Теорема 11.1
Площадь прямоугольника равна произведению его основан, на его высоту.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмот |
рим рисунок: |
|
|
|
|
|
Здесь S обозначает неизвестную |
площадь |
нашего |
прямоугольника. |
Площади |
двух |
наших |
квадратов |
согласно |
аксиоме 22 равны а2 и h2, |
а площадь |
всей |
фигуры равна |
(іa + h)2. |
Поэтому, |
несколько |
раз |
применяя аксиому |
сложения |
пло |
щадей, получаем |
|
|
|
|
а2+ |
2S + |
Л2 = |
|
|
= (a + h)2 = a2 + 2ah + h2 |
|
и |
|
S |
— ah, |
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
Если вы интересуетесь, как мы из наших аксиом вывели, что два прямоугольника на рисунке имеют одну и ту же площадь, то посмот рите на этот рисунок:
Все четыре изображенных на нем треугольника конгруэнтны, и потому имеют одну и ту же пло щадь. А площадь любого из прямо угольников равна удвоенной пло щади треугольника.
Задачи к § 1
1. Покажите, что каждая из изображенных ниже областей является много угольной, разбив ее в соответствии с определением на треугольные области. Попытайтесь в каждом случае найти наименьшее число треугольных обла стей, на которые разбивается многоугольная область.
2. Чему на левом нижнем рисунке равна площадь S R , если область R яв
ляется объединением областей |
и R% и если S ^ t = 50 и |
= 25? Ука |
жите аксиому или теорему, подкрепляющие ваше заключение.
«2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Будет |
ли |
на правом |
рисунке S ^ = 60, если S Äi = 30, S Rj = |
30 и область R |
|
является |
объединением областей R 1 и R 2? |
Укажите |
аксиому |
или |
теорему, |
|
подкрепляющие ваше заключение. |
|
|
|
|
4. Найдите |
площадь прямоугольника длиной 16 см и высотой |
10,25 |
см. |
5. Квадрат и прямоугольник |
имеют равные |
площади. |
Чему |
равна сторона |
|
квадрата, |
если прямоугольник имеет размеры 25 см на 16 см? |
|
6. Как |
изменится площадь квадрата, если |
сторона его удвоится? |
утроится? |
|
сделается |
вдвое меньше? |
|
|
|
|
|
7. |
а) Как |
изменится |
площадь прямоугольника, если |
высота |
его |
удвоится, |
|
а |
основание останется прежним? |
|
|
|
|
|
B ) Как |
изменится площадь |
прямоугольника, если основание |
его |
удвоится, |
авысота останется прежней?
c)Как изменится площадь прямоугольника, если удвоятся и его высота и его основание?
8.Сколько нужно квадратных кафельных плиток размером 10 см на 10 см,
чтобы выложить ими прямоугольную стену 4 м 70 см на |
2 м 10 см? |
9. Докажите, что если два прямоугольника имеют одно и то |
же основание Ь, |
то их площади |
относятся, как их высоты. |
|
|
Ь, |
Я. |
R2 |
|
|
|
|
а |
а |
|
|
Доказать |
|
|
|
Л2 |
|
|
10. Прямоугольный участок земли засевают травой. Размеры участка 22 м на 28 м. Сколько потребуется килограммовых пакетов семян, если содержимого одного пакета достаточно для того, чтобы засеять 70 кв. м ?
11. На рисунке изображена поверхность детали какой-то машины. Чтобы под считать стоимость окраски большого числа таких деталей, нужно знать площадь этой поверхности. Затуше ванные области не закрашиваются. Найдите площадь области, которую нужно окрасить. Какие аксиомы и теоремы позволяют вам вычислить эту площадь?
12. Вычислите площадь прямоугольника с основанием а и высотой h, где
|
а) а = 17 и Л = 1 2 ; |
5) а = 1 4 |
и |
/і = б 4 - ; |
|
|
с) а = 3 |
и h = Y 5; |
d) а = |
У"10 |
и |
/i = j / l 5 . |
|
13. |
Вычислите |
площадь квадрата |
со стороной а, если, дано, |
что |
|
а) а = 24; |
Ь ) а = |
3 -^ -; |
с) |
a = V7\ |
d ) a = 4 J / 6- |
|
14. |
Укажите, |
верно |
или |
нет |
каждое |
утверждение; свои |
ответы подкрепите |
|
соответствующими доводами. |
|
|
|
|
|
|
a) Квадрат |
является многоугольной |
областью. |
|
|
B ) Каждому положительному числу соответствует единственная многоуголь |
|
ная область. |
|
|
|
|
|
|
|
c)Если два треугольника конгруэнтны, то соответствующие треугольные области имеют равные площади.
d)Треугольная область не включает в себя сам треугольник.
e)Площадь объединения двух многоугольных областей равна сумме их площадей.
f)Треугольная область является многоугольной областью.
g)Существует квадрат с площадью V 17.
h)Существует прямоугольник с площадью 4 J/5 , основание которого есть рациональное число.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15+ . Точки |
|
А, |
В , |
С, |
D, |
Е, F и G на |
|
|
|
этом рисунке |
называются |
вершинами, |
|
|
|
отрезки |
|
Ä B , |
В С , |
CD, |
D Ë, EG, |
GA, |
|
|
|
E F, F D |
и F В — ребрам и и многоуголь |
|
|
|
ные |
области |
A B E , |
F E D |
и B C D F — |
|
|
|
— гранями. |
Внешность |
всей фигуры |
|
|
|
также рассматривается как грань. Пусть |
|
|
|
f — число |
граней, |
о — число вершин и |
|
|
|
е — число |
ребер. В |
теореме, принадле |
|
|
|
жащей |
знаменитому |
математику |
Эй |
|
|
|
леру, |
рассматривается |
алгебраическая сумма / — е-\-ѵ |
чисел f, ѵ n e . |
Тео- |
. рема относится к большому классу |
фигур, |
к которому |
принадлежит и фи |
гура |
на |
|
нашем |
рисунке. Вычислим |
/ — e - j- v |
для этой |
фигуры: / = 4 , |
е = 9 |
и ѵ = |
7г |
|
так |
что 4 — 9 + |
7 = |
2. |
|
|
|
|
|
а) Вычислите |
f —e+v для |
каждой из фигур |
на следующих |
рисунках. (За |
метим, что |
ребра |
не обязательно должны быть отрезками. Правый рису |
нок мог бы быть |
куском |
географической |
карты какой-то |
страны, разби |
той на области.) |
|
|
|
|
B ) К какому наблюдению пришли вы в результате трех вычислений?
c)Возьмите на левом рисунке произвольную точку внутри четырехуголь ника и соедините ее отрезками с каждой из его вершин. Как это ска
жется на |
сумме / — е + о ? Можете ли |
вы объяснить, приему? |
|
d) Возьмите |
точку вне одной из наших |
фигур и соедините ее с двумя бли |
жайшими к |
ней вершинами. Как это скажется на сумме / — е-\-ѵ |
? |
e) Если эта |
задача вас заинтересовала |
и вам захотелось узнать о ней |
больше, |
вы |
можете прочесть о ней в |
книге «Числа и фигуры» |
Г. Раде |
махера и О. |
Теплица1). |
|
|
§ 2. ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
Выведем теперь, пользуясь нашими' аксиомами, еще несколько формул для площадей.
Теорема 11.2
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дан прямоугольный треугольник с кате тами а и Ь. Пусть S —его площадь. Построим прямоугольник UVWX (как на нижнем рисунке), две стороны которого являются катетами нашего прямоугольного треугольника. Тогда
1° . & V UX 2 É & X WV ,
2°. З д л ^ ѵ — S>
3°. S + S = ab,
4°. S = ~ab.
=ab=2S
1 «Наука», 1966, тема 13, п.2. См. также: р. К у р а н т и Г. Р о б б и н с * Что такое математика? М ., «Просвещение», 1967, гл. V, § 1.
