Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

расположен в ее центре. Если же ввести представление о слоистом распределении массы в шаровой Земле, т. е. если принять, что Земля состоит'из шарового ядра с некоторой плотностью и сфери­ ческих слоев с различными плотностями, что ближе соответствует действительности, то и в таком случае центр масс Земли совпа­ дает с ее геометрическим центром. Так часто и поступают, пола­ гая, что центр масс Земли лежит в ее геометрическом центре. Од­ нако, строго говоря, Земля не является шаром. Более того, она вообще не является «правильным» геометрическим телом. Поэтому геометрическую форму Земли назвали особым словом «геоид». Форма Земли непрерывно уточняется. Весьма эффективным оказа­ лось использование для этой цели искусственных спутников Земли.

Как видно из (4.1), координата большей массы вносит больший вклад в величину координаты центра масс, нежели координата меньшей массы. Поэтому при несимметричном распределении масс в системе ее центр масс расположен ближе к большей массе. Для иллюстрации этого обстоятельства, важного для дальнейшего, вы­ числим положение центра масс системы, состоящей из двух мате­ риальных точек, находящихся на расстоянии а друг от друга. Пусть масса одной точки вдвое больше массы другой: т , = 2пг2. Совме­ стив начало координат с точкой большей массы (для упрощения вычислений) и направив ось абсцисс через обе точки, находим абсциссу центра масс:

В этом случае центр масс расположен на прямой, соединяющей обе точки, причем ближе к точке, в которой сосредоточена боль­ шая масса; центр масс делит расстояние между массами в отно­ шении, обратно пропорциональном массам. К вдвое большей массе он расположен вдвое ближе, чем к меньшей.

Эта формулировка совпадает с правилом, по которому в сред­ ней школе находится точка приложения равнодействующей парал­ лельных сил. Если в качестве параллельных сил взять силы тяго­ тения, действующие на массы, то точка приложения равнодей­ ствующей сил тяготения будет называться центром тяжести систе­ мы масс. В рассмотренном примере центр тяжести совпал с цент­ ром инерции. Важно выяснить общее условие, при котором центр тяжести и центр масс совпадают друг с другом.

Правило нахождения положения центра масс совпадает с пра­ вилом отыскания точки приложения равнодействующей параллель­ ных сил. Отсюда следует, что центр тяжести будет совпадать с центром масс в тех и только в тех случаях, когда силы тяготения, действующие иа все тела системы, будут параллельными между собой. А так как сила тяготения равна произведению массы на ускорение свободного падения, то можно сделать вывод: центр тяжести системы тел совпадает с ее центром масс только в том случае, когда ускорение свободного падения одинаково по велн-

94

чине и направлению для всех тел системы. Практически это усло­ вие будет выполнено, если размеры системы масс ие слишком ве­ лики, чтобы в ее пределах можно было пренебречь изменением ускорения свободного падения. Для «земных» тел, находящихся под действием силы тяготения к Земле, это условие выполняется на любых высотах, несмотря на то что ускорение свободного паде­ ния уменьшается с высотой. Для данного вопроса важно не посто­ янство ускорения свободного падения во всем пространстве, а не­ изменность его в пределах данной системы масс. Так что центр тяжести даже Луны совпадает с ее центром масс. Но вот о центре тяжести системы взаимно тяготеющих тел говорить бессмысленно, потому что в этом случае силы тяготения, действующие на тела' системы, являются силами внутреннего взаимодействия, они по­ парно равны по величине и противоположны по направлению, и, следовательно, их равнодействующая для всей системы просто равна нулю. Важно поэтому иметь в виду, что ’о центре тяжести системы тел можно говорить только тогда, когда эта система на­ ходится под действием внешней силы тяготения, или, как говорят, во внешнем поле тяготения. Говорить же о центре тяжести, на­ пример, системы Земля — Луна бессмысленно. В то же время по­ нятие центра масс этой системы имеет вполне определенный смысл и широко используется. Чтобы найти положение центра масс си­ стемы Земля—Луна, заменим Землю и Луну материальными точ­ ками соответствующих масс, расположенными в центре масс соот­ ветственно Земли и Луны. Начало системы координат совместим с одной из масс, например с центром масс Земли, а ось абсцисс направим по «линии центров». Обозначив массы Земли и Луны соответственно т3 и та, а рассмотрение между ними через г, по­ лучим:

а среднее расстояние между ними равно 384 000 км.

Как видим, центр масс системы Земля — Луна расположен внутри Земли на расстоянии 4700 км от ее центра, т. е. примерно на 2/з радиуса Земли от ее центра. Именно эта точка, а не центр Земли, обращается, по «земной» орбите вокруг Солнца.

Итак, понятие центра масс является более общим, чем понятие центра тяжести. Обусловлено это тем, что для центра масс не имеет никакого значения то, действуют ли на тела системы какиелибо силы или нет, тогда как понятие центра тяжести «требует» действия на тела системы определенных сил — внешних сил тяго­ тения. Поэтому в современных курсах физики очень широко ис­ пользуется лишь понятие центра масс системы, а понятие центра тяжести используется в основном в популярной литературе, причем главным образом как синоним центра масс, поскольку широкие круги читателей с ним, к сожалению, незнакомы.

95

В заключение знакомства с по­ нятиями центра масс и центра тя­ жести рассмотрим более строго вопрос о центре тяжести.

Центр тяжести определяется как точка, в которой можно считать приложенной силу тяготения, дей­ ствующую на тело, т. е. векторную сумму сил тяготения, действующих на отдельные элементы тела. Это означает, что если силу тяготения «сосредоточить» в центре тяжести, то не должно измениться не толь­ ко поступательное, но и вращатель­ ное движение тела. Первое условие будет выполнено, если в центре тя­

жести будет приложена сила, равная сумме элементарных сил тя­ готения. Но из одного этого условия невозможно найти положе­ ние центра тяжести. Второе условие требует, чтобы вращающий момент результирующей силы тяготения тела, приложенной в центре тяжести, относительно любой оси вращения был равен моменту элементарных сил тяготения относительно этой оси. Это условие и позволяет получить формулу для вычисления положе­ ния центра тяжести.

Для упрощения расчетов найдем центр тяжести системы, со­ стоящей из трех тел (рис. 20). На силы тяготения, действующие на тела, наложим пока одно ограничение: положим, что все они параллельны между собой, но, вообще говоря, ускорения свобод­ ного падения для различных тел имеют разные числовые значения (gi Ф й гФ £з).

Систему координат выберем следующим образом: начало ее возьмем в произвольной точке О, а ось абсцисс направим перпен­ дикулярно направлению сил тяготения (т. е. горизонтально) в плоскости рисунка. Поскольку ось вращения может быть произ­ вольной, выберем ее так, чтобы она проходила через точку О пер­ пендикулярно плоскости рисунка. В таком случае абсциссы масс будут являться одновременно и плечами соответствующих сил тя­ готения, что облегчит вычисление моментов сил тяготения. По су­ ществу для этой цели и были сделаны упрощающие предложения. Теперь можно приступить к нахождению положения центра тяже­ сти системы тел.

Для этого приравняем момент общей силы тяжести, приложен­ ной в центре тяжести, сумме моментов сил тяжести, действующих на отдельные тела системы:

96

Для других координат центра тяжести аналогичным путем

В общем случае формулы (4.2) отличаются от формул (4.1) для центра масс, поскольку ускорения свободного падения нельзя вынести из-под знака суммы, так как они неодинаковы для разных тел системы. Следовательно, в общем случае центр тяжести не совпадает с центром масс.

Теперь сделаем второе упрощающее предположение, касающее­ ся сил тяготения. Предположим, что ускорения свободного падения

формулами (4.1) для центра масс. Так математически обосновы­ ваются приведенные выше суждения о связи между центром тяже­ сти и центром масс.

Центр масс (или центр тяжести тела) в некоторых случаях может оказаться в точке, которая не принадлежит телу. Это может быть в случае полых тел или тел, подобных тору («баранке»). .

Подчеркнем, что понятие центра масс, как уже отмечалось выше, совершенно не зависит от того, действуют ли на тела систе­ мы какие-либо силы или не действуют. В частности, понятие центра масс вполне применимо и к системе тел, на которые не действуют никакие силы и которые, следовательно, движутся равномерно и прямолинейно с разными скоростями по различным направлениям. Такой системой можно, например, считать идеальный газ: можно говорить о центре масс^идеального газа, но о центре тяжести его говорить не имеет смысла.

Законы движения центра масс

При движении тел системы ее центр масс будет, вообще говоря, перемещаться в пространстве. Скорость центра масс может быть найдена дифференцированием формулы (4.1):

Скорость центра масс равна импульсу системы тел, т. е. вектор­ ной сумме импульсов всех тел системы, деленной на массу систе­ мы, равную сумме масс всех тел системы. Это означает, что ско­ рость центра масс имеет смысл скорости движения системы как целого.

Скорость центра масс, как видно из (4.3), вообще говоря, от­ личается от скорости каждого тела системы. Это различие можно проиллюстрировать перемещением, роя мошкары. В одном случае рой как целое будет оставаться неподвижным, хотя мошки будут совершать быстрые беспорядочный движения. В другом случае рой может перемещаться как целое, при этом мошки будут двигаться с различными скоростями, отличными от скорости роя как целого, Скорость роя как целого — это и есть скорость центра масс его. В первом случае центр масс оставался неподвижном, несмотря на движение мошек, во втором случае центр масс двигался. Конечно, во втором случае мошки движутся не с такими скоростями, как в первом случае (во втором случае у мошек имеется составляющая скорости в некотором направлении, обусловленная, например, вет­ ром).

В частном случае, когда все тела движутся с одинаковыми скоростями, в формуле (4.3) можно вынести одинаковую для всех

тел скорость щ за знак суммы. Тогда получим:

Ѵ=Ѵі.

Это значит, что при поступательном движении тела скорость центра масс тела равна скорости каждой точки этого тела. Но так обстоит дело только при поступательном движении. В общем же случае произвольного движения тела скоростью его перемещения как целого является скорость его центра масс.

Перейдем теперь к случаю, когда на различные тела системы (не обязательно на все) действуют силы. Это могут быть в общем случае и внешние силы, и силы внутреннего" взаимодействия между телами системы. Как действие сил отразится на движении центра масс системы? Для ответа на этот вопрос вычислим ускорение центра масс. Продифференцировав почленно соотношение (4.3), получаем:

98