§ 6. ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Если даны квадрат со стороной а и квадрат со стороной 2а, то легко видеть, что площадь второго квадрата в четыре раза больше площади первого: (2а)2 = 4а2. (Это легко усмотреть также и геомет рически, не пользуясь никакими формулами для площадей.) Вообще, если первый квадрат имеет сторону а, а второй —сторону ka, то отношение их площадей равно k2, так как
Оk a f _ |
k2a 2 _ |
, 2 |
а2 |
а2 |
К ' |
Для подобных треугольников имеет место аналогичный результат.
Теорема 12.9
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно квадрату отношения любых двух соответствующих сторон.
В'
В
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дано, что Д АВС ~ Д А'В'С . Пусть пло щади этих треугольников равны Sx и S2. В обычных обозначениях
имеем
д _ ѵ_ = д
аb с
Пусть k — общее значение этих трех отношений. Мы хотим показать, что
Si = k2.
Пусть BD и B'D' — высоты этих двух треугольников, проведен
ные из вершин В и В ', a h и h' — их длины. Поскольку Д |
А В С ~ |
~ Д |
А'В'С', |
то |
/ _ А ^ / _ А ' . Кроме того, Д ADB ^ |
A'D'B', |
так |
как оба |
эти |
угла — прямые. Поэтому из УУ-следствия выте |
кает, что |
|
AABD~AA'B'D', |
|
|
|
|
|
Из |
последнего |
подобия имеем |
|
(ведь соответствующие стороны подобных треугольников пропор циональны). Отсюда следует
b '^ k b , |
h'*=kh. |
Но |
|
S ^ b h , |
S2 = ~b'h'. |
Поэтому |
|
S2 = ~ b’h' = J |
(kb) (kh) - J k2bh |
что и требовалось доказать. Задачи к § 6
1. Чему равно |
отношение площадей двух подобных |
треугольников, наиболь |
шие стороны |
которых имеют соответственно длины |
3 см и 4 см? |
2. На этом рисунке L A ^ с А' и С В = .
^Z. В ' . Чему равно отношение площа
дей изображенных треугольников, если
х = 5 |
и |
х ' — 7? если |
і/ = 4 и г/' = 3]Аз? |
если |
* = |
6, y — 2 Y § |
и у ' = х ? |
3. Сторона одного из двух подобных тре угольников в 5 раз больше соответст вующей стороны другого. Чему равна площадь большего треугольника, если площадь меньшего равна 6 кв. см?
4. G — середина стороны P R , а Н — середина
стороны QR в |
Л PQR. Чему |
равно отно |
шение SA G H R |
к S ^ p Q R ? |
S A G H R к |
PQHG^ |
|
|
5.Площади двух подобных треугольников равны 16 и 25. Чему равно отноше ние длин любых двух соответствующих сторон?
6.Площадь большего из двух подобных треугольников в 9 раз больше пло щади меньшего. Чему равна длина стороны большего треугольника, если соответствующая сторона меньшего имеет длину 5 см?
7.Площади двух подобных треугольников равны 144 и 81. Чему равно осно вание меньшего треугольника, если соответствующее основание большего равно 30?
8. D — такая точка стороны АС в Л А В С , что AD — 2CD, а Е — такая точка сто
роны |
ВС , что |
D E II A B . |
Сравните площади Д CD E и Д А ВС . Чему равна |
^ Д А |
В С ’ есл и |
ЛВ££> = |
40? |
9. А Л ВС и А А 'В'С ' — равносто |
с ‘ |
ронние |
треугольники. |
Высота |
А А 'В 'С ' имеет |
ту же |
длину, |
|
что и |
сторона |
А А В С . |
Дока- |
Q |
жите, |
что |
|
|
» |
S A A ' B ' C ' ~ ~ 3 S & АВС- |
у |
|
|
|
А |
В |
10. Какую длину должна иметь сторона равностороннего тре угольника, для того чтобы его площадь была вдвое больше площади равностороннего тре угольника со стороной дли ны 10?
11. Д а н о : □ PQRS и □ P'Q'R'S’ с изображенными на рисунке пометками.
Z X s * L x', |
L y ^ L y ' r |
—— — k
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь .
P ' Q ' R ' S '
P QRS
12*. Два куска проволоки равной длины согнуты, один в форме квадрата, а другой в форме равностороннего треугольника. Чему равно отношение пло щадей областей, ограниченных этими кусками проволоки?
13*. CD — высота |
А А В С , |
проведенная |
из вершины |
В . Требуется |
найти пря |
мую I, |
параллельную |
Ä B |
и |
отсекающую |
треугольник, подобный |
А АВС, |
площадь |
которого |
составляет |
половину |
площади |
А А ВС . Какой |
должна |
быть длина |
отрезка |
СМ, если М — точка |
пересечения I и CD и если CD = |
1? |
14+. Т е о р е м а |
П и ф а г о р а . Теорема |
12.8 |
позволяет доказать |
теорему |
Пи |
фагора |
еще одним способом. Вам нужно привести обооснования |
всех утвер |
ждений |
этого доказательства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
рисунке |
L |
А С В — пря- |
|
|
|
С |
|
|
|
мой и CD — высота, проведенная |
|
|
|
|
|
|
|
из |
вершины |
С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S A |
ЛВС = |
5 Д A C D + |
S & C B D - |
|
|
|
|
|
|
|
о |
1 |
5 ДЛС£> |
, |
SA C B D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*. 1 |
О |
|
|
" Г о |
А В С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° Д А В С |
|
° Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
А ACD ~ |
|
А АВС ~ |
А CBD . |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
А В2= |
АС2 -\- ВС \ |
или |
с2— а2-\гЬг. |
|
|
|
|
|
|
15*. Дан тетраэдр A BCD с основанием А А ВС . Плоскость, параллельная основанию, пере
секает грани тетраэдра по Д R S T . DQ — пер пендикуляр, опущенный из D на плоскость
Л А В С ,и |
DQ' пересекает данную плоскость |
(параллельную плоскости Д А ВС) в точке Р. |
Доказать, |
что |
5А R S T |
|
\а |
|
|
S A |
A B C |
{ B Q / |
|
|
Конкурсная задача |
|
|
|
|
Треугольный |
участок |
земли, |
как |
указано, |
на рисунке, имеет |
стороны |
длиной |
39 |
ж, 42 м |
и 45 ж. Длина перпендикуляра, опущенного из
вершины С на 42-метровую |
сторону Ä B , равна |
36 ж. Забор, построенный |
перпендикулярно |
42-метровой стороне, делит площадь участка на две равные части. На каком расстоянии от вер
шины А |
должен находиться принадлежащий |
A B конец |
забора? |
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
Рассмотрим два |
прямоугольных тре |
|
угольника, имеющих по |
конгруэнтному |
|
острому углу. Из УУ--следствия мы |
|
знаем, |
что Д |
АВС |
1QгС*, |
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
В' |
|
|
а __ |
b __ с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
är ~ ~ V ~ c r‘ |
|
|
|
|
Из этих равенств легко вывести, |
что |
|
|
а |
__а ' |
b ___ 6' |
а |
а' |
|
|
|
b |
6' ’ |
с |
с' ’ |
с |
с' |
' |
|
|
Таким образом, отношения а/с, |
bjc и |
а/b не зависят от размеров |
треугольника; |
они |
определены, |
как |
только известна мера |
А. |
Эти отношения называются тригонометрическими отношениями. (Тригонометрия—греческое слово; тригон — т&чт «треугольник», так что тригонометрия—это измерёние треугольников).
Отношение а/с называется синусом /_ А, что записывается так:
sinz. А = ~ .
