Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 334

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

каждую

последовательность

заменить

пропорциональной ей последователь­

ностью,

начинающейся с единицы. В

нашем случае

мы получим:

 

 

ч

.

8

,

.

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a )

 

~з> 4 , з‘-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. ,

.

24

 

.

51

 

 

 

.

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B )

1 1

О I

I

Q I и л и ^ >

q

 

 

 

 

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с)

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь ответьте на наш вопрос.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Какие

пары

следующих

 

последовательностей

пропорциональны

(решить

это вам может помочь метод задачи 9)j

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

5,

7,

9;

 

b)

1,

2,

3;

с)

2 ~

,

3 ~ ,

4 - i ;

d)

8,

15,

17; е)

15,

30, 45;

f)

16, 30,

34; g)

1

,

 

1;

h)

1,25;

1,75;

2,25?

 

 

 

 

 

 

,

и

"

 

 

 

у,

если

X

 

у

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И .

Найдите х и

4Ö =

^

=

2Ö.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

іо

и

-

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

5

 

г

 

а

 

 

 

 

 

 

 

12. Найдите р, q и г, если

— =

— == — =

 

 

 

 

 

 

 

 

13+ . Какие

из

следующих

пропорций

верны

для

всех значений переменных,

исключая,

конечно,

те

значения, которые обращают какой-либо член про-

 

 

5 х

 

5

:

 

 

 

 

 

b )

 

а

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6х

 

6

 

 

 

 

 

8b =

8 a '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

S

 

t

_

 

 

 

 

а + b

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г 2

 

rs

 

tr ’

 

 

 

d ) а 2 - - b 2

a — b ’

 

 

 

 

 

 

 

е)

а + 6

=

а 2 +

b2 _

 

0

-

- -j- 1 _ * + + >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

иа -+г иb ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лX

 

 

у

 

 

лу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

14+.

а) Рассмотрим

 

ряд

пропорций:

2

 

4

=

6

8

=

18

 

 

 

 

о

 

о

—- = _

2 7

 

 

 

 

 

Проверьте,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 4 + 6 + 8 + 1 8

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + 6 + 9 + 1 2 + 27 — 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно

ли

такую же

операцию проделать с

какой-нибудь другой про­

 

 

порциональной

последовательностью?

Попробуйте!

 

 

 

 

Ь) Доказать. Если

 

 

 

 

а

__

с

 

е

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T ~ ~ d ==T ~ T '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q + c + e + g

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b +

d + / + / i

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

( У к а з а н и е .

 

Пусть

a/b =

k.

Тогда a =

kb,

а также

c = k d ,

e — fh, g —

 

 

=

kh.

Будет ли

 

 

 

 

a + c + e + d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь + d + f + h

 

>

 

 

 

 

 

 

Конкурсная задача

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажите следующую теорему:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Среднее

геометрическое

двух различных положительных

чисел всегда меньше,

чем

их

среднее

арифметическое.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( У к а з а н и е .

Пусть а >

6 >

 

0,

Нужно

показать,

что

У ab <

-^-(а + й).

 

12

 

Геометрия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

353

Попытайтесь

допустить, что

это неравенство

справедливо,

и выведите из

него

неравенство,

справедливость

которого вам

и з в е с т н а .

Это покажет

вам,

счего начать доказательство.)

§2. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теперь мы дадим определение подобия треугольников. Допу­ стим, что нам дано соответствие АВС — А'В'С' между Д АВС и Д А 'В 'С . Как обычно, а —это длина стороны, противополож­

ной вершине А, b—длина сто­ роны, противоположной В, и т. д. Если соответствующие углы треугольников конгруэнтны и

а

__

b

с

a'

~

b'

с' ’

то мы говорим,что соответст­ виеАВС ■*-* А'В'С' является подобием и пишем •*

Д А В С ~ Д А 'В ’С'.

Определение

Дано соответствие между двумя треугольниками. Если соот­ ветствующие углы треугольников конгруэнтны, а соответствую­ щие стороны пропорциональны, то это соответствие называется п о д о б и е м , а треугольники —п о д о б н ыми , треугольниками.

Здесь, как и в случае конгруэнтности, запись Д АВС ~

Д

А'В'С'

означает не только, что данные треугольники

подобны,

но и что

именно соответствие

АВС •«-> А'В'С'

является

подобием.

Таким

образом,

если дано,

что /Д А В С г^/\А 'В 'С >

то мы можем, даже

не глядя

на рисунок, немедленно

написать пропорциональность

а

_

Ь _

 

с

o'

b' ~~

с''

Если стороны не обозначены,

то эти соотношения принимают вид

В С

=

АС

=

А в

В ’С

 

А ' С

~

А'В' ‘

Определение подобия содержит два требования:

1°. Соответствующие углы должны быть конгруэнтны.

2°. Соответствующие стороны должны быть пропорциональны. , .

Оказывается,

что

если для треугольников

выполняется одно из ....

этих условий,

то

выполняется и другое.

Иными словами, если :

354

соответствующие

углы конгруэнтны,

то соответствующие стороны

пропорциональны,

и наоборот. Эти

факты

содержатся в УУУ-

теореме подобия

и в ССС-теореме подобия,

которые будут дока­

заны в этой главе позже.

одновременно требуя выпол­

Мы сохраняем

оба эти условия,

нения 1° и 2°. И это правильно, потому что треугольники—един­

ственные фигуры,

для которых идея подобия так проста. Рассмот­

рим, например,

квадрат и прямоугольник:

 

 

 

J

 

с

 

 

 

С'

 

 

 

 

□ --------------------

L

 

1

___ с

п

 

Г

о'

 

 

 

 

 

В соответствии ABCD

A'B'C'D' соответствующие углы кон­

груэнтны,

так

как

все они прямые. Но соответствующие стороны

не пропорциональны и, конечно,

ни одна из этих двух фигур не

является

моделью

другой.

Для

других четырехугольников может

встретиться иного рода ситуация. Рассмотрим

квадрат и ромб:

В соответствии

АBCD

A'B'C'D' соответствующие

стороны

пропорциональны, но фигуры имеют разную форму.

 

Задачи к

§ 2

 

 

 

1. Дано,

что

Д А В С ~

Д D E F ,

причем длины сторон указаны

на рисунке.

Найдите хи

у.

 

 

 

С

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

12*

355

2. Вырезан кусок картона, как на рисунке, где внутренняя и внешняя гра­ ницы области являются подобными четырехугольниками. Чему равны г, s и t, если длины сторон указаны на рисунке.

3. На

этом

рисунке Д А В С ~ Д ADE. Чему

равны

С

АС

и D E ,

если AD = 5, АЕ = 6, В С — 12 и

AB =

 

=15?

4. Из того,

что Д АВС ^ Д Л 'В 'С ',

следует

ли,

что

Д ЛВС ~

Д Л '0 'C '?

Почему?

 

 

 

 

 

 

 

 

5. С одной и той же пластинки

отпечатаны

две фотографические

карточки:

одна без

увеличения, а другая

с увеличением.

На первой

карточке неко­

торый объект имеет ширину 2

см

и высоту 2,3 см.

На

второй карточке

тот же объект имеет ширину 7,5

см.

Какую

он

имеет высоту?

 

6. Джон может получить хорошее приближенное значение высоты большого

дерева

с

помощью

следующего приема. Сначала он подходит

к

дереву

и отмечает

на

нем

точку, находящуюся приблизительно

в

1,5 л

от земли.

Затем

он

отходит

от

дерева на 40

шагов

(или

на 30 м).

Повернувшись

к дереву,

он

отодвигает от

себя маленькую

линейку

длиной

в

15 см,

держа

ее

вертикально

против

своих

глаз,

до

тех

пор,

пока она

не будет

точно закрывать от него дерево над полутораметровой отметкой. Пользуясь

веревкой, привязанной

к

одному

из

концов

линейки, он измеряет в

санти­

метрах расстояние A B

от

своего

глаза

до

линейки. Затем он легко

вычис­

ляет высоту дерева по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

й - 3

0

І |

+

.,5 .

 

С'

a) Объясните,

почему

эта формула дает

высоту

дерева.

В каких

единицах?

B ) Какой будет высота дерева, если

расстояние, измеренное

веревкой,

равно 20 см?

 

 

 

 

 

 

7. Докажите,

что

если

D и Е — соответственно

середины

сторон

АС и ВС

Д А ВС, то

Д CD E ~

Д С AB.

 

 

 

 

8. Докажите, что треугольник, вершины которого являются серединами сто­ рон данного треугольника, подобен данному треугольнику.

356

X

R

9.

Дан рисунок,

где Д Р М К ~ Л K L R . Докажите, что /. Q = L M K L .

10.

Д а н о: Трапеция

A BC D , где ~АВ [| CD

и Д AED ~

Д В ЕС . Т р е б у е т с я

 

д о к а з а т ь :

AD =

ВС . ( У к а з а н и е .

Какие еще

треугольники подобны?)

§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Рассмотрим Д АВС с поперечной полоской DE, параллельной

основанию

ВС. Похоже

на

то, что соответствие АВС *-*■ ADE

является

 

подобием.

И

действи­

А

тельно,

довольно легко

доказать,

 

что соответствующие углы конгру­

 

энтны.

(Доказательство?)

Пока­

 

зать, что соответствующие стороны

 

пропорциональны, несколько труд­

 

нее. Мы начнем со следующей тео­

 

ремы,

утверждающей,

что

н а-

 

к л о н н ы е

стороны на нашем ри­

 

сунке пропорциональны.

 

 

 

Теорема 12.1

(основная

георема о пропорциональности)

 

 

 

 

 

 

А

Если прямая, параллельная од­ ной стороне треугольника, пересе­ кает две другие его стороны в раз­ личных точках, то она отсекает от этих сторон отрезки, пропор­ циональные самим сторонам.

Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Пусть D u Е —точки сторон AB и АС Д АВС такие, что DE \\ ВС. Тогда

AB _ ЛС

AD ~7 А Е ’

3 5 7

Смотрите также файлы