Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем рас
сматривать AD и BD как основания Д ADE и Д BDE. Тогда эти тре угольники имеют одну и ту же вы соту. (Почему?) Следовательно, по теореме 11.7 отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е.
’двоя |
BD |
|
’ A A D E |
ÄD' |
^ |
nLJ |
'Точно так же будем рассматри
вать АЕ и СЕ как основания Д ADE и A C D E . Так как эти треугольники
|
имеют одну и ту же |
высоту, то, как |
|
и выше, заключаем, |
что |
|
|
J A C D E |
С Е |
( 2) |
|
'ÄË' |
|
S&ADE |
|
|
Д BDE и Д CDE имеют одно и то же основание DE (см.
первый из наших трех рисунков). Поскольку прямые DE и ВС параллельны, эти треугольники имеют и одну и ту же высоту. Следовательно, по теореме 11.6
5 д в с в = |
5 д |
C D E - |
|
(3) |
Сопоставляя равенства |
(1), (2) |
и |
(3), получаем |
|
|
Д О _С£ |
|
|
(4) |
|
A D ~ |
А Е ' |
|
|
|
|
Прибавляя к обеим частям равенства (4) по |
1, имеем |
|
B D + AD |
С Е + А Е |
|
A B |
АС |
(5) |
AD |
АЕ |
|
ИЛИ A D ~ ~ |
А Е ’ |
|
|
что и требовалось доказать.
Обратную теорему доказать гораздо легче.
Теорема 12.2
Если прямая, пересекающая две стороны треугольника, отсе
кает от них |
отрезки, пропорциональные |
этим двум сторонам, |
то она параллельна третьей сто- |
д |
роне. _ |
|
ф о р м у л и р о в к а . |
|
Д р у г а я |
|
|
Дан А АВС. |
Пусть D — точка ме |
|
жду А и В, |
а |
Е — точка между А |
|
и С. Если |
АВ |
АС |
|
|
|
|
AD |
А Е ’ |
|
то DE ЛВС.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
прямая ВС*, |
проходящая |
через |
В и параллельная DE, пересекает прямую АС |
в точке C'. |
По |
предыдущей теореме |
__ А С |
|
|
А В |
|
|
AD |
~ |
АЕ ' |
|
|
Так |
как по предположению |
|
|
|
|
|
|
|
|
А В _ |
АС |
|
|
|
|
|
|
AD ~~ АЕ • |
ТО |
|
|
|
|
|
АС' |
АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АЕ ~~ ~АЕ |
и |
АС' = АС. Следовательно, |
С = С и DE || ВС. |
З а д а ч и к § |
3 |
|
|
|
|
|
1. |
В |
Л А В С имеем |
D E || А В . |
|
|
С |
|
a) |
Найдите |
СЕ, |
если |
дано, |
что |
ЛС = |
12, |
|
|
CD = 4 |
и В С = 24. |
|
|
|
|
|
B ) |
Найдите |
B E , |
если |
дано, |
что |
АС = |
15, |
|
|
ЛО = 3 |
и ßC = 25. |
|
|
|
|
|
c) |
Найдите |
ВС, если |
дано, |
что |
AD — 6, |
|
|
CD = 4 |
и CD = 7. |
|
|
|
|
|
d) |
Найдите |
С £ , |
если |
дано, |
что |
CD = |
8, |
|
|
ЛС = 18 |
и ß C = 6. |
|
|
|
|
|
e) |
Найдите |
ЛС, если |
дано, что AD = СЕ, |
|
|
CD = 4 и Е В — 9. |
|
|
|
/? |
2.Дано, что S T ||PQ в А ßQD. Дополните следующие утверждения:
|
а) |
R P |
? |
|
|
R S |
? |
’ |
|
с) |
? |
S P |
|
|
? |
R P ’ |
|
|
|
е) |
R S |
? |
|
|
R T |
? |
' |
|
Ь) |
R S |
|
? |
|
|
S P ~ |
У |
’ |
|
|
|
|
R T |
|
? |
|
|
d) RQ |
|
? |
’ |
|
0 |
RQ |
|
p |
|
|
R P |
= |
У * |
|
|
|
|
3.В каждом из изображенных здесь треугольников проведен отрезок, парал
лельный основанию, и указана длина |
некоторых отрезков. Во всех слу |
чаях найдите х, считая остальные буквы |
известными. |
4. В |
Д УМ К |
имеем т L |
М = |
т L H G K = x . |
J |
a) |
Дано, |
что J H = 7, J K |
— 21 и GK = 1 0 . |
|
|
Найдите M G . |
|
|
|
|
B ) |
Дано, |
что H K = M G, |
М К = 6 |
и J H = 8. |
|
|
Найдите GK- |
|
|
|
|
c) |
Дано, |
что G K = 7 , |
H K = 2 M G |
и Л / = 1 4 . |
|
|
Найдите УК . |
|
|
|
|
d)Дано, что КУ = 24, Я К = М К и KG = 4. Найдите /ИК.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Будет ли PQ || A B , |
если |
отрезки |
на рисунке |
|
имеют указанные длины? |
Объясните, |
почему |
|
ваш ответ |
правилен. |
|
|
|
|
|
6. |
Будет ли |
UV |] R T , |
если |
отрезки на |
рисун |
|
ке имеют указанные длины? Объясните, |
|
почему |
ваш |
ответ |
правилен. |
|
|
|
7. |
Д ля каких |
|
из следующих наборов длин бу |
|
дет FG ИВС- |
|
|
|
|
|
|
|
a) |
AB = |
14, |
ЛУ = |
6, |
ЛС = |
7, |
AG = |
3; |
|
b) |
AB = |
12, |
£ ß = |
3, |
ЛС = |
8, |
Л б = |
6; |
|
c) Л £ = 6, £ ß = 5, ЛС = 9, G C = 8 ; |
|
d) |
ЛС = |
21, |
GC = |
9, |
Л ß = |
24, |
Л £ = 5? |
8. Дан рисунок (внизу слева) спометками. Най дите все значения х, при которых D£ \\ AB.
9. Докажите следующую теорему:
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, длины которых пропорциональны длинам смежных с ними сторон.
Другая формулировка. Если |
AD— |
С |
биссектриса |
/. |
Л А А В С |
и точка D лежит |
|
н а стороне |
В С , |
то (рис. внизу справа) |
|
|
BD _ В А |
|
|
|
|
CD ~ С А ‘ |
|
|
|
(Указание. |
Проведите прямую С Е , |
па- |
|
раллельную |
стороне A D . |
Покажите, |
что |
|
А С = А Е .) |
|
|
|
|
|
10. С помощью теоремы задачи 9 ответьте на следующие вопросы:
|
|
|
|
|
a) Стороны |
треугольника |
имеют длину |
15, |
20 и 28. |
Какую длину имеют отрезки, на |
которые делит противоположную |
сторону |
биссектриса наибольшего угла? |
биссек |
триса наименьшего угла? |
|
|
B ) Стороны |
треугольника |
имеют длину |
12, |
18 и 24. |
Найдите длину |
отрезков, на |
ко |
торые биссектриса каждого угла делит противоположную сторону.
11. На этом рисунке PS \ AD, SR \\DC,
RQ II ВС. Докажите, что PQ || ЛД. 12. Докажите следующую теорему:
Если три или более параллельных пря мых пересекаются двумя секущими, то от секаемые на этих двух секущих отрезки про порциональны.
Д р у г а я |
ф о р м у л и р о в к а . |
Если |
секущие |
tj |
и |
t2 |
пересекают параллельные |
прямые Іѵ |
/а и |
Ія |
соответственно в |
точках |
А, В, С |
и D, |
Е, |
F, то |
|
AB_DE
ВС EF ■
( У к а з а н и е . Проведите DC или A F.)
13. Как показано на схеме, три участка земли простираются от Мэйнстрит до Бродвея. Боковые части их границ перпендикулярна Мэйн-стрит. Найдите длину границы каж дого участка по Бродвею, если общая длина границы всех этих трех участков по Брод вею составляет 108 м.
14+ . Д а н о . Параллельные |
плоскости Е, F и G |
и секущие Тг и Т2, как |
на |
рисунке. |
т |
, |
|
AB |
PQ |
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . |
|
= щ - . |
( У к а з а н и е . Проведите отрезок ЛД .)
15+ . Доказать. Диагонали трапеции пересе каются в такой точке, что длины отрезков одной диагонали пропорциональны длинам отрезков другой.
