Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

7+ . Какие заключения можете вы вывести из следующего предположения, в ко­ тором буквы р, q и г заменяют различные утверждения:

b)М желтое. Можно ли вывести отсюда какое-либо заключение относитель­ но К? Если да, то какое?

c)J не синее. Можно ли вывести отсюда какое-либо заключение относитель­ но К? Если да, то какое?

10+ . Какое заключение вытекает из следующих данных:

c)Не членам клуба пловцов не разрешается носить в клубном бассейне полосатые плавки.

§ 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЯМЫХ и плоскостях

Теперь довольно легко доказать остальные теоремы гл. 3. Для удобства сначала мы вновь сформулируем аксиомы, на которые опираются доказательства этих теорем.

Аксиома 4 (аксиома прямой)

Для каждых двух точек существует одна и только одна прямая, содержащая обе эти точки.

Аксиома 5

a) Каждая плоскость содержит по крайней мере три неколлинеарные точки.

B) Пространство содержит по крайней мере четыре неком­ планарные точки.

174

Аксиома 6

Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой плоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости.

Аксиома 7 (аксиома плоскости)

Любые три точки принадлежат по крайней мере одной пло­ скости, и любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.

Теперь мы докажем следующую теорему.

Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее плоскость, то их пересечение содержит только одну точку.

Конечно, иллюстрирующий это доказательство рисунок выгля­ дит довольно странно. Мы изобразили точку Q только для того, чтобы напомнить обозначения, принятые в доказательстве. Само доказательство показывает, что такой точки быть не может. Со­ провождающие доказательства от противного рисунки всегда будут казаться нелепыми по той простой причине, что они передают

175

невозможные ситуации. Если бы мы попытались графически про­ иллюстрировать доказательство теоремы 3.1, то полученный ри­ сунок выглядел бы даже еще хуже. (Этот' рисунок изображал бы

Теорема 3.3

Если даны прямая и не при­ надлежащая ей точка, то суще­ ствует одна и только одна плос­

кость, содержащая эту прямую и эту точку.

Итак, мы имеем две различные плоскости Е и Е', содержащие неколлинеарные точки Р, Q и R, что противоречит аксиоме 7.

Заметим, что эта теорема и ее доказательство естественно рас­ падаются на две части. Тем самым иллюстрируется различие между существованием и единственностью. Первая часть доказа­ тельства устанавливает существование плоскости Е, содержащей Р и I. Вторая часть устанавливает единственность плоскости, со­ держащей Р и I. Когда мы доказываем существование, мы устана­ вливаем, что имеется не менее одного объекта определенного вида. Когда мы доказываем единственность, мы устанавливаем, что имеется не более одного такого объекта. Если случится, что мы

сумеем доказать и то и другое, то мы будем знать, что суще­ ствует ровно один такой объект.

- 1 7 6

Однако существование и единственность вовсе не всегда, при любых обстоятельствах, сопутствуют друг другу. Во многих слу­

ственность. (В самом деле: счастлив пес, в шерсти которого живет

Но такая пара целых чисел не единственна, потому что, кроме того,

у_ 2р_____ Зр

~3q

ит. д. Для старшей дочери встреченной нами женщины мы, оче­ видно, смело можем утверждать ее единственность, но вовсе не обязательно существование: в некоторых семьях вовсе нет детей или все дети— мальчики. Для общих точек двух различных от­ резков не обязано иметь места ни существование, ни единствен­

Чтобы подчеркнуть двойное значение выражения «ровно один», это выражение часто заменяют словами: «один и только один».

Следующая наша теорема распадается на две части совершенно таким же образом, как и теорема 3.3.

Теорема 3.4

Если даны две пересекающиеся пря­ мые, то существует одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

17 7

Заметим, что доказательство 2° дает вам образец записи в два столбца доказательств от противного. Строго говоря, фраза «На­ чало доказательства от противного» не является «аргументом»; она только объясняет, что мы имели в виду, записывая шаг 5.

Задачи к § 3

1.Какую теорему можно сформулировать таким образом: «Две пересекающиеся прямые определяют плоскость»?

2.Если не все три прямые на левом рисунке компланарны, то сколько плос­ костей они определяют? Перечислите все эти плоскости, назвав прямые, определяющие каждую из них.

178