Теорема 12.11
Для любого Д А |
имеет место формула tg Д А = , ~~ |
В обозначениях |
с градусной |
COS Д* Аі |
мерой теорема утверждает, что |
для любого г |
|
sin г° |
|
tg-г° = |
|
|
cos г° ' |
Наконец, рассматривая наш прямоугольный треугольник с дру
гой точки зрения, мы замечаем, что |
|
sin Д В = - |
= cos Д А |
в |
и |
|
|
cos Д В = |
= sin Z А. |
|
Так как острые углы прямоуголь ного треугольника дополнительны, то
s = т Д В = 90 — г.
Теорема 12.12
Если Д А и Д В — дополнительные углы, то sin Д В — cos Д А
cos Z ß = sin Z Л-
В градусной мере эти соотношения принимают вид
sin (90 —r)° = cos r°, cos (90 — r)° = sin r°.
Слово косинус объясняется этими соотношениями: оно является сокращением латинских слов complementі sinus, означающих синус дополнения-. Фактически косинус угла есть синус дополнения, этого
|
угла. |
|
|
|
Задачи к |
§ 9 |
|
|
|
С помощью |
основных формул, установленных в теоремах 12.10, 12.11 и |
|
12.12, докажите |
следующие тождества: |
|
1. |
tg г° |
sin Г |
COS S" |
|
|
tg Sc |
sm s |
cos r |
|
2. |
tg/-° + |
t g s' |
sin r° cos s°-f-cos r° sin s° |
|
cos r cos s° |
|
|
|
|
2. Последовательности 2, а , 6, 5, Ь и 5, 10, с, d, 9 пропорциональны. Най дите а, Ь, с и d.
3. Найдите среднее геометрическое и среднее арифметическое каждой из сле дующих пар чисел:
а) |
6 и |
24: |
Ь) |
12 |
и 20; |
с) |
7 ,3 |
и 21, 3; |
d) |
4 ~ |
и 6 - | . |
4о
4.Нарисуйте две фигуры, соответствующие стороны которых пропорциональны
икоторые тем не менее не являются подобными.
5.Нарисуйте две фигуры, соответствующие углы которых конгруэнтны и ко торые тем не менее не являются подобными.
6. В |
А А В С имеем Н К || A B . |
|
|
|
С |
a) |
Если |
Л Я = |
3, |
В К = 5 |
и С /С = 1 2 , |
то |
С Я = |
? |
B ) |
Если |
АС = 14, |
Л Я = |
6 и С Я = |
12, |
то |
ВС = |
? |
c) |
Если |
С Я = |
9, |
А Н — 4 и Я К = |
3, то Л В = |
? |
d) |
Если |
Л Я = |
4, CH — В К и ßC = |
48, то С Я = |
? |
7.Стороны треугольника имеют длину 5, 8 и 11. Подобный треугольник имеет периметр 60. Ка кую длину имеют его стороны?
8.Отрезки АС и BD пересекаются в точке Е,
причем A B |j CD и A B = 3CD. Чему равны АЕ
и ЕС , если АС — 21?
9.Стороны треугольника имеют длину 7, 9 и 14. Чему равен периметр подобного треугольника, наибольшая сторона которого имеет длину 21?
10. В A PQR имеем AB\\QR и ВС [| Я Я .
a) |
Если |
РА = 4,A R = |
6 |
и PQ = 25, то |
BQ — 0 |
B ) |
Если |
R C = 3,CQ = |
5 |
и PQ — 24, то |
ß ß = |
? |
c) |
Если |
РА = 2,ЛЯ = 8 |
и |
RC = 3, то CQ = |
? |
d) |
Если |
Р В = 4, |
ÖQ = |
5, |
P R = 15 и |
Я < 3 = 1 8 , |
|
то РА — ? и CQ = ? |
|
|
|
|
|
И. На этом |
рисунке |
□ |
A E FD — параллелограмм. |
Перечислите все |
подобия |
между имеющимися |
на |
рисунке треугольниками |
и покажите, что |
|
|
|
A E - A D |
|
|
|
|
|
|
B E ■CD ~ |
' |
|
|
12. На |
рисунке |
Z MGN ^ /. ЯО Д, |
GH = 8, |
G K = |
12, |
G A 4=10 |
и Д Я = 3. |
Докажите, что |
А Я /CG ^ |
Z N. |
13. На рисунке (второй сверху) помечены
длины отрезков. Докажите, что луч АС является биссектрисой L DAB.
14.Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного тре угольника, делит гипотенузу на от резки длины 15 и 5. Найдите длину этой высоты и катетов треугольника.
15.Дан рисунок с пометками (третий свер ху). Найдите v, w, х, у и г.
16.Каким свойством обладает A DEF,
если A AB C ~ A D E F и A D E F ~
АА С В ?
17.Теннисный мяч подан с высоты 2 м 10 см и пролетел над самой сеткой, высота которой 90 см. На каком рас стоянии от сетки мяч ударится об землю, если он был подан от черты, находящейся в 12 м от сетки, и летит по прямолинейному пути?
18. Даны |
A PQR и A S T V , |
изображен |
|
ные на рисунке (второй снизу). |
Чему |
|
равно |
отношение их |
площадей? |
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. А А ВС — равнобедренный прямоуголь |
|
ный треугольник с прямым L |
А. |
Е и |
R |
D — точки, |
лежащие |
|
по |
противопо- |
|
|
ложные стороны от прямой АС, |
при |
|
чем |
Е |
лежит по ту |
же |
сторону от |
|
АС, |
что |
и вершина |
В, |
и |
такие, |
что |
|
A ACD |
и |
A BCD |
являются |
равно |
|
сторонними. |
Определите |
отношение |
|
площадей A ACD и А ВС Е . |
|
|
|
20. Сторона |
равностороннего |
треуголь |
|
ника конгруэнтна высоте другого рав |
|
ностороннего треугольника. Чему рав |
|
но отношение площадей этих треуголь |
|
ников? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 *. Дан |
рисунок, где |
отрезки AD, |
HG |
|
и ВС перпендикулярны отрезку AB. Докажите:
a)АН ■GB = H B ■DG;
b)АН - GC = H B - AG;
c)АН ■BC = H B ■AD.
2 2 *. Дано, |
что |
никакие |
три |
из точек |
Р, |
Q, |
R и X не коллинеарны и что X |
|
лежит вне |
А PQR. Проведем отрезки |
Х Р , |
XQ и X R . Пусть Л — произволь |
|
ная |
точка |
отрезка X R |
и пусть |
прямая, |
проходящая |
через А и параллель |
|
ная |
PR , |
пересекает отрезок Х Р |
в точке В, а прямая, |
проходящая |
через В |
|
и параллельная |
PQ, |
пересекает |
отрезок |
XQ в |
точке С. Проведем |
отрезок |
|
ÄC. Докажите, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А А ВС ~ |
А RPQ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
В |
А АВС |
с прямым |
L В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т L А — 54 и АС = 1 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите |
AB |
и ВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
Найдите с точностью до градуса |
меру |
острых |
углов |
треугольника 7-24-25. |
25. |
Реактивный |
самолет |
взлетел |
с |
аэродрома и поднимается |
под |
постоянным |
|
углом в |
8° до тех пор, пока не достигнет |
высоты 7500 м. |
На |
каком рас |
|
стоянии |
по земле от аэродрома |
он находится (с |
точностью |
до |
1 км)? |
Конкурсная задача
Объясните, каким образом два треугольника могут иметь по 5 конгруэнт ных элементов (сторон и углов) и все же не быть конгруэнтными.
