Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

Это значит, что изменение момента импульса материальной точки в единицу времени равно вектору момента силы. Оба мо­ мента всегда берутся относительно одной и той же точки или отно­ сительно одной и той же оси.

Применим формулу (4.10) сначала к произвольной Системе

Сумма моментов импульса отдельных точек системы называется моментом импульса системы:

LI-\-L2-{- ... -\-L-n—L.

Сумма же моментов сил, действующих на отдельные точки, назы­ вается главным вектором моментов сил, или результирующим мо­ ментом сил, или просто моментом сил, действующим на систему.

Мі+АІ2+ ... -\-Мп— М.

Таким образом, для системы материальных точек можно запи­ сать:

Это значит, что для системы материальных точек изменение момента импульса системы в единицу времени равно результирую­ щему моменту сил, действующему на нее.

Из (4.11) следует, что причиной изменения момента импульса является момент сил. Если же момент сил равен нулю, то момент импульса будет оставаться постоянным во времени. В этом и со­ стоит закон сохранения момента импульса. Он, в частности, спра­ ведлив для замкнутой системы, т. е. для системы материальных точек или тел, на которые не действуют внешние силы, а значит, не действует и момент сил.

Применим теперь закон движения системы (4.11) к твердому телу, которое может вращаться относительно неподвижной осп. Твердое тело можно рассматривать как систему с в я з а н н ы х материальных точек — элементов тела. Между его частями дей­ ствуют внутренние силы взаимодействия. Так как твердое тело, предоставленное самому себе, не приходит во вращение, т. е. не

106

приобретает момента импульса, то это значит, что внутренние силы не влияют и на вращательное движе­ ние твердого тела, а не только на поступательное. Это значит, что и для вращательного движения важны только в н е ш н и е силы.

Обосновать это утверждение бо­ лее строго можно следующим об­ разом.

Момент сил взаимодействия эле­ ментов твердого тела можно представить как сумму моментов сил

парного взаимодействия всех элементов тела.

Силы взаимодействия любых двух элементов согласно третьему закону Ньютона одинаковы по величине, противоположны по на­ правлению и действуют по одной прямой; их плечи поэтому одина­ ковы, а моменты противоположны и в сумме дают нуль.

Так обстоит дело со всеми парами элементов. Следовательно, момент сил взаимодействия относительно любой оси равен нулю и внутренние силы можно поэтому при расчете движения не учи­ тывать.

Специфика вращающегося твердого тела по сравнению с систе­ мой не связанных друг с другом материальных точек состоит в том, что при вращении твердого тела вокруг неподвижной осп все элементы его движутся по окружностям, причем все с одинаковой угловой скоростью, которая называется угловой скоростью враще­ ния твердого тела (со). Линейные скорости различных элементов различны в зависимости от расстояния от оси вращения, но угло­ вая скорость у всех одна. Поэтому естественно попытаться выра­ зить момент импульса твердого тела через его угловую скорость. Это можно сделать следующим образом.

Разобьем твердое тело на элементы (на рисунке 23 ось враще­ ния проходит через точку О перпендикулярно плоскости рисунка). Момент импульса каждого элемента согласно общему определе­

Теперь учтем, что при вращении твердого тела каждый его элемент движется по окружности, а в этом случае линейная скорость свя­ зана с угловой известным соотношением:

В эту формулу входит модуль скорости Ѵ{. Но в определение момента импульса входит вектор линейной скорости. Значит, про­ стейшей формулы (4.13) недостаточно. В механике рассматри­ вается соотношение между вектором линейной скорости и угловой скоростью при движении по окружности. При этом показывается, что угловую скорость следует считать величиной векторной. На­

107

правлен вектор угловой скорости по осп вращения, причем так, что выполняется правило правого винта: если головку винта вра­ щать в ту же сторону, в какую вращается твердое тело, то посту­ пательное движение винта как целого укажет направление угло-

вой скорости со; понятно, что со — а к с и а л ь н ы й вектор. В слу­ чае, изображенном на рисунке 23, вектор угловой скорости направ­ лен перпендикулярно плоскости рисунка от нас, если тело враща­ ется по часовой стрелке. В общем виде соотношение между векто­ рами линейной и угловой скоростей имеет следующий вид:

В этой формуле содержится и соотношение (4.13) между моду­ лями скоростей, и правило определения направления вектора.

Тогда (4.12) на основании (4.13) можно записать в таком виде:

ДLi = ГіX Ат-г (соX П)'= АпііГіX [соX П].

Так называемое двойное векторное произведение в правой ча­ сти согласно векторной алгебре выражается так:

ГіХ Т соХ п ] = со (П Г і ) — Г{ (rfco).

Скалярное произведение вектора на самого себя, т. е. квад­

Скалярная величина АпііГі2 называется моментом инерции ма­ териальной точки (элемента тела) АІр

Аіі — АіПіГі2.

Моментом инерции материальной точки относительно данной оси называется скалярная величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния от этой оси.

Теперь применим к твердому телу закон вращательного дви­ жения в виде (4.11), рассматривая твердое тело как систему материальных точек, и подставим в (4.11) выражение (4.14) для момента импульса каждого элемента тела:

Д/ПігД о) =М .

І= 1

108

Это общая формула для вычисления момента инерции любого тела. Для иллюстрации ее применения вычислим момент инерции однородного стержня с массой т и длиной I относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его кон­

цов.

Выбираем на стержне произвольный элемент бесконечно ма­ лой толщины dx, находящийся на расстоянии х от начала коорди­

На рисунке 25 приведены рассчитанные подобным образом фор­

а основной закон динамики для вращательного движе­ ния имеет вид:

Если распределение мас­ сы тела относительно данной оси вращения остается неиз­ менным при вращении тела,

109