Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 330

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


16+. Типограф			хочет		сделать	пригласительный		12
билет	длиной		12	см и такой		ширины,	чтобы,

когда	он	сложит		этот билет		пополам,	как по
казано	на	рисунке,			билет имел ту же		форму,

что и в		начале. Какой	должна	быть	ширина?
					т
17*+.	Докажите следующую теорему:
	Дан	произвольный	А АВС.	Если	биссектрисы внутреннего и внешнего
углов с вершиной А пересекают прямую ВС соответственно в точках D и
D ',	то		BD	_ С Р
			BD	_ С Р
			BD’ ~ C D "

( У к а з а н и е .

Проведите

прямую

СЁ,

параллельную AD', и воспользуй

тесь теоремой 12.1 и задачей 9.)

18*+.

а)

Чему

задаче

равны

BD, DC

и CD',

если

АС =

АВ =

ВС = 1 6 ?

Чему в

задаче

равны

BD,

DC и

CD', если т L ВАС — 90; ЛС =

и ЛВ = 8?

силе, если AB < АС? Проиллюстри

19*+ . Остается ли теорема из задачи

17 в

руйте

и объясните. Как изменится теорема, если

AB — АС?

2 0 *+ . Треугольник

имеет стороны

12 и

16.

Биссектрисы

наибольшего внут

реннего угла и наименьшего

внешнего

угла пересекают

прямую,

содержа

щую

противоположную

сторону,

соответственно

точках Л и

Найдите

расстояния

точек

X и

К от вершины наименьшего

угла

треугольника.

К о н к у р с н а я задача

Дан

А ЛВС,

у которого

Л В > Л С .

Биссектрисы

внутреннего

и внешнего

углов с

вершиной А

пересекают прямую

ВС

соответственно в точках

D и Е.

Докажите, что

V AD2+ AE3

}/'AD* +

AE*

CD BD

§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПОДОБИИ

Теорема 12.3 (УУУ-теорема о подобии)

Дано соответствие между двумя треугольниками. Если соот ветствующие углы треугольников конгруэнтны, то это соответ ствие является подобием.

362

Д р у г а я	ф о р м у л и р о в к а .			Дано соответствие АВС*-+ DEF
между двумя	треугольниками.		Если		Z. A SÉ L D, Д В ~ Д Е и
L C c ^ ^ F ,	то Д АВС ~ Д DEE.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как соответствующие углы треуголь
ников конгруэнтны по предположению, то нам остается						лишь до
казать, что соответствующие		стороны			пропорциональны,	т. е. что
	A B	_	А £	__	ВС_
	D E	~	D F	~	E F '

Мы покажем, что выполняется п е р в о е из этих соотношений. Точно такое же рассуждение, в котором нужно только изменить обозначения, показывает, что выполняется и второе соотношение.

Перейдем к доказательству того, что

A B	_	АС
D E	~	D F ■

Пусть Е' и F '—такие точки лучей AB и АС, что АЕ' — DE и AF' = DF. На основании СУС имеем

A A E ’F’ g z A D E F .

Следовательно, Д АЕ'F' ^	Д Е . Так как Д Е ^ Д В , то
Д AE'F'			Д В .
Рассмотрим два случая.	AE'F' и Д АВС совпадают. В этом
1°. Если Е' —В, то Д	AE'F' и Д АВС совпадают. В этом
случае ДЛДС — ДА ЕЕ и
	А В	_	АС
	DE	~	DF ’

ибо каждое из этих отношений равно единице. (Почему?)

2°. Если точка Е' отлична от В, то прямые E'F' и ВС па раллельны. (Почему?) По основной теореме о пропорциональности

А В АС

А Е’ ~ AF' '

363

Так как АЕ' = DE и AF' = DF, то отсюда следует, что

АВ _ АС DE ~ DF ’

а это нам и требовалось доказать.

Напомним, -что в силу следствия 9.13.1 конгруэнтность двг/л: углов одного треугольника соответствующим углам другого тре угольника влечет и конгруэнтность третьего угла первого треуголь ника третьему углу второго треугольника. (Разумеется, это свя зано с тем фактом, что сумма мер углов любого треугольника равна 180.) Отсюда вытекает

Следствие 12.3.1 (УУ-следствие)

Дано соответствие между двумя треугольниками. Если два угла одного треугольника конгруэнтны двум соответствующим углам другого треугольника, то это соответствие является подо бием.

Теперь мы можем доказать более сильный вариант основной теоремы о пропорциональности, оправдывающий замечание, сделан ное в начале предыдущего параграфа (на стр. 373).

Следствие 12.3.2

Если прямая, параллельная одной стороне треугольника, пере секает две другие его стороны в различных точках, то она отсекает треугольник, подобный данному треугольнику.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Д ADE
и /, В являются соответственными		А
углами, образованными	секущей

АВ с параллельными прямыми DE

и ВС\ потому они конгруэнтны. Итак, /_ ADE ^ /, В. Поскольку L Л = L А, то из УУ-следствия вытекает, что

& A D E ~	АВС.
Задачи к § 4 (часть 1)
1. Д а н о : Рисунок, где	АС \|\|S D -

Тр е б у е т с я д о к а з а т ь . 1°.

ДАСЕ ~ Д BDE.

2». АЕ • ED — CE <ЕВ.

364

2, Д а н о :	Трапеция	PQRS, где Si? \|j PQ;
середины U и V		сторон SR и PQ; диа
гональ	SQ.

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . U S -M Q = = VQ •MS.

3. Дан	рисунок, где	A D - 1 4 ,	E D — 12,
ВС =	15 и ЕВ = 4.	Найдите	АС, АЕ и
AB.

4. В Д G H R имеем ОК = Яі<\ PR 1 G R и PQ !_ НК- Докажите, что

GR ■PQ — P R ■HQ.

5. Докажите следующую теорему:

Любые две соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.

6. Z С — прямой угол			в	Д АВС	и	CD —	С
высота, проведенная			к	гипотенузе.
a)	Назовите	хотя бы		один угол,		конгру
	энтный L АС В.
B)	Назовите	угол, конгруэнтный				L г.
c)	Назовите	треугольник,			подобный

ДАВС.

Запишите подобие между ними.

7. На этом рисунке RQ 1 P Q , P Q l .P T и ST J L PR . Докажите, что

ST • RQ — PS ■PQ.

365

8. Дан рисунок. Выразите х через а,	L
Ъ и с.

9. На этом рисунке □ DEFG — квадрат
и /. С — прямой угол.		С
Докажите: 1®.	Д ADG ~ Д GCF.	С
2®. & A D G ~ & F E B .
3®.	AD ■ ЕВ —DG ■ FE.
4».	DE = V A D -EB.

10. Докажите следующую теорему:

Любые две соответствующие бис сектрисы подобных треугольников от носятся как соответствующие сто роны.

11*.	Дан	рисунок, где	\|\|/2	и отрезки
A P ,	BQ,	CR пересекаются в		точке К-

a)Назовите три пары подобных тре угольников и запишите три соот ветствия подобия.

B) Докажите, что

AB АС ВС

PQ ~ PR ~ RQ ‘

12*. Дан рисунок с помеченными на нем					В
перпендикулярами.
a) Докажите,		что Д	BFC ~	Д ADC.
B) Докажите,		что
	BF	A D -B C
	BF	АС	*
		АС	*
с) Докажите,		что
BE	CD	АС	AD	ВС
AB ~	АС	‘ А В +	АС '	AB *