже 0° С. Если бы она не была ниже 0° С, то окна не замерзли бы. Но они замерзли. Следова­

тельно, температура воздуха ниже 0° С.

c) Концерт должен был уже окончиться. Много людей покидают концерт­ ный зал лишь после окончания концерта. Но я вижу, что сейчас из зала выходит много людей. Следовательно, концерт окончился.

3.Сейчас больше четырех часов дня. Если бы это было не так, то я слышал бы шум работающих строителей. Я же никакого шума не слышу. В этом при­ мере доказательства от противного выделите:

a) утверждение, которое требуется доказать; B ) сделанное допущение;

c)заключение, вытекающее из этого допущения;

d)известный факт, противоречащий с).

4.Миссис Адамс купила набор кухонной посуды, разрекламированной как изделия из нержавеющей стали. После того как она им пользовалась не­ сколько недель, она обнаружила, что некоторые кастрюли начали ржаветь. Тогда она решила, что этот набор был не из нержавеющей стали, и вернула

его, чтобы получить деньги обратно. Проделайте то же, что и в задаче 3.

5. Докажите, что биссектриса угла разностороннего треугольника не может быть перпендикулярна противоположной стороне.

6.Докажите, что никакие два угла разностороннего треугольника не кон­ груэнтны.

173