ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 292
Скачиваний: 0
Сначала рассмотрим случай УСУ. Пусть дано УСУ-соответствие
ABC++DEF,
как указано на рисунке, так что
1. АС = DF\
.L CC^ L F .
Нам нужно доказать, что Д АВС Д DEF.
Д о к а з а т е л ь с т в о
У тверж дения
2. |
Л уч |
A B содержит |
такую точ |
|
|
ку В', что |
A B ' = DE . |
||
3. |
A B ' C * - + D E F есть |
СУ С - соот- |
||
4. |
ветствие. |
|
|
|
ES A B ' C ^ & D E F . |
|
|||
5. |
Z А С В ' ^ |
Д DFE . |
|
|
6. |
СВ' = |
С В . |
|
|
7. |
В' = |
В. |
|
|
8. { \ A B C g ± & D E F .
Аргументы
Теорема о нанесении точки.
Шаги 1 и 2.
СУС .
Соответствующие углы. Аксиома построения углов.
Д ве различные прямые пересекаются не более чем в одной точке.
Шаги 4 и 7.
§ 7. КАК ОБОЙТИСЬ БЕЗ ССС-АКСИОМЫ
Теперь мы покажем, |
что и ССС можно дока- |
а |
|
зать как теорему. Сначала мы напомним, что |
|
||
единственным, чем мы пользовались в доказа |
|
||
тельстве теоремы о равнобедренном треугольнике, |
|
||
была аксиома СУС. Так |
как А В С А С В |
есть |
|
СУС-соответствие, то Д |
АВС = Д АСВ, |
и по |
|
тому |
|
|
|
L с.
Таким образом, при доказательстве ССС мы можем пользо ваться теоремой о равнобедренном треугольнике, не впадая в по рочный круг.
194
Допустим .теперь, что нам дано ССС-соответствие
Д о к а з а т е л ь с т в о
|
|
У тверждения |
|
|
|
|
Аргументы |
|||
1. |
A B = DE, |
AC = DF, |
B C = E F . |
Дано. |
|
|
|
|||
2. По противоположную по |
отноше- |
Аксиома |
построения |
углов. |
||||||
|
нию к точке В сторону |
от |
АС |
|
|
|
|
|||
|
существует |
|
такая |
точка |
G, |
что |
|
|
|
|
|
Z C A G ^ |
z |
D. |
|
|
|
|
|
|
|
3. Существует |
такая |
точка |
Я |
луча |
Теорема |
о |
нанесении |
точки. |
||
|
ÄG, что A H = DE. |
|
|
|
Шаги 1, |
2 |
и 3. |
|
||
4. |
A H C < ^ D E F есть |
СУ С - соответ- |
|
|||||||
5. |
ствие. |
|
|
|
|
|
СУС. |
|
|
|
ES A H C ^ A D E F . |
|
|
|
|
|
|
||||
Таким |
образом, мы построили конгруэнтную копию /\D E F |
снизу от Д |
АВС. Этим закончена первая половина доказательства. |
Во второй половине мы собираемся показать, что Д АВС |
Д АНС. |
Нижеследующее доказательство относится к случаю, |
изображен |
ному на нашем рисунке, т. е. случаю, когда отрезок ВН пересекает О->
прямую АС в точке, лежащей между Л и С.
Д о к а з а т е л ь с т в о (продолжение)
|
|
У тверждения |
|
|
|
|
Аргументы |
|
||
6. |
Z |
А В Н |
L |
А Н В . |
|
Теорема |
о |
равнобедренном |
тре- |
|
|
|
|
|
|
|
угольнике. |
|
|
||
7. |
L |
В В С |
L |
СН В . |
|
Теорема |
о |
равнобедренном |
тре- |
|
|
|
|
|
|
|
угольнике. |
|
|
||
8. |
L |
A B C ^ |
Z |
АНС. |
|
Аксиома |
сложения углов. |
|
||
9. |
А В С - * - * - А Н С |
есть |
СУ С - соот- |
Шаги |
1, |
5 и |
8. |
|
||
|
ветствие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Д А й С ^ Д А Я С . |
, |
СУС . |
|
|
|
|
|||
11. |
Д |
А В С ^ |
Д |
DEF . |
|
Шаги |
5 |
и 10. |
|
|
7* |
195 |
Доказательства, отвечающие этим случаям, мы предоставляем вам провести самостоятельно.
§ 8. ОТНОШЕНИЕ «МЕЖДУ» И РАЗБИЕНИЕ
Если вы внимательно следили за нашими доказательствами, то вы дважды могли уличить нас в неполноте. В доказательстве тео ремы 5.2 в действительности мы должны были знать, что середина
D отрезка ВС лежит внутри Z ВАС. Информация об этом была
нам нужна для того, чтобы убедиться, что луч AD удовлетворяет определению биссектрисы угла. Точно так же в доказательстве ССС
в предыдущем параграфе, когда в шаге 8 мы пользовались сло жением углов, мы должны были знать, что точка К лежит внутри Z АНС.
|
Строго |
говоря, |
эти утверждения |
нуждаются в доказательстве. |
||||
Но почти во всех книгах, |
включая «Начала» Евклида и большин |
|||||||
ство последующих |
учебников, такие |
доказательства опущены. Не |
||||||
надо думать, |
что это непременно |
плохо. |
Здравый смысл является |
|||||
в |
геометрии |
совершенно |
правильным |
ориентиром —прежде всего |
||||
именно здравый смысл говорит |
нам, |
что наши аксиомы разумны. |
||||||
И |
геометрия |
сложилась |
как |
вполне развитая наука за две |
||||
тысячи лет |
до того, как |
людям |
удалось выписать аксиомы, кото- |
|||||
|
!) Возможен |
также |
случай, когда |
точка |
К |
лежит правее точки С; однако |
||
его |
можно отдельно не |
рассматривать (почему?). |
|
|||||
196
рые действительно годятся для доказательства геометрических теорем.
Но раз уж мы выпйсали эти аксиомы и раз мы научились ими
пользоваться, хотелось |
бы освободить |
изложение от явных пробе |
|||
лов, сформулировав |
и |
доказав |
теоремы, которые нам требуются. |
||
Теорема 6.5 |
|
|
|
|
|
Если точка М |
лежит на |
прямой |
I между точками А и С, |
||
то М и А |
лежат |
по |
одну сторону |
от любой другой прямой, |
|
содержащей |
С. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть ^ —другая |
прямая, |
содержащая |
|||||
точку С. Допустим, |
что А |
и М лежат |
по противоположные сто |
|||||
роны от Іѵ Тогда отрезок |
AM содержит |
некоторую точку D пря |
||||||
мой Іѵ Но отрезок |
AM принадлежит |
I, |
a |
I пересекает Іѵ только |
||||
в точке С. Следовательно, |
C —D. Поэтому |
в силу |
определения |
|||||
отрезка точка С находится |
между А и М, что невозможно, так как |
|||||||
точка М лежит между Л и С (см. утверждение 2° на стр. 48). |
||||||||
Отсюда легко |
получается |
теорема, |
которая была |
нам нужна |
||||
в доказательствах |
теорем 5.2 |
и ССС. |
|
|
|
|
||
Теорема 6.6
Если точка М лежит между точками В и С и если А —
любая точка, не принадлежащая прямой ВС, то точка М лежит внутри /_ ВАС.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из предыдущей теоремы мы знаем, что
1°. точки М и В лежат по одну сторону от АС. Применяя эту теорему повторно, получаем, что
2°. точки М и С лежат по одну сторону от AB. Но по опре делению внутренности угла это и означает, что точка М лежит внутри /_ВАС.
197
Задачи к § 8
( З а м е ч а н и е . В нижеследующих задачах ни из |
одного рисунка не нужно |
||
«вычитывать» |
никакой |
информации.) |
|
1+. Сделайте |
рисунок |
для следующего утверждения |
и докажите, что оно спра |
ведливо. Каждая точка любой стороны произвольного треугольника, отлич ная от вершины треугольника, лежит внутри угла, противоположного этой стороне.
2+. Даны |
прямая |
А С |
и точка R, |
удовлетворяющая условию R — А — С , |
точка |
|||||||||||||
В , |
не |
принадлежащая |
А С , |
и такие точки Р |
и Q, что В — Р — С и B— Q— A. |
|||||||||||||
Дополните каждое из следующих утверждений и обоснуйте свой ответ: |
|
|||||||||||||||||
a) |
Точка |
Р |
лежит |
внутри |
L ... . |
|
|
|
|
|
||||||||
B ) |
Точки |
|
Q и |
В |
лежат |
по |
... сторону |
|
|
|||||||||
|
от |
А С . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дс. |
|
Р |
||
c) |
Точки |
|
Р и |
В |
лежат |
по |
... |
от |
R |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||
d) |
Точки |
|
Qи |
Р |
лежат |
по |
... |
|
от А С . |
А |
С |
|||||||
e) |
Точки |
|
Rи |
Р |
лежат |
по |
... |
от |
AB. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
3+. Д о к а з а т ь . |
|
Если точка М лежит на |
|
|
||||||||||||||
прямой |
/ |
между точками |
А |
и С, |
то Л |
и |
|
|
||||||||||
С |
лежат по противоположные стороны от |
|
|
|||||||||||||||
любой другой прямой, содержащей М. |
|
|
|
|||||||||||||||
4+. Даны |
компланарные |
точки А , |
В , С , |
D, |
|
|
||||||||||||
Е |
и Н , |
|
причем А , |
В |
и |
С |
неколлинеар- |
|
|
|||||||||
ны и, кройе |
того, |
B— C—D, |
А — Е —С |
|
|
|||||||||||||
и В — Е —Н . |
Докажите, |
что Л и Я ле |
|
|
||||||||||||||
жат по одну сторону от BD. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 * +. Д о к а з а т ь . |
Если |
некоторая |
прямая |
|
|
|||||||||||||
пересекает какую-либо сторону треуголь |
|
|
||||||||||||||||
ника в точке, отличной от его вершины, |
|
|
||||||||||||||||
то она должна пересечь еще хотя бы одну |
|
|
||||||||||||||||
сторону |
|
этого |
треугольника. |
( У к а з а |
|
|
||||||||||||
н и е . |
Пусть |
Н х и Я 2 — полуплоскости с |
|
|
||||||||||||||
ребром |
I, |
причем |
точка |
С |
принадлежит |
|
|
|||||||||||
Н |
ѵ |
Нужно |
В |
рассмотреть |
три |
|
случая: |
|
|
|||||||||
когда |
точка |
принадлежит |
прямой |
I, |
|
|
||||||||||||
когда |
В |
|
принадлежит Я х и когда |
В |
при |
|
|
|||||||||||
надлежит Я 2.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 * +. Даны |
компланарные точки Л, |
В , |
С , |
D, |
А |
|
||||||||||||
Е |
и Я , |
причем Л, В и С |
неколлинеарны |
|
|
|||||||||||||
и, |
кроме |
|
того, |
В — C — D, |
А — Е |
—С |
и |
|
|
|||||||||
В |
— Я — Я . Докажите, что точка |
Я |
лежит |
|
|
|||||||||||||
внутри |
L ACD. ( У к а з а н и е . |
Согласно |
|
|
||||||||||||||
определению внутренности угла вам нужно |
|
|
||||||||||||||||
показать, |
|
что |
точки |
Л |
и |
Я |
лежат |
по |
|
|
||||||||
одну |
сторону |
от прямой |
CD (см. |
задачу |
|
|
||||||||||||
4) |
и что |
точки D и Я |
лежат по одну сто |
|
|
|||||||||||||
рону от прямой А С . )
198
