ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 295
Скачиваний: 0
7 * +. Следующая |
теорема, |
справедливость |
|
которой кажется |
такой |
очевидной, часто |
|
принимается |
без |
доказательства. |
|
Если К — любая точка внутри L А В С ,
то луч В К пересекает отрезок АС.
После того как вы сумеете ответить на предлагаемые ниже вопросы, вы получите доказательство. Чтобы обосновать свои рассуждения, вы можете пользоваться другими задачами из этого списка.
a) Пусть /Д |
и |
Н 2— полуплоскости, |
имеющие своим |
ребром |
прямую ВС, |
||
причем точка |
А |
принадлежит Н ѵ |
Возьмем любую точку D на луче, про |
||||
тивоположном |
|
лучу ВА. Проведем отрезок DC, образовав |
д |
DAC. По |
|||
чему точка |
D принадлежит Я 2? |
|
|
|
|
||
B ) Почему точка К |
принадлежит Н г? |
Какая теорема |
показывает, |
что каж |
|||
дая точка |
луча |
В К , исключая В, |
принадлежит Н{? |
|
|
|
|
c) Почему каждая точка отрезка DC, отличная от С, принадлежит Н 2?
d) |
Почему отрезок |
DC |
не пересекает луча |
B f (? |
|
||
e) |
Почему |
отрезок |
DC |
не |
пересекает луча, |
противоположного лучу WR? |
|
О |
Почему |
отрезок |
DC |
не |
пересекает прямой В К } |
--- |
|
g) |
Почему прямая |
^ |
|
|
|
||
В К |
должна пересечь отрезок А С ? |
||||||
h) Почему луч, противоположный лучу ~ВІ(, не пересекает отрезка АС? -
i) Почему луч В К пересекает отрезок АС?
Конкурсная задача
Из следующего неверного рассуждения, которым мы пытаемся доказать, что некоторый тупой угол конгруэнтен прямому, ясно видно, насколько важно знать, по какую сторону от прямой лежит точка. Допустим, что □ A B C D —
прямоугольник и что его |
сторона В С повернута вокруг точки В в направлении |
от прямоугольника, так |
что В С = В С и L А В С — тупой угол. Пусть ме- |
|
С |
диатриса отрезка A B пересекает медиатрису отрезка D C в некоторой точке X .
Если X лежит ниже прямой A B , как показано на рисунке, то по ССС-теореме
д A X D ^ A В Х С
и потому
т L D A X — m L С В Х .
199
Кроме |
того, в |
силу С С С |
Д |
Е А |
Х ^ |
As Е В |
Х |
и, таким |
образом, т А |
Е |
А Х = |
||||
= т |
А |
Е В Х , |
откуда |
после вычитания следует, что т |
А DAE — т |
А |
С ' В Е . |
||||||||
Если точка, соответствующая точке X , лежит |
выше A B , |
|
|
|
|||||||||||
как на нижнем рисунке, то, в точности как и раньше, по |
|
|
|||||||||||||
лучаем |
т |
А DAX —т |
А |
С ' В Х , |
т |
А Е А Х |
= |
m А |
Е В Х , |
|
|
|
|||
и требуемое равенство следует из сложения двух преды |
|
|
|||||||||||||
дущих: т |
А DAE = т |
А |
С ' В Е . |
Что в этом |
рассуждении |
|
|
||||||||
неверно? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( У к а з а н и е . |
Попробуйте |
сделать |
точный |
рисунок для |
|
|
|||||||||
случая, |
когда т А А В |
С |
лишь ч у т ь - ч у т ь |
м е н ь ш е , |
|
|
|
||||||||
чем |
180. |
Н асколько |
такое |
«доказательство» будет |
про |
|
|
||||||||
ходить |
в |
этом |
случае?) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вопросы и задачи для повторения
1.Предположим, что каждое из нижеследующих утверждений вы собираетесь доказать методом от противного. С какого допущения в каждом случае вы начнете?
a)Если у треугольника нет двух конгруэнтных углов, то он не равнобед
ренный.
B ) Если даны прямая и не принадлежащая ей точка, то существует не бо лее одной прямой, проходящей через эту точ ку и перпендикулярной данной прямой.
c)Если какая-либо точка равноудалена от концов некоторого отрезка, то она лежит на медиатрисе этого отрезка.
d)Если две компланарные прямые перпендикулярны одной и той же пря мой, то они параллельны.
e)На плоскости существует не более одной прямой, перпендикулярной дан ной прямой в данной ее точке.
f)V 2 — не рациональное число.
g)Нуль не имеет обратного числа.
2.Определите медиатрису отрезка.
3.Сформулируйте теорему о медиатрисе.
СF
|
А * --------------------------- |
|
\ в |
0\ ------- |
2k. £54 |
|
4. Перерисуйте |
каждый |
из |
изображенных |
выше |
треугольников, |
выбранных |
так, чтобы |
каждый |
из |
них определенно был |
разносторонним. |
Постройте |
|
медиатрисы каждой стороны каждого треугольника. Будет ли хотя бы одна из этих медиатрис делить пополам какой-нибудь угол одного из наших тре угольников?
5.Для каждого из нижеследующих утверждений укажите, верно оно или нет.
a)На плоскости существует не более двух перпендикуляров к данной пря
|
мой в |
данной ее |
точке. |
|
B ) |
Доказать, что «существует ровно один» — это значит, доказать |
и существо |
||
|
вание |
и единственность. |
|
|
c) |
Самая |
длинная |
сторона любого треугольника называется |
гипотенузой. |
d)В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.
200
6. На этом рисунке А Е = В С , ED — CD, точка О
является серединой отрезка A B и L Е
Докажите, что DG і_ A B .
7 *. Прямая |
I |
является |
медиатрисой отрезка |
ВС, |
причем |
А — середина |
этого |
||||||
отрезка. Точки К я |
G лежат по одну сторону от прямой ВС. |
Точка |
К ле |
||||||||||
жит по ту же сторону от I, что и точка |
В, а |
точка G — по ту |
же сторону |
||||||||||
от I, что и С, и при этом |
L |
В А К ^ |
L CAG. Перпендикуляр к отрезку В С |
||||||||||
в |
точке |
В |
пересекает |
луч |
А К |
в |
точке |
D, |
а перпендикуляр к отрезку ВС |
||||
в |
точке |
С |
пересекает |
луч |
AG в |
точке |
Е . |
Докажите, что |
отрезки B E |
и CD |
|||
пересекаются на прямой /,
/
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА
§ 1. РАЗУМНЫЕ ГИПОТЕЗЫ
До сих пор, изучая геометрию треугольника, мы имели дело только с условиями, обеспечивающими р а в е н с т в о двух отрез ков (или их длин) или двух углов (их мер). Теперь мы перейдем к изучению условий, обеспечивающих «направленное неравенство» отрезков или углов, т. е. то, что один отрезок больше другого (другими словами —имеет большую длину) или один угол больше другого (другими словами —имеет большую меру).
Начнем мы, однако, не с доказательства теорем. Сначала выскажем некоторые разумные гипотезы о характере утверждений, которые должны были бы быть верными. (Эти утверждения нельзя называть теоремами, пока и поскольку они еще не доказаны.)
Рассмотрим следующий пример. Дан треугольник с двумя сто ронами неодинаковой длины. Что можно сказать об углах, проти
волежащих этим сторонам? |
Заметим, что эта |
задача естественно |
|
возникает из теоремы 5. 3, |
утверждающей, что если две стороны |
||
треугольника имеют о д н у |
и ту |
же длину, |
то противолежащие |
им углы имеют о д н у и ту |
же |
меру. |
|
В
с двумя сторонами заведомо неравной |
длины. Здесь ВС больше, |
|
чем AB, и т Z. А |
больше, чем т |
С. Начертив еще несколько |
треугольников, вы, |
вероятно, убедитесь, что должно быть верно |
|
следующее утверждение: |
имеют неравные длины, то |
|
Если две стороны треугольника |
||
углы, противолежащие этим сторонам, имеют неравные меры и больший угол лежит против большей стороны.
Теперь |
испробуйте тот же прием на следующих задачах. |
Задачи к § |
1 |
С |
С |
1. У |
каждого из этих треугольников т L А > |
т |
L |
В. |
Какую гипотезу можете |
вы |
высказать о сторонах, противолежащих |
L |
А |
и |
L ß? |
203
