Если т Z А — г, то можно также |
писать |
л |
О |
Sin r ° = |
— , |
|
с |
Эти записи имеют смысл, поскольку отношение а]с определено, если мы знаем Z А или г.
Аналогично, отношение Ь/с |
называется косинусом Z А, и мы |
пишем |
|
cos Z . A - —, |
или cosг° = —, |
с |
с |
Отношение alb называется тангенсом Z А, что записывается так:
|
tg Z A = j , |
или tg r° = ~ . |
Итак, |
|
|
|
|
sin Z А = |
sinr° = —, |
|
|
с |
’ |
|
|
L |
|
|
cos Z A = cos r° = —, |
|
t g Z A = |
tgr° = | . |
|
Для некоторых углов и некоторых |
чисел |
г тригонометрические |
отношения |
легко |
подсчитать. |
Пусть, |
например, |
г — 45. |
Так как тригонометрические от |
ношения от размеров треугольника не зависят, то мы можем взять любой прямоугольный Д АВС с углом в 45° при вершине А. Этот треугольник будет
равнобедренным, |
причем а = 6. |
Если мы |
примем, |
что |
a — b= 1, |
то |
по |
теореме |
Пифагора |
с = 1/2, |
как это показано на |
рисунке. |
Теперь мы имеем |
|
|
|
* . |
ц |
- |
j г - 0 |
й |
|
1 |
1^"2 |
|
sin,/ ^4 = sin45 |
с |
у |
2 |
2 |
’ |
|
|
|
|
cos Z A = cos 4 5 °= — = - ^ - = ^^-, |
|
|
|
|
с |
у |
2 |
2 |
|
tg Z A = t g 4 5 ° = f = 1 = 1 .
(Вопрос. Изменились ли бы тригонометрические отношения, если бы мы взяли а = 6= 3? Почему да или почему нет?)
Случай г = 30 почти столь же прост.
Из теоремы 9.27 мы знаем, что а = ~ . Так как размеры тре
угольника роли не играют, мы можем, как показано на рисунке, считать, что с= 2 и й = 1 . Тогда по теореме Пифагора Ь2 = с2 —а2= = 4 —1=3. Мы можем теперь выписать значения:
( П р е д о с т е р е жение . В выражениях sinг°, cos/-°, tgr° мы пользуемся знаком 0 градуса. Мы это делаем по той причине, что позднее вы будете пользоваться другой единицей измерения углов, называемой радианом. Чтобы знать, чему равен синус данного числа, надо знать, в каких единицах измеряется угол.)
Задачи к § 7
1.Даны прямоугольные треугольники с указанными на рисунке длинами сто рон. Найдите следующие тригонометрические отношения:
a)sin Z A;
e)sin z N ;
i)cos z P ,‘
b)cos Z А\ f)cos Z D; j)cos z N ;
с) tg z |
A; |
d) sin |
Z D ; |
g) tg z |
Я ; |
h) tg |
Z P ‘, |
k) tg z |
£>; |
1) sin |
z E . |
2. Даны треугольники |
с пометками. |
Найдите |
следующие тригонометрические |
отношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
cos Z |
G; |
b) |
sin |
Z |
Я ; |
с) |
tg |
Z |
Т; |
d) |
sin |
Z |
W\ |
e) |
cos Z |
Д ; |
Ü |
tg |
z |
G; |
g) |
sin |
z |
X\ |
h) |
cos Z |
Y. |
3. Гипотенуза A B прямоугольного А А В С |
имеет длину 25 см. |
— |
4 |
a) Какую длину имеет катет В С , если |
sin А A = -jr? |
b) Чему равен tg Z А , выраженный в десятичной дроби, если cos Z /4 = 0,60?
c) Какую длину имеют катеты А С и В С , ёсли tg Z Л = 3 у ?
4. В Л GKM имеем СУМ = |
3 0 , G/C = 50 |
и cos z G = 0,80. Найдите высоту, про |
веденную из вершины |
М, и площадь |
А GKM . |
5. |
В трапеции A BC D сторона |
DC\\AB, AD = 20 и В С = 26. Чему равна высота |
|
трапеции |
и |
чему |
равен |
sin Z В , если |
sin Z Л = 0 ,5 ? |
|
6. |
Найдите |
sin 60°, cos 60°- |
и tg 60°. |
|
|
|
|
|
7. |
Покажите, |
что sin 30? = |
cos 60°, |
|
|
|
|
|
|
8. |
Как |
связаны |
tg 60° и tg 30°? |
|
|
|
|
|
|
9. |
В |
А |
PQR имеем sin Z Р — ~ Ѵ |
2 |
и cos Z Q = ^ - V 3 . Найдите m Z R- |
10. |
В |
А A B C |
имеем |
tg Z A = |
1^3 |
и tg z С = |
1^3/3. Найдите m L B . |
11. |
В A G H K |
имеем |
tg Z |
// = |
2 cos Z G = l . |
Найдите m z K . |
12. Диагональ BD параллелограмма A BC D перпен |
|
|
дикулярна стороне A B . |
Чему |
равна S Q .4BCD, |
|
|
|
если |
А В = Ъ и tg Z Л = |
1? |
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Докажите следующую |
теорему: |
|
|
|
|
|
|
|
Синус |
|
ост рого |
угла |
равен |
косинусу его до |
|
|
|
полнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
Докажите следующую теорему: |
|
|
|
|
|
|
|
П роизведение т ангенса ост рого |
угла |
н а |
т ан |
|
|
|
генс его дополнения равно 1. |
|
|
|
|
|
|
15+. Покажите, |
что tg Z Л = |
sin Z Л |
для |
любого |
острого |
z Л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos Z Л |
|
|
|
|
|
16+ . Покажите, |
что (sin Z |
Л)2+ (cos Z Л)а= 1 |
для |
любого |
острого Z Л. |
17+ . Покажите, что площадь равностороннего треугольника со стороной длины 1
равна (sin 60°) (cos 609). |
|
Конкурсная задача |
|
Докажите следующую |
теорему: |
Д ан А А В С с острым |
Z Л. Тогда а2 = й2 -f- с2— 2bc cos Z Л. |
§ 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЦ
В предыдущем параграфе мы вычислили синус, косинус и тан генс углов в 30°, 45° и 60°. Они были выражены через ~\f2 и
]/3 . Разложения в десятичную дробь (с тремя верными десятич ными знаками) этих чисел и чисел, им обратных, имеют вид:
V 2 — 1,414; Л -* = Ц - = 0,707;
1/3 = 1,732; . p L = ^ = 0,577.
Поэтому
|
Sin 30° = |
|
|
0,500, |
|
C |
опо |
S |
] / 3 |
1,732 |
п о с г |
30O = |
|
— |
0,866, |
|
t g з о ° = |
|
|
= 0 ,5 7 7 . |
Подобным же образом можно подсчитать тригонометрические отно шения для углов в 45° и в 60°. Так мы получаем следующую таб лицу:
Угол |
Синус |
Косинус |
Тангенс |
30 |
0,500 |
0,866 |
0,577 |
45 |
. 0,707 |
0,707 |
1,000 |
60 |
0,866 |
0,500 |
1,732 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это —все |
тригонометрические |
отношения, |
которые мы |
пока |
умеем |
вычислять. С помощью более сложных методов можно вы |
числить |
синус, |
косинус |
и тангенс л юб о г о |
угла с какой-угодно |
точностью. (Фактически |
такие таблицы составляли еще древние |
греки, которые использовали эти таблицы |
в астрономии.) На |
стр. 411 |
вы |
найдете таблицу значений тригонометрических |
отно |
шений |
для |
углов, |
мера |
которых |
составляет |
целое число граду |
сов. В этой |
таблице |
значения приведены с точностью до трех де |
сятичных знаков, что вполне достаточно для наших целей. |
|
Такие |
таблицы |
имеют много важных приложений. Допустим, |
например, |
что землемер хочет определить расстояние между двумя |
точками, |
лежащими |
на |
противоположных сторонах пруда. Изме |
рить расстояние |
ВС непосредственно он не может. Но он |
может |
измерить |
расстояние |
AB |
и меру угла г. Предположим, он нашел, |
что AB = 305 м и г = 32, |
|
|
|
|
sin г°
ВС A B ’
то
ВС = AB sin r°.
Землемер смотрит в таблицу и на ходит, что sin 32° = 0,530. Поэтому
ВС = 305 0,530= 161,65 м.
Землемеры, которым приходится решать такого рода задачи, решают их описанном методом.
Эти таблицы можно применять и для других типов косвенных измерений. Один способ, позволяющий измерить высоту флагштока, не влезая на него, состоит в том, чтобы отмерить какое-либо рас стояние, скажем 30 м, от основания флагштока, а затем измерить
угол, обозначенный |
на рисунке |
буквой А. На нашем рисунке |
отрезок |
ВС изображает флагшток, |
а т /_ А = 22. |
|
|
Так |
как |
|
|
|
д |
|
+о 22° = — |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
ВС = АС tg 22° = 30 |
-0,404= 12,12 |
м. |
30 |
м |
|
|
|
|
Заметим, что в такого рода задачах мы всегда можем быть уверены, что арифметические действия, которые потребуется про извести, будут очень простыми. От основания флагштока мы можем отмерить какое угодно расстояние, и таким образом выбрать точку А, для которой расстояние АС будет равно целому числу метров.
1. Пользуясь таблицей тригонометрических отношений, запишите следующие числа в виде десятичных дробей:
а) sin 129: е) sin 50°; О tg 32;
b) |
cos 359; |
c) |
tg 20°; |
d) |
cos 66°; |
f) |
cos 40°; |
g) |
tg 822; |
h) |
sin 3a; |
j) |
cos 602. |
|
|
|
|
Найдите т Z А , если дано, что
а) |
sin |
|
Z |
А == 0,309; |
с) |
t g z |
|
л = |
0,306; |
е) |
tg |
Z |
А = |
2,904; |
g) |
sin |
|
д |
А == 0,454; |
і) |
tg L |
A — 8,144: |
b)cos L А = 0,208;
d)cös Z А = 0,961;
f)sin Z А == 0,961;
h)cos Z А = 0,731;
j)tg Z А = 0,554.
