Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Слева от 1

поставим число 0:

-«г

I

■ *о~— —о

■ О1

о——-о — а

0

1

2

3

и

5 •••

-----1------

1—

I----------

(--------

(— — о------

о-------

о ------

о-------

о-------

о

--------5

- 4

- 3 - 2

- 1

о

1

2

3

и

5

отрицательных целых чисел и нуля.

Натуральные

числа —это,

конечно, положительные

целые

числа;

их часто так и называют.

Заметим, что на прямой осталось

еще много точек, которым

пока не приписано никаких чисел. Нам нужно,

по крайней мере,

-

1

1

2

1

1

2

д’

д.

разместить дроби

з ’ 3” ’ ~ 2 ’ ~ 3 ’ ~ з и т'

д*еждУ каж'

дыми двумя целыми

числами

имеется

бесконечное множество та­

ких дробей.

Поэтому все, что мы можем сделать на рисунке, это

указать для

примера

некоторые

из

них.

- І

- і

- і

i

f

1

b— — o — ►

' o -H — o -i

o - f — o — f - o — +— <H

о-------

5 -4 - 3 - 2 -1

0

1

2

3

U 5 —

рациональными числами. [Этот термин

(«рациональный»

значит

«разумный») вовсе

не должен приводить к мысли,

что остальные

числа неразумны.

Он

только отмечает тот факт,

что рациональ­

ные числа являются

о т н о ш е н и я м и

(по-латыни ratio)

целых

чисел.]

Рациональные

числа не заполняют

числовую

прямую

цели­

циональным. Это же относится и к числам |/ 3

и 1^5, а также к не­

которым «особым» числам вроде я.

чтобы каж­

Если мы нанесем все эти добавочные числа так,

дой точке нашей прямой было приписано

некоторое

число, то

2

Геометрия

3 3

,/Г

і

г

я

-Ш

. Ѵ2

3

п

2

Т

- ?

\

\

/

/

—о------ (о-

—о—4—о——КН+—о—

■о— о—

- - 5 - 4 - 3

-1 і

0

1

с2

3 4 5 -...

Число X меньше, чем число у,

если х

лежит

на

числовой

прямой л е в е е ,

чем у,

например,

как на следующем

рисунке.

у

Ц

.....

-О-

О—

I

о

«о

О—

■ О

I

о— ' —-

■■ т 9

-

- 3

-

2

-

1 0

1

2

3

-

- 1 0 0 0 0 0 0 < ~ ,

хотя число

— 1 000 000 в

каком-то

смысле

и кажется

больше.

Выражения,

в

которые входит

з н а к < ,

называются

нера­

венствами. Любое

неравенство можно

переписать,

обратив его

знак;

у > х

означает

просто, что х< іу .

Таким образом,

если

у > х ,

то у

лежит

на

числовой

прямой

п р а в е е ,

чем х.

Выражение

х ^ у

означает,

что

либо

х < у ,

либо х — у.

Таким

образом, —2«^1,

поскольку —2 < 1

и

2 ^ 2 ,

так

как

2 = 2.

главным

При изучении алгебры вы до сих пор имели дело

образом с поведением

действительных

чисел

при

сложении и

методом,

каким

мы будем в этом курсе

изучать

геометрию.

Иными словами,

все известные вам алгебраические

факты можно

вывести

из нескольких

простых

аксиом. Тем

не

менее

не

ис­

ключено,

что алгебру

вы таким

способом

не

изучали,

а

нам

едва ли

хватит

времени, чтобы пройти всю

алгебру

снова.

По­

В учении о квадратных корнях имеется

один довольно дели­

катный момент. Когда мы говорим, что

х

есть

квадратный ко­

рень из а, то мы подразумеваем

только

то,

что

х 1= а.

Напри­

мер, 2 есть квадратный корень

из

4,

так

как

22 = 4.

Но—2

также является квадратным корнем

из

4,

поскольк (—2)2 = 4.

Неверно:

—2 = ^ 4 .

Причина

именно такого употребления символа У а очень

проста. Если

допустить, что У а означает л ю б о й из двух квад­

2*

36

0.02,-

/ 4 ,

і

|

14,003,

- 3

,

Ѵ2

]

/ |

,

0,

1,414,

5

’

Ѵ ш ' л-

Заполните

таблицу,

поставив

каждое

из

этих

чисел

во

все

те

столбцы,

в заголовках

которых

названы

множества,

содержащие

данное

число.

2. Выясните,

верно

или ошибочно

каждое

из следующих уіверждений;

a)

Отрицательные числа являются действительными числами.

B )

Действительная

числовая

прямая

имеет по

крайней

мере

один

ко­

нец.

c)

Для

всех

чисел х число

— х отрицательно.

7

d)

Точка

на

действительной

числовой

прямой,

соответствующая

, ле-6

у

жит

между

точками,

соответствующими

6

8

у

и у ,

e)

На действительной

числовой

прямой существует точка, соответствую­

щая

числу

Ѵ^2

и отличная от точки, соответствующей

числу

1,414.

f)

Если

X— отрицательное

число,

то

— х

— положительное

число.

g)

Если

х > і /, то

X— у >

0.

3. В

каком порядке должны быть расположены на числовой прямой точки

каждого

из следующих

множеств

(при этом предполагается, что положитель­

ные числа лежат справа от нуля):

а)

¥ >

1 8

’>

Ь) 4>1:

4 ’06;

4’012;

с) - 1 , 3 ; - 0 , 7 ;

- 2 , 1 4 ;

d) у ;

- l | ;

- l y ?

4. Запишите

следующие высказывания,

пользуясь

знаками

порядка

(т. е. < ,

и т. д.):

a) X— число,

большее

чем

0.

B )

у — число,

заключенное

между

— 1 и 2.

c)

W — число,

заключенное

между

— 1 и 2

(включая

и сами

эти

значения).

5. Опишите

следующие

неравенства словами:

а)

А В >

CD,

b) т г£ л;

с)

— 11 <

5 < 8 ;

d) — 2 г ^ & г с ;2 ; е) х < 0; I) у > :0 .

6. Какие

из следующих

равенств верны:

а)

|/Фб =

4;

b) К 2 5 =

— 5;

с) - ^

6 4 =

- 8 ;

d)

- |

^

3

6 =

- 0 , 6 ;

е)

— К 0,04 = 0 ,2 ?

_

а)

х =

3;

Ь ) х = — 3;

с)

х =

0;

d ) x = l ;

е ) х — ~

1;,

f)

х <

0;

g)

X

0;

h) -і- >

0?

0,

1,

Ѵ '4,

- У

Т ,

У 9 ,

- У

9 ,

\Г\Ъ,

- J / 2 5 .

9. Пусть

г и S . — действительные

числа, отличные

от

нуля,

и такие,

что r > s .

Укажите, какие из следующих неравенств верны

всегда,

т. е. для

всех г

и s,

верны

иногда,

т. е.

только

для

некоторых

г

и

s, или

не

верны

никогда:

a)

s >

г,

b)

г — s >

0,

с)

Y >

1,

d)

s2 <

г2.

а) — >

— ,

Ь) г3 > s3,

г

s ’

с) — г < — s,

d) г — 2 < s — 2.

§ 3. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Абсолютная

величина числа

х обозначается символом | х |.

Смысл этого символа легко понять

из примеров:

и т. д. Здесь

мы руководствуемся следующими правилами:

1°. Если

х ^ 0 ,

то I X I = X.

2°. Если

X<

0,

то I je ] —соответствующее положительное число.

Если задано

конкретное число, то легко

увидеть, чему равна

его абсолютная величина. Если перед ним

нет знака минус, то

переход от

числа

к его абсолютной величине ничего не меняет.