Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 289

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

нечто, если бы это случилось, то нам далее нечего было бы доказывать, потому что мы уже имели бы искомый перпендику­

ляр, а именно, прямую PQ.

Таким образом, перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку, не принадлежащую этой прямой, существует. Те­

перь мы покажем,

что этот перпендикуляр —единствен.

Теорема 6 .4

 

 

Существует не

б ол ее

о д н о й прямой, перпендикулярной

данной прямой и проходящей

через данную точку, не принадле­

жащую этой прямой.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и большинство доказательств единст­ венности, это доказательство является доказательством от против­ ного. Допустим, что Іх и /2—две различные прямые, проходящие через Р и перпендикулярные I. Пусть А и В —точки, в которых прямые Іх и /2 пересекают I, а Q—точка луча, противоположного

лучу АР, причем такая,

что

AQ = АР.

(Она существует по те­

ореме о нанесении точки.)

На

основании

СУС имеем

& P A B C^ & Q A B .

(Наш рисунок создает впечатление, что это не так, но вспомните, что рисунок изображает н е в о з м о ж н у ю ситуацию; ведь наша задача как раз и состоит в доказательстве невозможности этой ситуации.)

Следовательно, /_ РВА ^ /_ QBA, так как это соответствую­

щие углы. Поэтому BQ±_l в точке В. Таким образом, сущест- <■^

вуют две прямые, U и BQ, перпендикулярные прямой / в точке В. Но это противоречит теореме 6.1, утверждающей, что в данной плоскости существует только одна прямая, перпендикулярная данной прямой в данной ее точке. Итак, наше допущение о том, что существуют два перпендикуляра к /, проходящие через точку В, было ошибочно.

184

Следствие 6.4.1

 

 

 

Ни один треугольник

не

может иметь два

С

прямых угла.

Если бы оба угла:

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

/_ А и /_ В —в Д Л Б С были

прямыми, то наш­

 

лись бы два перпендикуляра к прямой AB, про­ ходящие через точку С. Но в силу теоремы 6.4 это невозможно.

Определение

 

П р я м о у г о л ь н ы м т р е у г о л ь н и к о м

называется тре­

угольник, один из углов которого является

прямым. Сторона,

противоположная прямому углу, называется

г и п о т е н у з о й ,

а стороны, смежные с прямым углом, называются к а т е т а м и .

Разумеется, только предыдущая теорема дает нам право го­ ворить о прямом угле (іединственномI) прямоугольного треуголь­

ника.

 

 

Задачи к

§ 4

 

1. Пусть в

плоскости М точка А принадлежит прямой I и, кроме того, А Т _

IL

---ь

< ->

 

и AQ _L I. Какое заключение можете вы тогда сделать относительно AQ и

А Т і Почему?

2.Какая теорема утверждает, что вершина угла, противоположного основанию

равнобедренного треугольника, принадлежит медиатрисе этого основания?

3.Прямая I на этом рисунке является медиатрисой отрезка ÄB. Длины отрезков указаны на рисунке. Найдите х, у, г.4

4 Докажите, что

если

D — середина

отрезка

ВС

В

и AD ± ВС,

то

Д А ВС — равнобедренный

тре­

 

угольник. В

своем

доказательстве

не пользуй­

 

тесь конгруэнтными треугольниками.

5. На

этом рисунке GE = K E ,

GM = К М и

точка

Н

принадлежит ЕМ. Докажите, что GH =

КН,

не

пользуясь конгруэнтными

треугольниками.

К

6. Прямая / является медиатрисой отрезка QT. Точка Р лежит по ту же сто­

 

рону от I , что и Q. Отрезок

Р Т пересекает прямую I в точке R . Докажите,

 

что

P T =

PR-\-RQ.

 

 

 

 

 

 

 

7.

а)

Сколько

существует

на

плоскости

перпендикуляров

к

данной

прямой

 

 

в данной

ее

точке?

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь) Сколько

существует

в пространстве

перпендикуляров

к

данной

прямой

 

 

в данной

ее

точке?

 

 

 

 

 

 

 

8.

Скопируйте

этот рисунок. С помощью

линейки

D

 

С

 

и

транспортира

постройте

перпендикуляры

к

 

 

 

 

 

 

 

<!

■>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямой D B , проходящие через Л и С. Постройте

 

 

 

 

перпендикуляр к прямой 15с, проходящий

че­

 

 

 

 

рез В, и перпендикуляр к прямой ВС, проходя­

 

 

 

 

щий через А.

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Какая теорема позволяет сказать:

 

 

 

 

 

 

 

«Пусть

Л — точка,

принадлежащая перпендикуляру к данной прямой I,

 

проходящему через данную точку В, не лежащуіО на /»?

 

 

 

10.

а)

Если

Z

R — прямой

угол в Д POR, то сто­

 

 

 

 

 

рона

PQ называется

.... а стороны RQ и R P

 

 

 

 

 

называются . . . .

 

 

 

 

 

 

 

Ь) Если Z С — прямой угол в Д АВС, то гипо­ тенузой является сторона . . . , а катетами — стороны ... и ... .

11. Докажите, что если медиана, делящая пополам гипотенузу прямоугольного треугольника, перпендикулярна гипотенузе, то этот прямоугольный треуголь­ ник — равнобедренный.

12*. Дан А А ВС , у которого АС = ВС. Биссектрисы углов при основании (Z Л <г—^

и Z ß ) пересекаются в точке F. Докажите, что прямая CF перпендикулярна

основанию AB. (В доказательстве нужно рассмотреть некоторые конгруэнт­ ные треугольники.)

186

13*. Одна

из диагоналей четырехугольника делит пополам два угла этого че­

тырехугольника. Докажите, что

она делит пополам и другую диагональ.

14*. Точки

А,

В и С

лежат

в

плоскости Е.

р

Точки Р и Q лежат по

противоположные

 

стороны

от Е. Дано,

что P B — QB,

что Л —

 

середина отрезка PQ и что

Z Р

В С

Z. QBC.

 

Докажите,

что PQ _| АС.

 

 

 

 

§ 5. ВВЕДЕНИЕ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ.

УПОТРЕБЛЕНИЕ СЛОВА «ПУСТЬ»

Вероятно, вы уже заметили, что в некоторых наших доказа­ тельствах мы вводили в рассмотрение точки и прямые, в форму­ лировке теоремы не фигурирующие. Вспомним, например, то место в § 4, где мы хотели доказать, что всегда существует перпенди­ куляр к данной прямой, проходящей через данную точку, не при­ надлежащую этой прямой.

Здесь

заданы были только

прямая / и точка Р, но для по-

строения

<—>

__

перпендикуляра ТР

мы ввели точки Q и R, лучи QP

иQS и точку Т.

Вкаждом шаге записи доказательства этой теоремы (теоремы

3.6) в два столбца в левом столбце утверждается, что действительно существуют точки и лучи, обладающие нужными свойствами. И если вы заполнили правый столбец правильно, то в каждом шаге вы сделали ссылку на аксиомы (или, быть может, на теоремы), оправды­ вающие соответствующее утверждение.

Однако по большей части аргументы в таких случаях очень просты. И, записывая пункты доказательства, часто мы пользуемся

187

Смотрите также файлы