Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Динамика излагается по такой схеме: сначала рассматривается динамика одной материальной точки (законы Ньютона, работа и энергия, законы сохранения и др.), затем на ее основе как ее об­ общение иелагается динамика системы материальных точек и как ее частный случай — динамика абсолютно твердого тела. Здесь будут рассмотрены две группы вопросов, относящихся к динамике системы точек — законы движения центра масс и законы враща­ тельного движения твердого тела (главным образом вокруг не­ подвижной оси).

§ 2. ЦЕНТР МАСС. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС

При изучении в средней школе законов ньютоновской динамики вместо движения реальных тел рассматривается движение мате­ риальной точки. Это абстрагирование от размеров п формы тела во многих случаях позволяет получить вполне удовлетворительные результаты и для движения реальных тел. Однако реальное тело в общем случае нужно рассматривать как систему материальных точек. Поэтому для логической завершенности динамики следует, кроме традиционной динамики одной материальной точки, рас­ смотреть также II основные вопросы динамики системы материаль­ ных точек. Она является, как будет видно из дальнейшего, естест­ венным обобщением динамики одной точки. Необходимость дина­

мики системы точек можно пояснить на следующем простом при­ мере.

В качестве реального тела возьмем какую-нибудь коробку и бросим ее под углом к горизонту. Поставим вопрос: как движется коробка? На первый взгляд вопрос представляется элементарно простым и ответ на него — следующим: коробка движется по параболе как тело, брошенное под углом к горизонту. Однако коробка при этом еще и вращается. Тогда что же движется по параболе? В курсе физики средней школы этот вопрос просто об­ ходится, потому что ответ на него может дать только динамика системы материальных точек: поступательное движение тела как

90

целого — это движение осо­ бой точки, называемой цент­ ром масс тела.

К рассмотрению движения коробки можно подойти с по­ зиций динамики одной точки следующим образом; Разобь­ ем тело на большое число до­ статочно малых частей так,

чтобы каждую часть (элемент тела) можно было считать мате­ риальной точкой, и применим к каждому элементу тела законы динамики точки. Именно так и поступают при построении дина­ мики системы точек. На первый взгляд задача кажется безнадеж­ ной: при реальном движении коробки различные ее элементы дви­ жутся по-разному, описывая в пространстве замысловатые кри­ вые, так что установить какие-либо закономерности в запутанном движении различных частей коробки при ее «кувыркании» пред­ ставляется невозможным. Однако в этом беспорядке оказывается возможным обнаружить порядок. Каким бы сложным ни было движение реального тела, его всегда можно «разложить» на два п только на два движения: на поступательное и вращательное. Так что лю,бое движение является в общем случае наложением, пли суперпозицией, двух движений: поступательного и вращатель­ ного. Поэтому рассмотрению закономерностей этих движений как компонент любого движения в механике уделяется большое вни­ мание.

Поступательное движение — это такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, при движении тела перемещается, оставаясь все время параллельной самой себе (рис. 17, прямая ab). Поступательное движение — это отнюдь не обязательно прямолинейное движение, тело может двигаться по­ ступательно и по любой криволинейной траектории, например по окружности. Так, кабины «колеса обозрения» в парке движутся поступательно по окружностям, но именно кабины: само же колесо (его спицы) вращается.

При поступательном движении тела все его точки движутся по одинаковым траекториям, лишь смещенным одна относительно другой, с одинаковыми скоростями и ускорениями. Поэтому посту­ пательное движение тела может быть исчерпывающим образом охарактеризовано движением лишь одной его точки. В качестве такой точки Оказалось очень удобно взять особую точку, которую назвали центром инерции или центром масс. Рассматриваемый в средней школе центр тяжести является частным случаем центра масс.

произвольно выбранной системе координат, называется точка С, координаты которой определяются следующим образом:

91

Несмотря на то что координаты х{, г/,-, z* задаются в опреде­ ленной системе координат, положение центра масс не зависит от выбора тон или иной системы координат и всецело определяется взаимным расположением масс системы.

Из определения (4.1) следует, что центр масс однородных сим­ метричных тел совпадает с центром симметрии.

Для того чтобы это утверждение не было голословным, а заодно для иллюстрации того, как практически используется определение (4.1), рассмотрим

положены по сторонам квадрата со стороной а; 2) система состоит из пяти одинаковых масс, четыре из которых расположены так же, как и в предыдущем случае, а пятая — в центре квадрата.

Точка с такими координатами расположена в центре квадрата, являющегося центром симметрии системы масс. Во втором случае получим аналогичным об­ разом:

И в этом слуцае центр масс совпадает с центром симметрии.

Из этих примеров видно, что положение центра масс системы материальных

Л

Так как величина Qabl = gV равна массе бруска т, то

Таким образом, абсцисса центра масс однородного бруска равна половине длины стержня. Совершенно аналогично можно показать, что и две другие координаты центра масс бруска равны половине соответствующего размера бруска:

функций) можно показать, что центр масс тел со сферически сим­ метричным распределением массы находится в геометрическом центре тела.

Сферическая симметрия в распределении массы — это такой случай ее распределения, когда плотность тела зависит только от расстояния до центра симметрии и не зависит от направления, по которому лежит данный элемент тела. На одном и том же рас­ стоянии от центра по разным направлениям плотность одинакова. Простейшим случаем сферически симметричного распределения массы является постоянство плотности на любых расстояниях от центра. Таким телом является однородный шар. Следовательно, центр масс однородного шара лежит в его геометрическом центре. Это обстоятельство широко используется в физике. В частности, если Землю принимать за однородный шар, то ее центр масс будет

93