13+. «Когда квадрат не является квадратом?» На этих рисунках масштабы вдоль оси X и вдоль оси у в каждом случае намеренно выбраны различными, чтобы получился искаженный рисунок предполагаемой фигуры. Какую фигуру предполагалось нарисовать в каждом случае?
14+ . Найдите периметр Q 4 B C D , изображенного на левом нижнем рисунке.
15*+. |
Какую длину имеет проекция фигурирующего в задаче 14 отрезка АС |
на |
плоскость хОуі |
16*+ . С |
помощью пометок на правом рисунке найдите |
BE. |
|
17*+ . Нарисуйте систему координат в пространстве. |
На |
осях у и г возьмите |
один |
и тот же масштаб. На оси х (которая идет |
по |
направлению к вам) |
возьмите масштаб, составляющий 0,7 масштаба на других двух осях. Нане
сите точки Л (1, |
3, 2) и В (1, |
— 3, |
2). Проведите отрезок A B. Чему |
равна |
его |
длина? |
|
|
|
|
|
|
|
|
( У к а з а н и е . |
См. задачу |
19 |
из § |
2.) |
|
|
1 8 *+. Перерисуйте |
рисунок |
к |
задаче |
19 |
на стр. 425, но вместо того* |
чтобы |
проектировать точку Р на плоскость хОу, сначала |
|
a) |
спроектируйте |
точку |
Р |
на |
плоскость |
уОг\ |
|
B ) |
спроектируйте точку |
Р |
на |
плоскость |
хОг. |
|
§ 4. ПОДЪЕМ (НЕВЕРТИКАЛЬНОЙ) ПРЯМОЙ
Ось X и все параллельные ей прямые мы будем называть гори зонтальными; ось у и все прямые, ей параллельные, — верти кальными.
У ,
п
|
|
а |
|
*1 |
|
|
. |
|
г |
|
|
0 |
Ь |
X |
|
|
|
' '1-2 |
|
Легко |
видеть, |
что на этом рисунке |
все точки горизонтальной |
прямой Іх |
имеют |
одну и ту же «/-координату |
(т. е, ординату) |
а, так как общим основанием перпендикуляров, опущенных из
|
|
|
|
|
|
|
|
точек этой прямой на ось у, |
является точка (0, а). Подобным же |
образом все |
точки вертикальной прямой |
12 имеют одну |
и ту же |
х-координату |
(абсциссу) |
Ь. |
Разумеется, |
о т р е з о к |
называется |
горизонтальным, |
если |
горизонтальна содержащая |
его |
прямая, |
и вертикальным, |
если |
эта |
прямая вертикальна. |
|
|
Следующими |
рисунками |
подсказывается идея подъема1 (или |
углового коэффициента) |
отрезка. |
|
|
|
Подъем первого отрезка равен 2; подъем второго равен — 2;
подъем третьего равен а подъем четвертого равен 0. Точнее:
1 Можно употреблять также термин н ак лон
Определение |
|
|
у |
|
Если Р! = (?!, |
У д, Р2= (Х2, |
У д у2 |
|
и отрезок РХР —не вертикален, |
то |
|
п о д ъ е м о м |
(или |
у г л о в ы м |
ко- |
|
э ф ф и ц и е н т о м ) |
отрезка РХР2 |
|
называется |
число |
|
Уі |
|
|
|
|
|
|
in, —*---------- . |
---- |
|
|
х2— х х |
О |
Х у X |
Некоторые факты, касающиеся подъема отрезка, очевидны из определения.
1°. Если поменять местами точки Рх и Р2, то подъем отрезка останется прежним, так как
Ух —уг = |
уг —Ух = |
— (Ух —У д |
ХХ— х2 |
х2 ~ х1 |
— (х1 ~ х2) ' |
Иными словами, подъем отрезка не зависит от порядка, в кото ром берутся концы отрезка.
2°. С другой стороны, важно координаты в числителе и в зна менателе дроби брать в одном и том же порядке. Отношение
У х —У 2
|
х2 |
хХ |
не р а в н о |
подъему отрезка с концами (хх, ух) и (х2, у2). |
3°. Для |
невертикальных отрезков знаменатель х2—хх не может |
быть равен |
нулю, так что делить на него можно.. |
4°. Для |
в е р т и к а л ь н ы х |
отрезков знаменатель х2 — хх фор |
мулы подъема всегда равен нулю, так что эта формула никакого числа не определяет. Такой вещи, как подъем вертикального отрезка, не существует1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5°. Если отрезок |
г о р и з о н т а л е н , |
то его подъем равен нулю. |
(В этом случае |
числитель |
у2 — ух равен |
нулю, |
а |
знаменатель |
х2—хх нулю не равен.) |
|
(и |
не |
вертикален), |
то его |
6 °. |
Если отрезок не горизонтален |
подъем |
не р а в е н |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7°. |
Если отрезок идет слева вверх |
|
направо, |
то |
его |
подъем |
положителен; если отрёзок идет слева вниз направо, то |
его |
подъем отрицателен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Иногда уславливаются считать подъем |
(угловой |
коэффициент) |
верти |
кальных |
отрезков |
(и прямых — см. ниже) «равным бесконечности» (что, |
впро |
чем, имеет тот же смысл, поскольку символ оо |
не |
изображает |
никакого |
числа); |
это соглашение мотивируется тем, что чем ближе |
отрезок к вертикальному, тем |
больше (по абсолютной |
величине) |
его подъем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если отрезок имеет положительный подъем, |
то он равен отно |
шению |
двух |
расстояний, |
как на этом рисунке. Здесь хх<_х2 и |
Уі < У |
и МЬІ имеем PtR = х2—х1 и RP2 = у2—Уі- (Почему?) |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
. |
_ У 2 -У 1 _ |
RPs |
|
|
|
|
х2— х1 |
f\ R ' |
|
Если подъем отрезка отрицателен, то он равен отношению двух |
расстояний, |
в з я т о м у со з н а к о м |
ми н у с |
(см. нижний рису |
нок). Здесь |
хг < .х2 и Уч>Уъ и мы имеем, как |
и прежде, |
|
|
|
Р1R — х2 |
лу, |
|
|
|
# ^ = 0 1 - 0 8 = — (0 2 —по |
|
Уі — |
Уі |
R P i |
х 2— |
Xi |
1\ R ‘ |
Эти соображения позволяют легко понять, почему верна
