ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 299
Скачиваний: 0
2. |
Рассмотрим |
любые |
три |
треугольника. Обозначим вершины каждого из них |
|||||||||||||
|
буквами |
А, |
В |
и |
С. |
Кажется |
ли вам |
верным |
неравенство |
A ß - j - B C > |
АС? |
||||||
|
Что больше: BC -j~A C |
или AB? Как |
обстоит |
дело с В С |
и |
АС А -A B? |
К а |
||||||||||
|
кое общее |
утверждение подсказывается |
вашим |
ответом? |
|
|
|
|
|||||||||
3. Рассмотрите |
несколько |
разносторонних |
треугольников |
различной формы. |
|||||||||||||
|
Для |
каждого |
из |
них |
отметьте наибольшую |
сторону и наибольший угол. |
|||||||||||
|
К акая |
гипотеза |
здесь |
напрашивается? Доказывают |
ли |
ваши |
примеры, |
что |
|||||||||
|
она |
верна? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Нарисуйте |
&RST и Д |
А ВС , |
у которых |
RS = |
A B , |
ST —В С |
и т L RST > |
|||||||||
|
> т / _ А ВС . Сравните RT и АС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Какую |
гипотезу |
относительно |
т Z |
C BD |
и т /_ В А С вызывают у вас изо |
|||||||
|
браженные здесь |
треугольники? |
Как |
вы |
думаете, |
останется ли ваша гипо |
|||||||
|
теза в |
силе, |
если |
вершина |
С на третьем рисунке |
будет удалена очень да |
|||||||
|
леко влево от вершин А и В? Не приходит ли вам в голову, как доказать, |
||||||||||||
|
что эта гипотеза справедлива? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Нарисуйте любой |
/\ М О Р . |
Пусть |
К — точка |
между М и серединой отрез |
||||||||
|
ка ТАР. Проведите отрезок |
КО . |
Для |
Д МОР |
и |
Д К О Р имеем: РО = РО, |
|||||||
|
/_ Р |
£ р |
и M P > K P . |
Человек, |
склонный |
к |
поспешным |
выводам, мо |
|||||
|
жет решить, |
что МО > |
КО. |
Покажите, |
что это |
неравенство |
выполняется |
||||||
|
не всегда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Даны |
прямая / и не принадлежащая ей точка |
Р . |
Пусть Q — основание пер |
|||||||||
|
пендикуляра, |
опущенного из Р |
на |
/, |
а А — какая-нибудь другая точка пря |
||||||||
|
мой I. Какая |
гипотеза |
относительно |
PQ |
и РА |
кажется вам справедливой? |
8+. Позволяет ли описанный ниже прием произвести трисекцию любого угла? Чтобы помочь себе ответить на этот вопрос, сделайте несколько рисунков.
На сторонах произвольного L А возьмем точки В и С так, что AB — АС.
Проведем отрезок В С и разделим его на три конгруэнтные части точками D
и Е , так что BD = D E = EC. Проведем отрезки AD и АЕ. Тогда лучи AD
и АЕ делят L А на три конгруэнтные части.
204
9+. QC и QB — неколлинеарные отрезки, при надлежащие плоскости Е, а Р — не при надлежащая этой плоскости точка, такая, что L PQB и Z. PQC — прямые. Напишите верное, по вашему мнению, предложение, касающееся Р В и PC.
10*+. П усть |
Л — точка в Плоскости Е, и |
A B — не |
принадлежащий этой плоскости |
луч, а АС — луч, принадлежащий Е . Р ас
смотрев различные положения луча АС, как можно точнее опишите те его поло жения, при которых т А В А С будет наи большей и наименьшей. Мы не ждем дока зательства, а просим вас на основании
ваших знаний о пространстве постараться догадаться, каким должен быть
ответ. |
' |
|
§ 2. НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ ЧИСЛАМИ, |
||
ОТРЕЗКАМИ И |
УГЛАМИ |
|
Неравенства, |
связывающие отрезки или |
углы, определяются |
с помощью чисел, измеряющих эти отрезки |
и углы. |
Определение
AB<cCD, если AB <cCD.
Другими словами, один отрезок меньше (или короче) другого, если он имеет меньшую длину.
Точно так же имеет место
Определение
Z А < / В, если т /_ А < m Z В.
Поэтому прежде чем мы перейдем к изучению неравенств, свя зывающих отрезки и углы, нам нужно вспомнить законы из § 2 гл. 2, которым подчиняются неравенства между числами.
Т р и х о т о м и я
Для каждых х и у выполняется одно и только одно из следую щих условий: х< .у, х —у, х > у .
П2. Т р а н з и т и в н о с т ь
Если х<су и y<cz, то x<Cz.
П3. З а к о н с л о ж е н и я
Если a<cb и х ^ у , то а + х <.Ь-\-у.
205
П4. Закон умножения |
|
|
|
Если х < іу и а > |
0, то ах<сау. |
|
|
Алгебра, которой |
мы будем |
пользоваться |
при манипуляциях |
с геометрическими неравенствами, |
будет очень |
проста. Нам даже |
не потребуется П4, но зато нам будет нужна следующая теорема.
Теорема 7.1 |
|
Если а = Ь-\-с и О |
0, то а > Ь . |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как а — Ь —с, то а — Ь > 0. Следо |
вательно, (а — Ь) + Ь > 0 + Ь и а > Ь .
Задачи к § 2
1.Для каждого из следующих примеров укажите свойство отношения поряд ка, которое этот пример иллюстрирует.
a) |
Если т > |
7 и п < 7, |
то п < т . |
|
||||
B) Если |
4 < |
6, |
то |
14 < 21 . |
|
|
||
c) |
Если |
AB < |
13, то AB ф 13. |
|
|
|||
d) |
Если X— у = |
7 и у < |
3, то х < 10. |
z ß . |
||||
e) Если |
Z 4 < Z C |
и / |
ß > |
Z С, то Л Л < |
||||
f) |
Если R S < G H |
и S T < H K , |
то Д5 + ST < |
ОЯ + ЯК- |
||||
2. На этом |
рисунке |
|
|
С |
|
|||
|
A B < G B и ßC < В Я . |
|
|
|||||
Докажите, Что ЛС =£ GH. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
н |
3. |
Дано, |
что точки |
А, В и С коллинеарны |
и |
что точки G, Я |
и /С коллине- |
|||
|
арны. Они расположены так, |
что |
< С Я |
и ßC < Я Я . Следует ли отсю |
|||||
|
да, что |
ЛС < |
ОЯ? Почему да |
или |
почему |
нет? |
|
||
4. |
Д а н о . |
Рисунок, |
где |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л D A B < Л ОВЛ |
и Л CMC < |
Л D ßC . |
|
|
|
|||
|
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь , |
л |
С Л в < |
|
|
|
< Л сел.
Б.Подробно объясните, почему из теоремы 7.1 вытекает такое следствие: если D —
точка внутри Л АВС, то
Л A B Ö L A B D и Л А В С > Л CßO .
206
6. Дан_рисунок, где |
точка М является серединой и отрезка P S и отрез |
ка RQ. Докажите, |
что /. RQT > / R. |
7 *. Пользуясь свойством П2, докажите, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
R 5
8 *. Предположим, что свойство П3 сформулировано |
просто в таком |
виде: |
||||
П ри любых |
а, b |
и X если |
а < Ь , то а -J- х < |
Ь-\-х. |
|
|
Докажите, что остающаяся часть свойства П3 |
|
|
||||
П ри любых |
а, b, |
X и у если |
а < Ь и х < у , |
то а - \ - х < Ь - \ - у |
|
|
будет тогда следовать |
из этого утверждения как |
теорема. |
|
|||
( У к а з а н и е . |
Установите, |
что |
а - { - х < у - \ - Ь |
и х-\-Ь < у - { - Ь , |
и приме |
|
ните П2.) |
|
|
|
|
|
|
9*+. Вновь обратимся к рисунку к задаче 6, но теперь предположим, что вы полняются только следующие условия: точки S и Р лежат по противопо
ложные стороны от прямой RQ, точки S и R лежат по одну сторону от пря
мой R T и P — Q — T. Докажите, что точка S лежит внутри /. RQT.
§ 3. ТЕОРЕМА О ВНЕШНЕМ УГЛЕ
1 на следующем рисунке называется внешним углом Д АВС.
Определение
Если точка С лежит между точками А |
и D, то BCD на |
зывается в н е ш н и м углом Es АВС. |
|
В |
В |
Как показано на следующем рисунке, всякий треугольник имеет шесть внешних углов:
2 0 7
Они образуют три пары вертикальных углов. И, как видно из рисунка, углы каждой пары вертикальных углов конгруэнтны.
Всякий внешний угол является смежным с одним из углов
самого треугольника. Например, на |
нашем рисунке |
/_ 1 и Z. С |
|
треугольника —смежные |
углы. Остальные два угла треугольника |
||
называются внутренними |
углами, не |
смежными с данным внеш |
|
ним углом. |
|
(, |
|
Определение |
|
|
|
/_ А и £. В Д АВС называются в н у т р е н н и м и |
у г л а м и , |
||
не с м е ж н ы м и с внешними углами |
BCD и АСЕ. |
|
Аналогично, А и /_ С являются внутренними углами, не смежными с внешними углами ABF и CBG.
Следующая теорема служит ключом к теории геометрических неравенств.
Теорема 7.2 (теорема о внешнем угле)
Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, с ним не смежного.
В
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Дан Д АВС. Если точка С лежит между А и D, то
£ B C D > A B .
208
Заметим, прежде всего, |
что в этой формулировке действительно |
|||||
заключено все содержание теоремы. Здесь |
сказано, что Z |
|
||||
Изменяя |
обозначения |
(переставляя точки |
А и В), получаем, что |
|||
Z. 2 > Z |
А. Так |
как |
2 1 = |
L 2, отсюда следует, что Z. 1 |
А А. |
|
Следовательно, Z. |
1 больше любого угла, с ним не смежного. |
|
||||
Перейдем к доказательству теоремы. |
|
|
||||
|
|
в |
|
|
F |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о
Утверждения |
Аргументы |
1. |
Пусть |
Е — середина |
отрезка ВС . |
||||||
2. |
П усть |
F — точка |
луча, |
противопо- |
|||||
|
ложного |
лучу |
E Ä , |
такая, что |
|||||
|
E F — E A . |
|
|
|
|
|
|||
3. |
/ |
B E А |
|
д |
CEF . |
|
|
||
4. |
Д |
В Е А |
|
Л |
C EF . |
|
|
||
5. |
т L |
В = т |
Z ECF . |
|
|
||||
6. |
т L |
BCD = m L |
E C F + m Z FCD . |
||||||
7. |
m L |
BCD = m L B + |
m L FCD . |
||||||
8. |
m L |
B C D > |
m Z |
B. |
|
|
|||
9. |
Z |
B C D > |
L B . |
|
|
|
?
?
?
?
?
Аксиома сложения углов. Утверждения 5 и 6. Теорема 7.1.
Определение отношения > для углов.
Теорема о внешнем угле имеет очевидное
Следствие 7.2.1
Если треугольник имеет один прямой угол, то остальные углы этого треугольника —острые.
(Если Z С—Прямой угол, |
то |
прямым |
А |
||||
является и |
/_ 1. |
Теорема |
о |
внешнем |
угле |
|
|
утверждает, |
что |
/_ 1> £, В |
и |
и Z |
1> |
L.A. |
|
Следовательно, т I. В < 90 |
т |
А < 90 .) |
|
2 0 9
Если бы мы знали теорему о внешнем угле раньше, то мы могли бы проще доказать единственность перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку, не принадлежащую этой прямой (ср. выше, стр. 184). Если бы существовало два перпенди куляра к прямой /, проходящих через точку Р, то /_ 1 был бы
конгруэнтен /, PQR, что невоз
можно: Z. 1 является внешним уг
лом /\P Q R , а Z.PQR — один из внутренних углов, с ним не смеж ных.
О |
R |
L |
Задачи к § 3
1. а) Назовите |
на |
этом рисунке |
внут |
|
|||||||||
|
ренние |
|
углы |
треугольника, |
не |
|
|||||||
|
смежные с внешним |
/ . А BE . |
|
|
|||||||||
b) |
Какой |
внешний |
угол |
имеет |
углы |
|
|||||||
|
/. А В С |
|
и |
|
/. В А С |
внутренними, |
|
||||||
|
с ним не смежными? |
|
|
|
|
|
|||||||
2 . а) |
Какие |
углы |
на |
этом |
рисунке яв |
С |
|||||||
|
ляются |
внешними |
углами данного |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
треугольника? |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ь) |
Какое |
|
неравенство |
|
|
связывает |
|
||||||
|
т L |
D A C |
и т L |
В } |
Почему? |
|
|
||||||
c) |
Как |
связаны |
т z |
D A C |
п т / . В А Е ? |
Почему? |
|||||||
d) |
Как |
связаны |
т L DAC и т L |
В А С ? Почему?3 |
|||||||||
3. Пользуясь |
рисунком |
только для пояснения обозначений, дополните каждое |
|||||||||||
из следующих утверждений на основании ранее доказанных теорем: |
|||||||||||||
a) |
Если |
X = |
40 |
и |
у = 30, |
то w > |
. . . . |
R |
|||||
b) |
Если |
х — 72 и у = |
73, |
|
то |
w — |
|
|
|||||
c) |
Если |
у = |
54 |
и г = |
68, |
то |
w . . . . |
|
|
||||
d) |
Если |
w = |
112, |
то X — |
|
|
|
|
|||||
e) |
Если |
w = |
150, |
то |
г ___ |
|
|
|
|
||||
f) |
Если |
# = |
|
25 |
и |
г = |
90, |
то |
w . . . . |
|
|
||
g) |
Если |
2 = |
90, |
то X |
... и у |
. . . . |
|
|
210