Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

9.Дополните: р-координата каждой точки оси х равна ... .

10.Рассмотрим точки

Л (5, 2), В (4, — 3), С (— 4, 4) и D ( — 3, — 5).

a)Запишите эти точки в том порядке, в котором идут (слева направо) их проекции на ось х.

B ) Расположите их в том порядке, в котором идут (снизу вверх) их про­ екции на ось у.

11.Прямые, проходящие через точку Р (5, 7) и перпендикулярные оси х и оси у, образуют вместе с этими двумя осями прямоугольник. Найдите его цериметр.

12.Найдите периметр прямоугольника, образованного осями координат и пер­

14.Расстояние между какими из следующих пар точек меньше: (3, 0) и (7, 0) или (3, 0) и (— 2, 9)?

15.Расстояние между какими из следующих пар точек больше: (2, 1) и ( 1, 2) или (2, 1) и (2, 0)?

каждой оси, а изображенные пункти­ ром прямолинейные отрезки— это пер­ пендикуляры, проектирующие каждую точку Р на соответствующую ось. Про­ екция данной точки на ось задает ее

координату, соответствующую этой оси: х-координату; (/-координату или г-координату. Таким образом, точка полностью определяется своими тремя

17+ . Если любая точка Р записывается в виде Р (х, у, г), то какой оси при­ надлежит каждая из точек:

Л (0, 3, 0), В ( - 2 , 0 , 0 ) , . С (0 , 0, 5)?

399

400

был одним из нескольких великих математиков-любителей. Он был государственным служащим и занимался математикой в свободное время. О своих открытиях он сообщал в письмах своим друзьям

иникогда не публиковал их в другой форме. Но многое из того,

очем сообщал в письмах Ферма, теперь включается во все учеб­

ники теории чисел.

Введение системы координат послужило основой для создания вскоре после этого Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Таким образом, Декарт являлся одним из тех, кого имел в виду Ньютон, когда он сказал, что своими заслугами обязан гигантам, на плечах которых он стоял.

§ 3. КАК ИЗОБРАЗИТЬ СИСТЕМУ КООРДИНАТ НА БУМАГЕ В КЛЕТКУ

Систему координат удобно изображать на бумаге в клетку. На такой бумаге отпечатаны вертикальные и горизонтальные линии,

- 2 - 3

Напомним, что мы вольны делать рисунки в каком угодно масштабе. Например, каждая из следующих фигур является «точ­ ным» изображением квадрата со стороной 1 .

401

необходимо указать, какой выбор мы сделали, выписав у осей

координат, нужно провести оси и указать масштаб.

Заметим, что мы можем провести оси на листе бумаги в любом из тех (или других) положений, что указаны на следующей странице.

Ни в одном из этих чертежей нет логической ошибки. Однако гораздо легче привыкнуть «читать» графики, если с самого начала условиться проводить ось X горизонтально, так, чтобы координаты

402

возрастали слева направо, а ось у —вертикально, так, чтобы координаты возрастали снизу вверх.

У

Заключительное предостережение. Вероятно, вы неоднократно встречали графики, где масштабы в горизонтальном и вертикаль­ ном направлении были выбраны независимо друг от друга.

Например, если мы захотим начертить график, показывающий рост цены на сыр (в долларах за фунт) за период от 1900 до 1960 г., то ни в какой связи между масштабами на горизонталь­ ной и вертикальной осях нет необходимости. (Ведь здесь масштабы служат для измерения совершенно разных вещей.)

Но иногда мы применяем систему координат для решения геометрических задач. В таких случаях, если масштабы на осях

403

Так, на этом рисунке цифры указывают, что PQ = 2 и PR = 2 . Следовательно, Д PQR должен быть равнобедренным. Но он, ко­ нечно, не выглядит равнобедрен­ ным, а Z Q и /_ R вовсе не ка­ жутся конгруэнтными. Это значит, что рисунок мы исказили. Чтобы избежать таких искажений, мы бу­ дем на каждой оси брать один и тот же масштаб.

b)ABCD-

3. Изобразите каждую из точек Р (0, 0), Q (3, 0) и R (0, 4). Найдите

a) периметр А PQR-,

b ) S A PQR .

4. Изобразите каждую из точек F (0 , 0), G (8, 0) и Я ( 8, — 6).

a) Найдите S A F G H .

b) Какую длину имеет отрезок К Я ?

b) Какую длину имеет отрезок Л Х?

9. Треугольник имеет вершины (0, 0), (0, 12) и (10, 0). Найдите длину медианы, проведенной к наименьшей стороне.

10. Изобразите каждую из точек А (— 3, — 4), В (— 3, 6) и С (4, 6). Найдите координаты такой точки D , что □ ABCD — прямоугольник.

404