Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 340

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

d)

Если

ЛЯ = 1 5 ,

D C — 8, ß C =

10

и

 

m z

ß = 30, то

5 рЛВСО= ?

 

 

e)

Если

Л Я = 1 3 ,

h — 5, 5 а |ЛВС£) =

65,

то

 

CD =

?

 

 

 

16. Чему равна площадь трапеции, если ее

высота равна 6, а средняя линия 12?

( У к а з а н и е . См. задачу 4 к § 8 гл. 9.)

17. Землемер

должен

был

найти

площадь

участка земли

 

A B C D E :

Он

провел

ли­

нию

север — юг

через точку

Е,

а

также

и

линии

восток — запад

 

через

точки

А,

В,

С,

D и

установил,

что ЛО =

37

ж,

B R = 47

ж,

CQ =

42

ж,

 

D P = 28

ж,

P Q = 1 3 ж, QE = 7 ж, £7? = 1 9 ж и

£ 0 = 1 8 ж. Затем он вычислил

искомую

площадь. Найдите эту площадь.

 

 

 

18. Докажите следующую теорему:

 

 

 

Если

диагонали

выпуклого

четырехуголь­

ника перпендикулярны, то его площадь

равна

половине

 

произведения

длин

диаго-А

налей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Останется ли эта теорема верной, если не требовать, чтобы четырехуголь­ ник был выпуклым?

19. □ PQ R S — выпуклый четырохугольник и

P R ± Q S -

 

a) Чему равна площадь

S OPORS, если

P R = 12 и Q S = 1 6 ?

 

B ) Чему равно QS, если

S Q PoRS= 1 5 3 и

P R = 17?

 

N

\

Д ок а за т ь:

SaAßCE=f(AC)(BD)

О

20. Длина диагоналей ромба равна 15 и 20. Чему равна его площадь? Если высота этого ромба равна 12, то чему равна длина стороны? ( У к а з а н и е . Применима ли здесь задача 18?)

21. Докажите, что если d и d' — диагонали ромба, то площадь ромба равна dd'/2.

22. Площадь ромба равна 348, а одна из диагоналей— 24. Найдите другую диагональ.

332

23. В

□ ABCD имеем АС J_ BD. Можете

ли вы найти S QABCD, если ЛС = 13

и

S D =

8?

 

24*.

В

□

ABCD диагональ BD делится

пополам диагональю АС. Докажите,

чтS А А0 В С ~ S A A D C -

25*. Дано,

что □ ABCD — параллелограмм и

что точки Р, Q, R и S — сере­

дины его

сторон. Докажите, что 5 Q p o p s =

^aABCD-

26*. Дан произвольный A MQR с двумя

R

 

медианами RS

и МТ,

пересекающи­

 

мися в точке

Р.

Докажите, что

 

S A P M S = = S A P R T -

D

С

27*. □ ABCD — трапеция с DC\\AB, Е —

середина

основания AB, F — середина

отрезка

D E и

G — середина

отрезка

СЕ. Докажите,

что S AAFD =

S ABQC.

А

Е

В

28*. Пусть AB — данный отрезок в плоскости Е. Для любого положительного числа k существует по крайней мере одна такая точка Р, что S AABp — k.

Существует ли больше одной такой точки? Сколько? Опишите множество всех точек Р в плоскости Е, для которых SAAßp —k. Опишите множество таких точек в пространстве.

29*.

□ PQRS — параллелограмм

J — точка

стороны

RS,

для которой

RJ <

<

у

RS, К — точка стороны

RQ, для

которой

R K <

RQ- Прямая, про­

ходящая через S и параллельная РК, пересекает

прямую, проходящую

через

К и параллельную PJ в точке М . Прямая

PJ пересекает отрезок S /И

в точке L. Докажите, что

S a P Q p s — S QPKLM. ( У к а з а н и е .

Пересе­

каются ли прямые RQ и SM?)

 

 

 

 

 

3 0 *+ . Докажите, что если

прямая I раз­

 

 

 

 

бивает область, определяемую

некото­

 

 

 

 

рым параллелограммом, на две части

 

 

 

 

равной площади, то I содержит точку

 

 

 

 

пересечения диагоналей

этого

парал­

 

 

 

 

лелограмма.

 

 

 

 

 

 

333

§ 3. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Теперь, когда мы знаем, как вычисляются площади, теорему Пифагора доказать довольно легко.

Теорема 11.8 (теорема Пифагора)

Квадрат гипотенузы любого прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем квадрат, длина стороны кото­

рого равна а-\-Ь. В

этом

квадрате мы построим четыре прямо­

угольных треугольника с катетами а н о .

 

1°. На основании СУС каждый

ь

а

из этих

четырех

треугольников

конгруэнтен любому

 

другому. По­

 

 

этому,

как

указано

 

на

рисунке,

 

 

у всех

этих

треугольников

гипо­

 

 

тенуза

равна с.

 

 

образо­

 

 

2°.

Четырехугольник,

 

 

ванный

четырьмя

гипотенузами,

 

 

является

квадратом.

В обозначе­

 

 

ниях, указанных на рисунке, имеем

 

 

 

 

 

г + s — 90,

 

 

 

 

потому

что

острые

 

углы

 

прямо­

 

 

угольного

треугольника

дополни­

 

 

тельны. Так

как

 

r + s-M =

180,

 

 

 

 

 

 

 

то t = 90.

Точно так же доказывается, что и остальные

углы на­

шего четырехугольника —прямые.

площадей площадь

большого

3°. Согласно аксиоме

сложения

квадрата равна площади маленького квадрата плюс сумма пло­ щадей четырех конгруэнтных треугольников. Таким образом,

(а + by = с2+ 4 • ~ ab.

Следовательно,

а2 + 2а6 + Ь2 —с2+ 2аЬ и а2 + 62 = с2,

что и требовалось доказать.

Верна и теорема, обратная теореме Пифагора.

334

Теорема 11.9

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квад- ратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямо­ угольный, причем прямой угол лежит против наибольшей сто­ роны.

в

в'

 

С

ь

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2+Ьг=сг

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Дан Д АВС, у которого, как на рисунке,

а2-\-Ь2 = с2.

Пусть

Д А 'В ’С — пр я моу гол ьный

треугольник

с катетами

а и Ь и

гипотенузой d. Тогда

c = d,

поскольку d2 =

— a2-\-b2 = c2. Вейлу

ССС

Д А В С ^ Д А'В'С'.

Следовательно,-

и

С.

Так как

/ . С

—прямой угол,

то прямым является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПИФАГОР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пифагора

обычно

рас­

 

 

 

 

 

сматривают как первого из

 

 

 

 

 

великих

греческих матема­

 

 

 

 

 

тиков, но о нем как о че­

 

 

 

 

 

ловеке

 

известно

лишь

 

 

 

 

 

очень немногое. Он родился

 

 

 

 

 

около

582 года

до

нашей

 

 

 

 

 

эры и жил сначала на ост­

 

 

 

 

 

рове

Самос

в

Эгейском

 

 

 

 

 

море,

а

позднее

на

юге

 

 

 

 

 

Италии.

 

 

и его ученики

 

 

 

 

 

 

Пифагор

 

 

 

 

 

посвятили

себя

математи­

 

 

 

 

 

ке,

астрономии

и

филосо­

 

 

 

 

 

фии.

Считается,

что

они

 

 

 

 

 

превратили

геометрию

в

 

 

 

 

 

науку; они

доказали

тео­

 

 

 

 

 

рему Пифагора

и открыли

 

 

 

 

 

существование

иррацио­

 

 

 

 

 

нальных

 

чисел.

Больших

 

 

 

 

 

успехов

достигли

они

и

 

 

 

 

 

в

астрономии:

в

шестом

335

веке до нашей эры они знали, что Земля круглая и что она дви­ жется вокруг Солнца. Пифагор и его ученики не оставили ни­ каких письменных свидетельств о своей работе, и поэтому никто не знает, как они это установили и какие из сделанных ими открытий принадлежат лично Пифагору.

Задачи к § 3

 

 

 

 

 

1. с — длина

гипотенузы

прямоугольного Д А В С , а и 6 — длины его катетов.

a)

Если

а = 12 и 6 = 1 6 ,

то

с =

?

B )

Если

а — 24 и с — 25,

то

6 =

?

c)

Если

а = 1

и 6 =

2,

то

с =

?

d)

Если

6 = 1 8

и с =

20,

то

а =

?

e)

Если

а — 7

и 6 = 7 ,

т о с =

?

f)

Если

а — 6

и с — 12,

то

6 =

?

2.

Человек прошел 8

км на

север, затем

3 км на восток и затем 3 км

на юг.

 

Насколько

далеко

находится он от

начальной точки своего пути?

 

3.

Человек прошел 1

км на

север, 2

км

на

Н

G

 

 

 

восток, 3 км на север и 4 км на восток.

 

 

 

Насколько

далеко

находится он

от

на­

 

 

 

чальной точки своего пути?

 

 

 

 

4.Каждые два пересекающиеся ребра этого прямоугольного тела перпендикулярны.

Дано, что

А Е = 3, AB — 4 и

В С = 1 2 .

Найдите длину диагонали

B E ;

диагона­

ли В Н .

 

 

 

5. Гипотенуза

прямоугольного

треугольника имеет длину 17, а один из кате­

то в— 15. Найдите плоіЦадь треугольника.

6.Длины сторон треугольника равны 6 см, 9 см и 11 см. Является ли он прямоугольным? Если да, то какая сторона является гипотенузой?

7.а) Доказать. Если т и « — положительные целые числа, удовлетворяющие

 

 

условию т > п ,

то

т 2+ п2— длина гипотенузы некоторого прямоуголь­

 

 

ного треугольника,- а яг2 — я2 и Ъпп — длины его катетов. Какой теоремой

 

 

вы

воспользовались?

 

 

 

 

 

 

B )

Сделайте таблицу,

озаглавив ее

столбцы следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

I

т I п I т2— я2 12тп |яг2+ я2 1

 

 

 

Пользуясь

методом задачи

а),

запишите в этой таблице целочисленные

 

 

длины сторон прямоугольных треугольников с длиной гипотенузы, не

 

 

превосходящей 25. Имеется шесть таких «пифагоровых троек».

8.

Покажите,

что если

р

 

и q — длины катетов некоторого

прямоугольного тре­

 

угольника,

а г — длина

его гипотенузы,

то каково бы

ни было положитель­

 

ное число k, числа kp, kq и kr также являются длинами сторон некоторого

 

прямоугольного треугольника.

 

 

 

9.

Какие из следующих троек чисел

могут

быть длинами сторон прямоуголь­

 

ного треугольника:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

30;

40;

60;

Ь)

16;

30;

34;

с)

10; 24; 26;

 

 

d)

- J ;

1;

I - } ;

е)

1,4;

4,8;

5,0;

 

 

С

 

 

 

9

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f> ! т : 2Т : 3І

?

 

 

 

 

 

 

 

10.

L С — прямой

угол в Д

АВС, А С = 20

 

 

 

и ß C = 1 5 .

Найдите

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ^AABC’ b) AB’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

высоту,

опущенную

 

на

гипотенузу.

 

 

336

Смотрите также файлы