Файл: Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 226

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть после перемножения матриц, содержащихся в левой части равенства (5.14), получена матрица со следующими элемен­ тами:

 

 

 

 

 

 

« 1 1

« 1 2

« 1 3

а 1 4

 

 

 

Мп

(,г _1) • • • М ( е т + і ) т

=

« 2 1

« 2 2

« 2 3

« 2 4

(5.18)

 

 

« 3 1

 

« 3 3

« 3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

о"

0

1

 

 

После перемножения матриц правой части равенства (5-14)

получена

матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рп

Pl2

Різ

Pl4

 

 

 

Мп1М1гМ23-

• -М(

 

021

Р22

Ргз

Рг4

(5.19)

 

 

 

 

[т—\) т

 

Рзі

Рз2

Рзз

Рз4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

1

 

 

Элементы

матриц

(5.18) и

(5.19) должны быть равны, т. е.

akl

=

(k =

1, 2, 3, 4; / = 1 , 2 , 3, 4). Это означает,

что матрич­

ное

уравнение (5.14) позволяет получить двенадцать

уравнений

связи между параметрами, определяющими положения звеньев

контура. Из них три

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

« 14 — Pl4;

а24 =

Р24;

«34 = Рз4

 

(5.20)

выражают

равенство

проекций

 

начала

координат системы

sm

на оси координат системы sn при

переходе от sm

к sn

по часовой

или против часовой стрелки.

 

 

 

 

 

 

 

В остальных девяти уравнениях

 

 

 

 

 

 

 

« « =

P*z (k=

1,

2, 3;

/ =

1, 2, 3).

(5.21)

akl

или p w равен

косинусу

угла,

образуемого

осью номера

к

системы s„ с осью

номера / системы

'sm. Осям хт, ут,

гт и

хп,

уп, zn

присвоены

соответственно

номера

1, 2, 3.

Так,

например,

«32 =

Рзг=

c o s (гп> Ут)- Известно,

что из этих девяти

уравнений

независимыми являются только три [72]. Поэтому из двенадцати

уравнений (5.20) и (5.21) независимыми являются только

шесть.

Из этого следует, что матричное уравнение замкнутости

контура

позволяет получить большее число уравнений, чем это требуется для определения положений звеньев механизма. Наличие избы­ точных уравнений можно отчасти отнести к преимуществам ме­ тода, а не к его недостаткам. Выбрав из двенадцати уравнений шесть независимых, остальные шесть уравнений можно исполь­ зовать как контрольные.

Применение матричного метода уравнения замкнутости по­ яснено на примере универсального шарнира (см. п. 5.8).

5.2. УСЛОВИЯ С У Щ Е С Т В О В А Н И Я К Р И В О Ш И П А

Четырехшарнирный механизм. Условия существования криво­ шипа в четырехшарнирном механизме определяются теоремой Грассгофа [44], однако ее доказательство довольно громоздкое. В настоящей книге для определения условий существования кри­ вошипа в четырехшарнирном механизме используется способ вывода, предложенный Э. Е. Пейсахом. Аналогичные способы вывода были ранее применены Г. Г. Барановым [11] и С Н. Ко­ жевниковым [41 ] .

На рис. 5.3, а изображен механизм

с звеньями l v

/ 2 ,

/ 3 и

/4 ,

в котором стойкой является звено 1Г

Звено 1г

явится кривошипом

лишь в том случае, если при значениях ц>г в промежутке 0 ^

ф г

^

==£ 2я значения

угла

у 2 з =

I Фз — Фг I

будут

 

удовлетворять не­

равенству 0 <

7 2 3 < я .

Легко

установить,

что

при

значениях

у23 = О и Угз —л звено l v

если оно является

ведущим,

не может

привести в движение звенья

/ 2

и / 3 , так как наступает

заклинива­

ние механизма

(см. п. 5.4). На рис. 5.3,

б изображены

положения

звеньев четырехшарнирного механизма при значении

Y2 3 =

я

(соотношения

длин звеньев

механизма

изменены по

сравнению

с соотношениями, принятыми на рис. 5.3, а).

 

 

 

 

 

 

Рассмотрев

 

косоугольный треугольник

АВОг,

найдем,

что

 

 

 

1\ + 1\-

І1

1\ -|-

 

+

1\-

 

2 / Л cosq>,)

 

 

c ° s v s 3 -

2 / ; / з

-

 

 

u

2 / ; / з

 

 

 

 

 

(5.22)

Если звено 1Х будет кривошипом, то при 0

 

 

ф! ^

2я должны

соблюдаться

неравенства:

—1 < cos у 2 3

< Ч ;

ЭТИ неравенства

можно представить в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

+ II — (/? + l\ — 2LL cosф,)

 

 

 

 

 

 

 

-

К

 

 

 

2/1

1

± -

^

<

1

-

 

 

(5.23)

Учитывая,

что экстремальные

значения cos срх

в

промежутке

[О, 2я ] равны

± 1, неравенства (5.23) будут соблюдаться,

если

 

 

 

W +

h < h

+

h;

 

— U\ > \ h ~

lz\-

 

 

(5-24)

Для того чтобы звено 13 было кривошипом, должны соблю­

даться

неравенства

О < 7 І 2

<Сп

при изменении

ср3

в

промежутке

[О, 2л].

Из этого

следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

l \ I

 

 

Из-i-2/3 /4 cos<fe) < 1 .

 

 

(5.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2lxl

 

 

 

 

 

 

Основываясь

на выражениях

(5.25), получим,

что звено / 3

будет

кривошипом

при соблюдении

неравенств

 

 

 

 

 

\h—h\>\h-li\-

 

 

(5-26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звено

 

1Х будет

криво­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шипом,

а

13

— коромыс­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лом,

если

при

соблюде­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нии

неравенств

(5.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окажется,

что не удовлет­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

воряется

хотя

бы одно из

 

 

 

Рис. 5.4

 

 

 

неравенств

(5.26). Из ана­

 

следует, что 1Х

 

 

 

 

 

лиза неравенств (5.24) и (5.26)

будет

кривоши­

пом, а / 3 — коромыслом,

если

 

будут соблюдаться

неравенства

такого

вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—h + / а + / 3 — / 4 > 0 ; — 1Х + /2 — 13 + / 4 > 0 ;

 

 

 

 

 

 

— / х — / 2

+ / 3

+ / 4

> 0.

 

 

 

 

(5.27)

Из

неравенств

(5.27)

следует,

что при их соблюдении 1г

ока­

зывается

наименьшим звеном.

 

 

 

 

 

 

 

 

В механизме

1г

и / 3

будут одновременно кривошипами,

если

одновременно будут удовлетворяться неравенства (5.24) и (5.26).

Для этого необходимо и достаточно, чтобы соблюдались

такие

неравенства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— h + /2

+ /3 — U > 0;

+ / 2 — / 3 — U > 0;

 

 

 

 

 

 

/і — / а +

— / 4 >

0.

 

 

(5.28)

 

Из

выражений

(5.28) следует,

что если

1Х и / 3 — кривошипы,

/4

— наименьшее

звено.

 

 

 

 

 

 

 

При обращении в равенства одного из неравенств (5.23) и

одного из неравенств (5.25)

образуется так называемый

предель­

ный механизм, в котором все звенья вытягиваются в одну

прямую

линию

в одном положении. На рис. 5.4 изображен

предельный

механизм, в котором все звенья

располагаются на одной

прямой

линии

при ф х

=

я . При этом оказывается, что ф 3 =

я , у23

= я ,

а

у12

— 0- Этому случаю

соответствует

соблюдение

равенства

 

 

12

/і -

 

 

 

 

 

 

На рис. 5.5 изображены

механизмы, у которых

/ 2 + /4 — / 2 +

+ / 3 и, кроме того, 1г = 13,

/ 2 — /4 . При указанных

соотношениях

все три неравенства (5.28) переходят в равенства; в механизме одновременно существуют два кривошипа. Такие механизмы

известны под названием: механизма с

параллельными кривоши­

пами (рис. 5.5,

а) и антипараллельными

кривошипами (рис. 5.5, б).

Звенья 1г

и / 2

механизма с параллельными кривошипами вра-

а)

А

>>2

В

V А

щаются с одинаковой угловой скоростью, шатун / 2 совершает криволинейное поступательное движение. Из положения, когда звенья предельного механизма вытягиваются в одну прямую линию, ведомое звено может выйти, изменив направление своего движения, хотя направление вращения ведущего звена не изме-

Рис. 5.6

нится. Так, в частности, механизм с параллельными кривошипами может превратиться в механизм с антипараллельными кривоши­ пами.

Определенность движения ведомого звена предельного меха­ низма при переходе его звеньев через указанные выше положения достигается: а) за счет инерции звеньев, стремящихся продолжать движение в прежнем направлении; б) соединением двух однород­ ных механизмов, у которых положения ведомых звеньев смещены по фазе (не наступают одновременно).

Кривошипно-ползунный механизм. На рис. 5.6 изображен внецентренный кривошипно-ползунный механизм. Внецентренным механизм назван потому, что траектория точки В ползуна сме­ щена на величину е. Точки Вх и В2— крайние положения пол-

зуна,

определяемые

из следующих соотношений: ОВх

— I + г;

0В2

=

I — г,

где I и г — длины шатуна

и кривошипа.

 

воз­

 

Изображенные на рис. 5.6 положения

звеньев

механизма

можны, если

звено

OA совершает полное

вращение вокруг

оси

О

стойки. Существование

треугольника

0СВ2

становится

воз­

можным, если

ОС < ОВ2,

т. е. если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I— г > е .

 

 

 

(5.29)

 

У центрального кривошипно-ползунного

механизма

е =

0 и

 

 

/

> г.

 

(5.30)

 

 

 

 

 

Неравенства (5.29) и (5.30) определяют условия существо­ вания кривошипа в кривошипноползунном механизме.

Кулисный механизм. В ку­ лисном механизме (рис. 5.7) звено О И совершает полное вращательное движение (О И — кривошип). Кулиса 3 будет совершать вращательное или качательное движение в зави­ симости от соотношения длин звеньев. Примем в целях общ­ ности, что подвижные направ­ ляющие кулисы, по которым перемещается камень 2, смеще­ ны по отношению к О2 на вели­ чину е. Вершина С прямого

угла 02СА опишет при вращении кулисы окружность радиуса е. Если кулиса механизма совершает полное вращательное дви­ жение, его звенья смогут занять положения, изображенные на рис. 5.7 пунктиром. Существование треугольника 0 2 C H J ста­

новится возможным, если

 

 

 

г — d >> е,

(5.31)

где г =

О И ,

d =

Ох02.

 

 

При

е — 0

(направляющие

камня проходят через 02)

кулиса

будет совершать

вращательное

движение, если

 

 

 

 

г

> й.

(5.32)

Если неравенство (5.31) [или (5.32) для центрального кулис­ ного механизма] не будет соблюдаться, кулиса 3 механизма будет совершать не вращательное, а качательное движение.

9 Ф. Л . Литвин

129

Смотрите также файлы