Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

С огласн о втором у закон у Н ью тона м ож ем запи сать:

где Fi — внешняя сила, действующая на і-ю массу, /,• — сила, действующая на эту массу со стороны других тел системы (внут­ ренняя сила). Поскольку внутренние силы согласно третьему за­ кону Ньютона попарно равны по величине и противоположны по направлению, они при суммировании по всем телам системы дадут нуль, и в числителе правой части (4.4) будет стоять векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему тел (или на одно реальное тело). Тогда получим:

<4 -5)

Формула (4.5) выражает основной закон движения центра масс: ускорение центра масс равно векторной сумме внешних сил, действующих на тела системы, деленной на массу системы. Это утверждение представляет собой обобщение второго закона Нью­ тона* на случай системы материальных точек (системы тел).

Формулы (4.3) и (4.5) исчерпывающим образом характеризуют движение центра масс: центр масс системы тел (или одного тела) движется так, как если бы в нем были сосредоточены вся масса системы и весь импульс ее и к нему была приложена сила, равная векторной сумме всех внешних сил, действующих на тела системы. Сумма внешних сил иногда называется главным вектором внешних сил, который соответствует школьному понятию равнодействующей

центра масс, следовательно, остается постоянной по величине и

направлению {ас = 0, V — const). Значит, если векторная сумма сил, действующих на систему тел, равна нулю, в частности, если на систему не действуют внешние силы, то центр масс системы движется равномерно и прямолинейно или покоится. Это утверж­ дение представляет собой принцип инерции для системы тел.

2. Весьма существенно, что изменить движение центра масс могут только внешние силы. Внутренние силы, т. е. силы взаимо­ действия. тел системы, не влияют на движение центра масс. По­ этому поговорка «нельзя самого себя поднять за волосы» имеет

физический смысл.

3. Для движения центра масс не имеет значения то, к каким именно частям системы (тела) приложены внешние силы (сила). Каждую из внешних сил можно как угодно переносить параллельно

99

себе самой, лишь бы векторная сумма сил оставалась неизменной. Это можно проиллюстрировать следующим опытом.

Если спичечную коробку положить на гладкую поверхность стола и щелкнуть по ней в направлении вперед, то. если направ­ ление щелчка 'проходит через центр коробки, ома придет в посту­ пательное прямолинейное движение. Если же коробку щелкнуть сбоку, то коробка в этом случае придет и в поступательное, и во вращательное движение, однако центр масс коробки (ее центр) будет по-прежнему двигаться прямолинейно, в направлении силы, в соответствии с формулой (4.5).

Вот еще некоторые примеры, иллюстрирующие закон (4.5) движения центра масс.

Если бросить гаечный ключ вперед и вверх, то можно заметить, что при «кувыркании» ключа его центр масс будет двигаться по параболе, как материальная точка, брошенная под углом к гори­ зонту. Так и должно быть согласно (4.5), потому что к центру масс ключа приложена сила тяготения, действующая на весь ключ и равная произведению массы ключа на ускорение силы тяготения

(FT = mg). Тогда в правой части (4.5) масса тела сократится, и найдем, что ускорение центра масс равно ускорению свободного падения.

По этой же причине центр масс «рассыпавшихся»» огней празд­ ничного салюта продолжает двигаться по параболе.

Если представить себе ракету, стартующую с достаточно боль­ шой высоты над поверхностью Земли, так что продукты сгорания не ударяют о Землю и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то центр масс системы «ракета — выхлопные газы» будет, как это ни странно на первый взгляд, свободно падать на Землю с ускоре-

нием, равным g. Причина этого в том, что на движение центра масс влияют только внешние силы. Сила тяги ракеты — это внут­ ренняя сила. Внешними силами здесь являются силы тяготения, действующие на ракету и на выхлопные газы. И в этом случае, как и в случае с гаечным ключом, получим согласно (4.5), что ус­ корение центра масс равно ускорению свободного падения.

Если этот пример продолжить и в систему тел включить и Землю, то силы взаимного тяготения ракеты и газов, с одной сто­ роны, к Земле и Земли к ракете и газам — с другой, будут внут­ ренними силами системы. Ни сила тяготения, ни сила реактивной тяги ракеты теперь не будут влиять на движение центра масс системы этих тел. Поэтому центр масс системы Земля — ракета — газы и после старта будет продолжать двигаться по земной орбите вокруг Солнца, как и до старта. Сама Земляѵпри старте ракегы получает такой же импульс; как и ракета, но противоположного направления, и несколько смещается со своего места на около­ солнечной траектории, однако центр масс Земли, ракеты и газов от этого не изменяет своего положения. На его движение влияет только внешняя сила, а таковой теперь является сила тяготения

100

к Солнцу. Она-то и обусловливает дви­ жение центра масс Земли и земных тел по околосолнечной эллиптической ор­ бите.

При запуске космических кораблей Земля, строго говоря, испытывает от­ дачу. Правда, ее эффект практически мал из-за несоизмеримости масс Зем­ ли и запускаемых аппаратов, но в принципе Земля «чувствует» запуск каждого аппарата, как, впрочем, и каждого поезда.

§ 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Вращательное движение очень распространено в природе, и технике. Без знания основных законов вращательного движения со­ вершенно невозможно понять ни закономерностей движения пла­ нет и космических аппаратов, ни законов микромира.

В методическом отношении чрезвычайно важно провести ту идею, что законы вращательного движения — это не новые законы механики, а лишь результат приспособления «обычных» законов ньютоновской механики к данной задаче, запись их в виде, удоб­ ном для рассмотрения и решения задач, связанных с вращатель­ ным движением.-

К законам вращательного движения твердого тела можно подойти, рассматривая обычное движение материальной точки, хотя о вращении точки говорить бессмысленно. Иногда приме­ няются неверные выражения: материальная точка вращается, угло­ вая скорость вращения материальной точки по окружности. Нуж­ но говорить, что материальная точка просто движется по окруж­ ности. '

Очень важно для описания вращательного движения сразу же ввести две новые величины: момент импульса точки и момент силы. Эти величины играют в теории вращательного движения такую же большую роль, какую импульс и сила играют в дина­ мике поступательного движения.

Для введения понятия момента импульса рассмотрим-для про­ стоты свободную материальную точку с массой т. На нее по усло­ вию не действуют силы, поэтому она будет двигаться равномерно и прямолинейно в некоторой инерциальной системе отсчета. Возь­ мем произвольную точку О в этой системе (рис. 21) и проведем

радиус-вектор г материальной точки т относительно точки О. По определению моментом импульса материальной точки т относи-

тельно точки О называется векторная величина L, равная вектор­

101

Это значит, что величина (модуль) момента импульса равна:

дикулярно плоскости, в которой лежат векторы г и р.

Момент импульса еще называют моментом количества движе­ ния (старое, отживающее название, как іг само «количество дви­ жения»), вращательным импульсом, угловым моментом (главным образом в зарубежной литературе, в особенности в литературе по квантовой механике), кинетическим моментом (в основном в тео­ ретической механике).

Как видно из рисунка 21, величина г sin а = г sin а' = Іі пред­ ставляет собой расстояние точки О до направления импульса. Это расстояние можно назвать плечом импульса. Тогда можно сказать, что модуль момента импульса равен произведению импульса на его плечо относительно данной точки О. В таком виде определение момента импульса аналогично школьному определению момента силы. Как увидим, это не случайно.

Если при движении точки пг направление вектора L не нзме-

няется со временем, то это значит, что ориентация плоскости (г, р) в пространстве не меняется со временем, т. е. что движение яв­ ляется плоским и его траектория лежит в одной плоскости.

В частном случае движения точки по окружности, имеющем важное значение, момент импульса равен по модулю произведению

Направлен же он в этом случае перпендикулярно плоскости, в которой происходит движение.

Важно отметить, что моментом импульса может обладать тело, движущееся даже прямолинейно: для этого нужно только наличие импульса и его плеча. Тело, обладающее импульсом, может не обладать моментом импульса относительно одних точек О и обла­ дать им относительно других точек. Тело, обладающее импульсом, имеет момент импульса, равный нулю относительно тех точек О, для которых плечо равно нулю. Это такие точки, на которые «на­ целен» импульс.

Таким образом, момент импульса — величина относительная для одной и той же материальной точки, так как относительны обе

102

величины, определяющие его: и импульс (из-за относительности скорости), и плечо.

Момент импульса является, как говорилось, векторной вели­ чиной, но это вектор необычный. Обычные векторы характерны тем, что их начало совпадает с определенной точкой. По отноше­ нию к векторам скорости, ускоре­ ния, силы это всегда выполняется. Векторы, имеющие начало, млн полюс, иазываеются полярными векторами. В средней школе рас­ сматриваются только полярные векторы. Однако это не единст­

венный тип векторов. Момент импульса как раз не является по­ лярным вектором. Действительно, к какой точке приложен мо-

мент импульса? Может быть, к началу вектора р, т. е. к матери-

. -> альной точке? А почему не к началу вектора г? Ведь оба вектора

(р и /) входят в импульс на равных правах. Вопрос решается следующим образом. Принимается, что нельзя указать определен-

ной точки приложения вектора L: его точка приложения может «скользить» вдоль его направления. Поэтому вектор момента им­ пульса называется скользящим, или осевым, или чаще всего акси­ альным вектором (axse — в переводе с латинского означает «ось»). Момент импульса не единственный аксиальный вектор. Мы по­ знакомимся и с другими аксиальными векторами.

Единица момента импульса не имеет специального названия ни в одной системе единиц, в том числе и в СИ.

Введем теперь понятие момента силы. Причем рассмотрим слу­ чай, когда на движущуюся материальную точку m действует сила, направление которой не совпадает с направлением скорости и,

кроме того, векторы г, р, F не лежат в одной плоскости, т. е. не компланарны.

Момент силы определяется совершенно аналогично моменту

импульса: моментом силы F относительно точки О называется век­

торная величина М, равная векторному произведению радиус-век­

тора г точки m относительно точки О на вектор силы F:

103

Все, что говорилось о моменте импульса, относится и к моменту силы. В частности, модуль момента силы равен произведению мо­ дуля силы на ее плечо (рис. 22):

Это определение совпадает с тем, которое дается в школьном курсе физики. Однако между ними имеется существенная разница.' Она состоит в том, что формула (4.8) определяет момент силы относительно точки (О), тогда как в средней школе вводится мо­ мент силы относительно неподвижной оси вращения. Соотношение между ними следующее: момент, который рассмотрен выше и яв­ ляется исходным, — это момент именно относительно точки; мо­ мент же относительно оси, проходящей через эту точку, как можно показать, ‘равен проекции момента относительно точки на ось. Поэтому моменты относительно оси направлены всегда вдоль осп в ту или иную сторону («вверх» или «вниз»). Поэтому-то моменты импульса и силы и называются осевыми или аксиальными векто­ рами.

Как видно из рисунка 22, в общем случае направления момента импульса и момента силы относительно точки могут не лежать на

Направление момента силы, как и момента импульса, опреде­ ляется правилом правого винта: если головку винта вращать в

направлении от вектора г к F или р, то поступательное движение самого винта укажет направление соответствующего момента. Во­ обще полезно иметь в виду следующее общее положение: в физике правило винта вводится для определения направления всякой физической величины, определяемой с помощью векторного про­ изведения; в частности, правило буравчика в электромагнетизме для определения направления вектора напряженности магнитного поля обусловлено тем, что в исходной формуле, вводящей количе­ ственную характеристику магнитного поля — напряженность или индукцию, содержится векторное произведение.

Размерность момента силы (длина, умноженная на силу) сов­ падает с размерностью работы и энергии. Но это отнюдь не зна­ чит, что единица момента силы в системе СИ — ньютонометр — совершенно тождественна единице работы — ньютонометру, пли джоулю. В первом случае ньютонометр имеет смысл момента силы в 1 « при плече в 1 м, а во втором — работы силы в 1 н на пере­ мещении в 1 ж в направлении силы. Единицы момента силы, как и момента импульса, специального названия не имеют ни в одной системе единиц. В атомной физике «естественной» единицей мо­ мента импульса, своего рода квантом момента импульса, является постоянная Планка, равная в системе СИ:

h = 6,625 • ІО-34 дэк-сек {кгм2/сек — кг- м/сек- м).

104