Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 337

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

11. Гипотенуза треугольника имеет длину 51, а один из катетов — 24. Найдите площадь треугольника.

12. На этом рисунке QR = 5, Р Р = 1 2 ,

R T = h, причем QR J_ R P и R T J_ PQ.

Найдите h.

13. Выразите длину h высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, через длины а и b его катетов.

г,V

П\

14.Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 24 и 32. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

15.Каждая сторона ромба имеет длину 10 см, а одна из диагоналей— 12 см. Найдите площадь ромба. Найдите его высоту, проведенную к любой сто

роне.

16.Один угол ромба имеет меру 60, а длина его стороны равна 5. Найдите длину каждой диагонали.

17.□ А BCD — трапеция, причем А В | DC.

Найдите

площадь

этой

трапеции,

если

отрезки

имеют

длины,

указан

ные

на рисунке.

18+ . а)

На

рисунке

указаны

прямые

углы и длины некоторых отрезков.

Найдите P B ,

P C

и PD .

Ь)

Если вы продолжите

то,

что

сде

лано

на рисунке, взяв т 2

P D E =

90 и D E = 1, то

чему

будет

рав

но

РЕ7

Чему

будет

равна

длина

шестого

отрезка,

выходящего

из

точки

Р?

Вы должны

обнаружить

интересную закономерность.

194 Одно

доказательство

теоремы

Пи

фагора,

котором

используется

этот

рисунок,

было

найдено

генералом

Д . Э. Гарфильдом за

несколько лет до

того,

как

он

стал

президентом Сое

диненных. Штатов. Оно было опублико вано приблизительно в 1875 г. в New

Englan d	journal	of Education. Д ока
жите, что a2 +		ö2 — с2,	алгебраически
выразив	тот факт, что		площадь трапе

ции равна сумме площадей трех на ших треугольников. При этом нужно доказать, что і. Е В А — прямой угол.

Р	1	А
D а	£
Г Г "~Л
г	/ \
! /	\	\
1 /		\
/		V
		\
	S.C	V
	Х	\

П_

СЬ А

337

2 0 *. Дана трапеция A B C D , причем A B ||DC,


АС		В С	и В Ъ 1 ÂD.		Чему	равна пло
щадь		этой		трапеции,	если	A B — 25,
AD — 15			и В С = 15?
2 1 *. В левом			Д	А В С имеем А С = 13, A B = 1 4
и	В С = 15.
а)	Найдите			высоту h c .

Ь) Найдите высоту /г*, проведенную к стороне АС,

0 С

2 2 *. В	правом		Д PQR L Q — тупой,		P Q = 1 1 ,	QR = 25 и P R = 30. Найдите
высоту,		проведенную к		стороне PQ;	найдите	S ^ P Q J ?-
23*. В	Д	MOQ	имеем:	МО _L OQ, МО = М
= ОР =		1 и	M P = PQ.	Найдите MQ.

Найдите т Z.Q и m /1 QM О,

24*+ . A BCD есть тетраэдр, все ребра кото			D
рого конгруэнтны и имеют длину 2.
Точки	Р	и S — соответственно середины
ребер	DC	и AB .

a) Докажите, что R S — общий перпенди

куляр ребер A B и DC.

B ) Найдите R S .

25*+ . Теорема Пифагора была		известна	древним грекам в следующей форме:
П лощ адь квадрат а,	построенного н а		гипотенузе прямоугольного треуголь
ника, равна сумме	площадей	квадратов, построенных на его катетах.

338

	Левый рисунок				иллюстрирует теорему; правый используется в доказа
тельстве. Следующие вопросы и ваши						ответы на них приводят к доказа
тельству теоремы				Пифагора:
a)	Почему	Z R A B ^			Z САМ ?
B )	Почему	А R A B s			А САМ ?
c)	Почему	S ARAB = S ACAM?
d)	Равна ли одна			из	высот A R A B длине АС?
e)	Почему. S D ЛС5/? =				2 5 д /г д в ?
f)	Верно ли,		что	S nAM0P = 2SACAM?
g)	Почему	S п ACSR =			S р АМор?
h)	Верно	ли,	что	S DBH0C = S aP()KB?
i)	Верно ли,		что	S aAMKB = S a p o K ß +		S oA M oP ? Почему?

Конкурсная задача		D	J	С
□ A BC D — квадрат;	Н, I , J и	К — се
редины его сторон, как показано на рисун
ке, и □ P Q R S — квадрат.	Найдите	отноше
ние

S O P Q RS

S 0 ABCD

§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Теорема Пифагора дает нам информацию о некоторых тре угольниках специального вида.

Теорема 11.10 (теорема о равнобедренном прямоугольном треугольнике)

Длина	гипотенузы	равнобедренного
прямоугольного треугольника равна: дли
не любого из его катетов, умноженной
на \f2.
Доказательство вы должны провести
самостоятельно.
Верна	ли и обратная	теорема?	с=а/2

339

Теорема П .11

Если длина основания равнобедрен ного треугольника равна длине любой из его конгруэнтных сторон, умноженной

на У 2, то угол, противоположный ос нованию, является прямым.,

Доказательство начинается	с замечания, что й2 + а2 = (а У й )2.
В § 7 гл. 9 мы выяснили,	что	в треугольнике 30-60-90 сто
рона, противоположная углу в 30°,		имеет длину вдвое меньшую
длины гипотенузы; мы знаем также,		что верна и обратная теорема;