Аргументы? (Для некоторых из этих шагов вам может потре боваться не один аргумент.)
Из этой теоремы мы можем вывести формулу для площади любого треугольника. Когда мы это сделаем, теорема 11.2 нам больше не будет нужна, так как общая теорема будет включать ее в качестве частного случая.
Теорема 11.3
Площадь треугольника равна половине произведения любого его основания на соответствующую высоту
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а и h —основание и |
высота тре |
угольника |
и S —его площадь. |
Нужно рассмотреть |
три случая. |
R |
R |
R |
|
1°. Если нижний конец высоты лежит между концами основания, то высота разбивает наш треугольник на два прямоугольных тре угольника с основаниями а1 и а.2) причем а1-\-а.2 = а. По предыду-
щей теореме площади этих треугольников равны ауг и ^ a2h.
Согласно аксиоме сложения площадей
S = у a-Ji + у aji.
Следовательно,
S = y (a1-\-ai)h = ~ah.
что и требовалось доказать.
2°. Если нижним концом высоты служит один из концов основа ния, то наш треугольник является прямоугольным и по предыду
щей теореме S = у ah.
3°. Если нижний конец высоты лежит вне основания, как на
третьем |
рисунке, то |
|
~2 аі^ + *5 = у (аі "Ь а) |
и, как |
и прежде, |
|
S = ^ ah. |
(Аргументы?)
Заметим, что теорему 11.3 можно применить к любому тре угольнику тремя способами: любую из трех сторон мы можем выбрать в качестве основа ния, умножить ее на соответ ствующую высоту и разделить на два. Каждое из произве дений
~п а Л , |
1 |
2 aJh |
|
|
о ^2^2 |
|
|
должно давать одно и то же |
|
|
число, потому что все они |
|
|
равны площади треугольника. |
площадь |
любого тре |
Теперь, когда мы знаем, как находить |
угольника, остается |
немногое: чтобы найти |
площадь |
многоуголь |
ной области, нужно |
разбить эту область на |
треугольники и сло |
жить площади этих треугольников. Этот прием особенно прост для трапеций.
Теорема 11.4
Площадь трапеции равна половине сумму оснований.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Пусть S — площадь трапеции. Р Любая диагональ делит тра пецию на два треугольника с основаниями аг и а2 и одной
и той же высотой h. (Поче му /4P = CQ?) В силу аксио мы сложения площадей
произведения высоты на
S= -jh(a1*Ü2)
S = ja1h+ Y aih= Yh(a1+ a2),
что и требовалось доказать.
Отсюда мы сразу же получаем формулу для площади парал лелограмма.
Теорема 11.5
Площадь параллелограмма равна произведению любого его основания на соответствую щую высоту.
Д о к |
а з а т е л ь с т в о . Пусть S —площадь параллелограмма. |
Каждый |
параллелограмм является трапецией, у которой аг = а2 —а. |
Следовательно,
S = у h (а + а) = ah.
Из формулы для площади треугольника вытекают два простых,
но полезных |
следствия. |
|
Теорема 11.6 |
|
|
Если два |
треугольника |
имеют одно и то же основание а и |
одну и ту же высоту h, |
то они имеют и одну и ту же пло |
щадь. |
|
|
|
R |
R1 |
Это очевидно, потому что площадь каждого из них равна
і ah.
Теорема 11.7
Если два треугольника |
имеют одну и ту же высоту h, то |
их плошриди относятся, как их основания. |
А |
R |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ах и |
а2 — основания наших тре |
угольников. Тогда |
|
|
<; |
аih |
OlS |
ABC _ |
_£______ |
S A P O R |
a 2h |
a a i |
Задачи к § |
2 |
|
|
|
1. В А АВС |
основание А С —8 |
и высота из вершины |
В равна 3. В |
Л DEF |
основание |
ЕЕ = 6. Найдите |
высоту из вершины D, |
если S ^ ABC = |
S ^ DEfi |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
А Р — прямой угол в |
Л PQR, PR — 16, PQ— 12 и RQ = 20. |
|
a) |
Найдите площадь |
Д PQR. |
|
|
B ) |
Найдите высоту, опущенную из вершины Р. |
3. |
На |
этом |
рисунке В — середина |
отрез |
|
ка |
АС и |
ED ИАС. |
Докажите, |
что |
S A A B E ~ S A B C D -
А В С
4. □ KM PR — параллелограмм. |
Дано, |
что т £ К — 30, К М = 1 1 и |
K R = 8 . |
Найдите S nKMPR. |
'30° |
М
б.Длина стороны ромба равна 12 и мера одного из его углов равна 150. Найдите площадь ромба.
6. Один прямоугольный |
треугольник имеет катеты в |
18 см |
и 14 см, а дру |
гой— в 12 см и 24 см. |
Как относятся площади этих |
двух |
треугольников? |
7. Две стороны треугольника имеют длину 15 см и 20 см, а высота, прове денная к первой стороне, равна 8 см. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
С
8. В |
Д |
АВС |
отрезок |
CD является вы |
|
сотой, |
проведенной |
к стороне |
AB, |
|
а |
А Ё — высотой, |
проведенной |
к |
сто |
|
роне ВС. |
|
|
|
|
|
|
|
a) |
Найдите |
ВС, если |
АВ = 8, |
CD = 9 |
и |
АЕ — 6. |
B ) |
Найдите |
CD, если |
A ß = l l , |
АЕ = |
5 и ß C = 1 5 . |
cj |
Найдите |
АЕ, |
если |
C D = h , |
A B — с и ВС = а. |
d) |
Найдите |
АЕ, |
если |
A ß = 1 5 , |
С £ > = 14 |
и ßC = 21, |
9.Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 50 см, длина одного
катета— 14 см, и площадь треугольника равна 336 кв см. Чему равна высота, проведенная к гипотенузе? Чему равна высота, проведенная к дан ному катету?
10. Треугольник и параллелограмм имеют равные площади и равные основа ния. Как относятся их высоты?
11. □ |
A B C D — параллелограмм, Е Й J J ) C , |
C F ± A B и B G ± T M . |
|
|
|
|
a) |
Чему |
равно |
A D , |
если |
Л В = |
18, |
_ E H = 10 и B G = 15? |
|
|
|
|
b) |
Чему |
равно |
DC, |
если |
AD = 2 2 , |
|
BG = 7 и E H = |
14? |
|
|
|
|
c) |
Если |
CF = 12, |
|
SG = 1 6 |
и В С = 1 7 , |
|
то AB = ? |
|
|
|
|
|
|
d) |
Если |
BG = 24, |
AD = 28 |
и |
AB = |
32, |
|
то EH = ? |
_ |
|
|
|
|
|
e) |
Если |
A B = y r',50, C F = |
6 |
и GB |
= |
=>/18, то BC = ?
12.□ TlfiCD на этом рисунке является квадратом и все отрезки, образующие границу звезды, конгруэнтны. Найди
те площадь звёзды, если заданы S и Ь.
13. Докажите, что две области, на которые медиана треугольника разбивает определяемую им треугольную область, имеют равные площади.
14. |
На правом рисунке □ M P R T является параллелограммом и T S = S R — RQ. |
|
Чему равно отношение |
|
|
а ) ^ A P B S и ^ Д Р Д о ? |
^ A P M O И ^ O M P R T * |
|
с) |
S ДРМО и S APOS? |
d) S A P Q R и S Q/HPSr? |
15. |
□ |
ABCD — трапеция с параллельны |
|
ми сторонами |
AB |
и CD. |
|
|
a) |
Если Л5 = |
18, |
DC = 1 2 , |
h = 9, то |
A B C D ~ ^
B ) Если S а ABCD = 84, A B = \ 7 , CD =
=И , то А= ?
c) |
Если |
S Q дВСд = 375, А = 1 5 , A B = |
= |
38, то |
CD = 7 |
