14*Д На этом рисунке каждый из отрезков РА,
QB и RC |
перпендикулярен |
отрезку |
АС. |
|
а) Дополните. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
РАС ~ Д |
... и |
|
|
|
|
|
ДЛВ<3~ Д ... . |
|
|
|
Ь) |
Что правильно: |
|
|
|
|
|
|
г |
_ п |
или |
«І+ П |
|
|
|
X |
~~ т |
|
|
|
c) |
Что правильно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
_ |
т |
или — = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У ~ |
п |
|
У |
т-{;П |
d) Покажите, |
что |
|
|
1 |
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
У ~ 2 |
15*+. «Первый человек может выполнить работу за 6 часов, а второй ту же ра боту может выполнить за 3 часа. За сколько часов они выполнят работу, если будут работать вместе?» На этот вопрос можно ответить, решив урав нение
Решите это уравнение геометрически. ( У к а з а н и е . |
См. задачу 14.) |
Конкурсная задача |
|
|
Вот часто встречающаяся задача об электрических |
цепях. Цепь состоит |
из двух проводов с сопротивлениями |
и R 2, соединенных параллельно. Чему |
равно общее сопротивление цепи? |
|
|
|
|
|
YR |
|
|
|
J |
Сопротивление R цепи определяется из равенства |
|
1= 1+ 1 |
|
|
R |
R ^ R s ' |
|
Пользуясь этим равенством, выразите R через |
и R 2. |
Для |
нахождения R по известным /Ц и Р 2 пользуются .следующей схемой1). |
На трех |
лучах, проведенных, как |
показано ниже, |
нанесены числовые шкалы. |
Кзначениям R t и R2 на двух внешних шкалах прикладывают линейку,
ив точке пересечения этой линейки с третьей шкалой читают значение R.
1)Геометрические схемы такого рода, позволяющие геометрически опреде лять значение неизвестной величины по данным, известным нам, называются
номограммами.
«2
Например, если R x= 12 |
и R 2= 6, |
то R = |
4; если |
# j = 1 0 |
и R 2 = 1 0 , |
то R = |
5. |
a) Найдите R , если дано, |
что /?х = |
4 и |
= 1 2 ; /?х = |
6 и R |
2 = 3; /?, = 7 |
и R 2= |
7. |
b)Пользуясь следующим рисунком, объясните, почему описанная выше схема дает правильный результат.
Следующая теорема удобна и легко доказывается.
Это сразу вытекает из определений конгруэнтности и подобия.
Теорема 12.5 (СУС-теорема о подобии)
Д ано |
соответствие м еж ду |
двумя |
т реугольниками. |
Если две ст ороны одного |
т реугольника пропорциональны |
соответствующим двум |
ст оронам |
другого т ре |
угольника |
и заключенные м еж ду |
ними |
углы конгруэнтны, то это |
соответствие |
является |
подобием. |
|
|
|
|
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . |
Д аны Д А ВС и & D E F и соответствие |
А В С -<r+D EF. |
Если |
|
|
A B |
АС |
DE |
DF |
и |
|
|
L |
А |
|
то |
|
|
Д АВС ~ |
A D EF . |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о , |
1°. |
Пусть |
Е' и Д' — такие |
точки лучей Â B и А С, |
что |
AE' = D E и AF' = DF. |
|
|
|
|
|
На |
основании С У С |
имеем |
Д AE'F' ^ |
A D E F . |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АЕ' |
~ |
A F " |
|
|
2°. По теореме |
12.2 |
(обратной к |
основной теореме |
о пропорциональности) |
Ш '\\ ВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°. Следовательно, / |
|
S 9 ^ |
/ |
AE'F'. (Почему?) |
|
|
4°. Так |
как |
/. А ^ |
/. А, |
то |
из УУ-следствия вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
Д А ВС ~ |
Д A E'F'. |
|
|
5°. Так |
как |
Д |
A E'F ~ |
Д D E F , из теоремы 12.4 вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
|
Д А ВС ~ |
A D E F , |
|
аэто нам и требовалось доказать.
Взаключение мы докажем теорему, в известном смысле обратную У У У - теореме о подобии.
Теорема 12 .6 (ССС-теорема о подобии) |
|
|
Д ано |
соответствие |
м еж ду двумя |
т реугольниками. |
Если |
соответствующие |
стороны |
т реугольников |
пропорциональны, то это соответствие является подо |
бием . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д р у г а я |
ф о р м у л и р а в к а . |
Д аны Д А В С и |
& D E F |
и соот вет ст вие |
A B C * - * D E F . |
|
|
|
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
АС |
= |
ВС |
|
|
|
|
D E ~ |
D F |
~ |
E F |
’ |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д А ВС ~ |
Д D E F . |
|
|
|
