Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

людей обычнодовольно быстро обнаруживаются. В результате, когда одно поколение делает в математике какое-либо открытие, следующее поколение может идти к дальнейшим открытиям, не за­ держиваясь для исправления того, что уже было сделано ранее.

Один из удивительных примеров этого доставляет нам тот факт, что в то время, как физические представления древних греков кажутся нам детскими и мало кому известными, развитая теми же древними греками геометрия сегодня представляется столь же пра­ вильной, как и две тысячи лет назад.

Первым большим шагом вперед в геометрии после греков яви­ лось создание нового метода, называемого аналитической (коорди­ натной) геометрией. Этот метод был открыт в семнадцатом веке Рене Декартом (1596—1650)J). Что же сделал Декарт? Как мы увидим, он исследовал связи между геометрией и алгеброй и пока­ зал, что каждая из них может пролить дополнительный свет на другую. Из этой главы, представляющей собой краткое введение в аналитическую геометрию, вы сможете увидеть, что представляет собой этот метод и как он работает.

§ 2. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Из главы 2 мы уже знаем, как. вводится система координат на прямой. Если на прямой установлена система координат, то каждой точке прямой соответствует некоторое число, а каждому

Теперь подобную же конструкцию мы осуществим на плоско­ сти, где, однако, каждой точке будет соответствовать не одно число, а пара чисел. Соответствие между точками и парами чисел задается так. Выберем сначала на плоскости прямую, которую обозначим через Ох (О —точка этой прямой, о которой будет ска-*

■ 11 Одновременно с Декартом (и независимо от него) методы аналитической геометрии были разработаны современником Декарта и его научным оппонен­ том Пьером Ферма (1601— 1665).

395

дывания линейки сделать это можно.) Прямая Оу будет назы-" ваться осью у. Как. и прежде, положительное направление на ней укажем стрелкой. Точка О пересечения прямых Ох и Оу (осей

координат ) называется началом координат . Принята для обозна­

Теперь следующим образом можно охарактеризовать каждую точку плоскости некоторой парой чисел. Если дана точка Р, то мы опустим из нее перпендикуляр на ось х. Пусть основанием перпендикуляра будет точка М и х —координата точки М на прямой Ох. Тогда число х называется х-координатой, или абсцис­

сой, точки Р. (На нашем рисунке х = 2 ^ \

Затем опустим из точки Р перпендикуляр на ось у. Пусть основанием этого перпендикуляра будет точка N и пусть у — ко­ ордината тбчки N на прямой Оу. Тогда число у называется

у-координатой, или ординатой, точки Р. (На рисунке */=1^--)

Для краткости мы указываем, что точка Р имеет координаты х

и у так! Р(х, у) в нашем случае имеем

396

Заметим, что порядок, в котором записываются координаты,

координата основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось X. у-коо р д и н а т о й , или ор д и н а т о й , точки Р назы­ вается координата основания перпендикуляра, опущенного из точ­ ки Р на ось у.

Если точка Р имеет координаты х и у, то мы пишем Р (х, у). Подобно тому как одна прямая разбивает плоскость на две части (каждая из которых является полуплоскостью), две оси ко­

S97

Восставим перпендикуляр в точке оси х, имеющей координату х —а. Сделаем то же самое в точке оси у, имеющей координату

3°. положительное направление на каждой из этих осей.

Как только мы это сделаем, на обеих осях будут определены системы координат, которые, в свою очередь, определят координаты

вать различие между точками и парами чисел. Это позволит нам употреблять такие удобные выражения, как «точка (2 , 3)» и «точка Р = (3, 4)».

Задачи к § 2

1. а) Укажите координаты каждой точки на этом рисунке.

B) Какие три точки коллинеарны? Какие они имеют координаты?

c) Назовите точки, лежащие в четверти I;

вчетверти IV.

2.Какие координаты имеет начало коорди­ нат?

3.Какую ординату имеет точка (3,-5)? точка (5,—3)? точка (— 5, 3)?

4.Рассмотрим точку С (4, 7). Какие коорди­ наты имеет ее проекция А на ось х? Какие

координаты имеет ее проекция В на ось у?

5. Ответьте на вопросы, поставленные в за­ даче 4, для точки D (— 4, 7).

398