ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 296
Скачиваний: 0
4. Докажите, что на левом нижнем рисунке |
L C A K > L G. |
C |
c |
5. Правый рисунок является иллюстрацией к следующему утверждению: Внешний угол четырехугольника больше каждого внутреннего угла, с- ним не смежного.
Верно ли это утверждение? Объясните.
6. а) |
Луч P S |
на |
этом рисунке |
является |
|
биссектрисой |
L RPM . Докажите, что |
||
|
Z S C M > |
L |
S P M . |
|
b) |
Докажите, что если L SC V ^ |
L P R V , |
||
|
то L P R T > |
L S . |
|
|
7. Даны любые два отрезка, A B и DE. Можете ли вы придумать утверждение, касающееся A B и D E, которое всегда было бы верно? В чем оно состоит? Приведите основание для вашего ответа.
8.Объясните, почему пометки на этом ри сунке указывают невозможную ситуацию.
9+. Докажите следующую теорему: |
треугольника меньше, чем 180. |
|||
Сумма мер любых двух углов |
||||
Д р у г а я |
ф о р м у л и р о в к а . |
При |
||
обозначениях |
мер |
углов треугольника, |
||
указанных на |
этом |
рисунке, |
|
|
|
а~\-Ь < |
180, |
|
|
|
Ь + |
с < |
180, |
|
|
а + |
с < |
180. |
|
211
10+. |
Докажите следующую |
теорему: |
|
|
У глы при основании |
любого |
равнобедренного треугольника являются |
острыми. |
|
|
|
(У |
к а з а н и е. Примените теорему |
из задачи 9.) |
|
§ 4. ТЕОРЕМЫ О КОНГРУЭНТНОСТИ, ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРЕМЕ О ВНЕШНЕМ УГЛЕ
Определение |
|
Дано соответствие ABC |
DEF между двумя треугольниками: |
В |
Е |
Если конгруэнтны две соответствующие стороны и две пары соответствующих углов, то соответствие АВС DEF называется СУУ-соответствием. (Здесь, разумеется, буквы СУУ заменяют слова: сторона, угол, угол.)
Теорема 7.3 (СУУ-теорема)
Каждое СУУ-соответствие является конгруэнтностью.
Из УСУ мы уже знаем, что если конгруэнтные стороны заклю чены между конгруэнтными углами, то наше соответствие является конгруэнтностью. Поэтому мы можем сформулировать теорему иначе, считая, что нам задано соответствие того типа, которое про иллюстрировано на предыдущем рисунке.
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
Даны /\А В С |
и /\D E F . Если |
L A ^ , Z. D, Z В ^ L Е и АС ^ |
DF, |
|
то |
|
|
A A B C g ^ A D E F . |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . - Для AB и DE имеются три возможности: |
||
AB = DE, |
(1) |
|
AB < |
DE, |
(2) |
AB > |
DE. |
(3) |
212
Если |
имеет |
место |
равенство (1), то теорема доказана, так как |
|
в этом |
случае |
соответствие АВС — DEF |
является СУС-соответ |
|
ствием. |
Мы покажем, |
что неравенства (2) |
и (3) невозможны. |
|
В '
Допустим, что |
выполняется неравенство |
(2): AB < iD E. Пусть |
||
В' — такая точка |
луча AB, что A B ' = D E . |
Тогда в силу СУС |
||
A A B ' C ^ A D E F . |
Следовательно, |
Д АВ'С ^ /_ DEF. Значит, |
||
Z А В С ^ /_ АВ'С. (Почему?) Но это невозможно, поскольку тео |
||||
рема о внешнем угле утверждает, что |
/_ АВС > |
Д АВ'С. |
||
Совершенно аналогично можно показать, |
что невозможно и нера |
|||
венство (3): A B > D E . Вы сумеете провести |
это рассуждение сами. |
|||
Поскольку неравенста (2) и (3) невозможны, должно выпол няться равенство (1) и в силу СУС Д Л В С ^ ёД П £ 7\ Это завер шает доказательство.
В предыдущей главе мы нашли, что такой вещи, как «ССУтеорема», не существует. Иными словами, ССУ-соответствие не всегда является конгруэнтностью. Мы можем, однако, доказать такого рода теорему в случае прямоугольных треугольников.
Теорема 7.4 (теорема о гипотенузе и катете)
Дано некоторое соответствие между двумя прямоугольными треугольниками. Если гипотенуза и один катет первого тре угольника конгруэнтны соответствующим элементам второго тре угольника, то это соответствие является конгруэнтностью.
213
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
Даны Д АВС и /\D E F , причем |
т /_ А — т /, L) — 90, |
|
AB = DE, |
ВС — ЕЕ. |
Тогда
|
/ \ A B C 9 È ADEF. |
В |
Е |
До к а з а т е л ь с т в о
Утверждения
1. |
На луче, |
противоположном лучу |
||
|
DF, |
|
существует такая точка G, |
|
|
что |
DG = AC. |
||
2. |
Д DEG ^ |
Д А В С . |
||
3. |
EG — ВС. |
|
||
4. |
L G ^ |
L |
С. |
|
5. |
EG = |
E F . |
|
|
6. |
L F |
^ |
z_G. |
|
7. |
Д D E F ^ |
Д DEG. |
||
8. |
Д A B C ^ & D E F . |
|||
Аргументы
?
?
?
?
Шаг 3 и условие.
?
Шаги 5 и 6 и С У У . Шаги 2 и 7.
Задачи к |
§ 4 |
|
|
|
|
1. |
Перечислите все известные вам методы до |
Т |
|||
|
казательства |
конгруэнтности |
треугольни |
||
|
ков. |
|
|
|
|
2. |
Д а н о . |
P T |
± R T , W 1 QV, |
R T = QV, |
|
|
PQ — S R . |
|
|
|
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . P T — SV .
214
